Είναι γεγονός ότι υπάρχουν αρκετές παρανοήσεις και ασάφειες για το τι σημαίνει μαθηματική δραστηριότητα, ποιά είναι τα χαρακτηριστικά της, πως μπορεί να χρησιμεύσει στη διαδικασία της μάθησης, ποιός είναι ο ρόλος της στα νέα Προγράμματα Σπουδών και με ποιό τρόπο τη διαχειρίζονται οι εκπαιδευτικοί στην τάξη.

Οι παρακάτω δημοσιεύσεις πιστεύω ότι ρίχνουν αρκετό φως σ΄ αυτούς τους προβληματισμούς.

Η Μαθηματική Δραστηριότητα στα νέα Προγράμματα Σπουδών.

Η έννοια της δραστηριότητας είναι μια έννοια με διαφορετικές σημασίες τόσο στον ερευνητικό χώρο της Μαθηματικής Εκπαίδευσης όσο και στο πως αυτή ερμηνεύεται στην πράξη. Η δραστηριότητα χαρακτηρίζεται από ενεργή δράση των ατόμων στην οποία εμπλέκονται τα οποία έχουν ένα κίνητρο και ένα στόχο για να πραγματοποιήσουν, είναι συλλογική και συστημική και χαρακτηρίζεται από συνεχή μετασχηματισμό και αλλαγή.
Κάτω από αυτή την οπτική η μαθηματική δραστηριότητα «προκαλείται» μέσα από το πρόγραμμα σπουδών καθώς προτείνονται καταστάσεις – προβλήματα που επιτρέπουν στο μαθητή να δράσει με κάποιο κίνητρο ατομικά και συλλογικά και αξιοποιώντας διαφορετικής μορφής εργαλεία να επιτύχει μια σειρά μαθηματικών στόχων και διεργασιών. Το είδος των καταστάσεων που προτείνονται στο ΠΣ αφορούν τη μοντελοποίηση μιας πραγματικής κατάστασης, την πραγματοποίηση ενός παιχνιδιού, τη μαθηματική διερεύνηση μέσα από τη χρήση εργαλείων και πηγών. Ο στόχος των καταστάσεων αυτών είναι η εμπλοκή των μαθητών στην κατανόηση μαθηματικών εννοιών, στην απόκτηση και χρήση τεχνικών με ευελιξία, στην ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσης προβλήματος, στη δημιουργία εννοιολογικών συνδέσεων, στη σύνδεση αναπαραστάσεων, στην ανάπτυξη μαθηματικού συλλογισμού καθώς και θετικής στάσης για τα μαθηματικά.
Όπως όμως υποστηρίζεται από τη σχετική έρευνα η μαθηματική δραστηριότητα στην οποία τελικά εμπλέκονται οι μαθητές δεν εξαρτάται μόνο από την κατάσταση – πρόβλημα που τίθεται στο ΠΣ και στο αντίστοιχο εκπαιδευτικό υλικό αλλά στη διαχείρισή της στη σχολική τάξη.
Συχνά μια «πλούσια» κατάσταση μπορεί να οδηγήσει σε μια «τετριμμένη» μαθηματική εμπλοκή των μαθητών όπου η έμφαση δίνεται κυρίως στη χρήση αλγορίθμων και τεχνικών χωρίς κατανόηση. Η τετριμμένη δράση ή η απλή δράση πάνω σε μαθηματικά αντικείμενα δεν είναι αρκετά για να χαρακτηρίσουν μια δραστηριότητα μαθηματική.
Είναι απαραίτητη η αναζήτηση ιδιοτήτων και σχέσεων, η εύρεση κανόνων, ο αναστοχασμός πάνω στη δράση και η γενίκευσή της. Προϋπόθεση για τη διατήρηση της μαθηματικής δραστηριότητας των μαθητών σε υψηλό γνωστικό επίπεδο είναι ο εκπαιδευτικός να μπορεί να διακρίνει τα στοιχεία που συνιστούν μια πλούσια μαθηματική δραστηριότητα και αυτό συσχετίζεται τόσο με τη μαθηματική όσο και την παιδαγωγική γνώση του αναφορικά με το περιεχόμενο που διαχειρίζεται στη σχολική τάξη. (Πρόγραμμα Σπουδών Μαθηματικά στην Υποχρεωτική Εκπαίδευση 2011, σσ.27-28)
Η μετάβαση από τη θεωρητική ανάλυση στην πρακτική εφαρμογή αποτελεί το μείζον πρόβλημα που αντιμετωπίζουν όλες οι προτάσεις για συστηματική ένταξη των δραστηριοτήτων στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Τα νέα Προγράμματα Σπουδών Μαθηματικών του Γυμνασίου και της Α΄ Λυκείου, προχωρώντας ένα βήμα παραπάνω από τα προηγούμενα, έχουν εντάξει μεγάλο αριθμό προτεινόμενων δραστηριοτήτων για κάθε σχεδόν ενότητα της διδακτέας ύλης. Το πρόβλημα δεν βρίσκεται λοιπόν στην έλλειψη εκπαιδευτικού υλικού, αλλά σε δυσκολίες που συνδέονται με ζητήματα όπως είναι η φυσιολογική αδράνεια και αντίσταση στην αποδοχή της καινοτομίας και διάφορους αντικειμενικούς παράγοντες, σημαντικότερος από τους οποίους είναι η έλλειψη ουσιαστικής επιμόρφωσης και πρακτικής άσκησης των εκπαιδευτικών στα ιδιαίτερα προβλήματα που παρουσιάζει η διδασκαλία των Μαθηματικών με χρήση δραστηριοτήτων σε πραγματικές τάξεις.

Στη συνέχεια γίνεται ανάλυση ορισμένων μαθηματικών δραστηριοτήτων που συνδέονται με συγκεκριμένες ενότητες από τη διδακτέα ύλη των του Γυμνασίου και του Λυκείου. Τα παραδείγματα που θα χρησιμοποιηθούν σκοπεύουν να δείξουν ότι μια αποτελεσματική δραστηριότητα στη τάξη πρέπει να συνδέεται με συγκεκριμένους διδακτικούς στόχους, ενώ για τη διεξαγωγή της μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια μεγάλη ποικιλία εργαλείων: από την πρόκληση συζήτησης με απλές ερωτήσεις του διδάσκοντα προς την τάξη, τη χρήση γεωμετρικών οργάνων, κιμωλίας και μαυροπίνακα, μέχρι εξειδικευμένο εκπαιδευτικό λογισμικό και διαδραστικό πίνακα.
Αναφέρουμε εδώ, χάριν πληρότητας αυτού του κειμένου, ένα απλό παράδειγμα δραστηριότητας από το Πρόγραμμα Σπουδών της Α΄ Γυμνασίου. Η δραστηριότητα αναφέρεται στην τροχιά “Γεωμετρικά σχήματα” της θεματικής ενότητας “Γεωμετρία – Μέτρηση”, και συγκεκριμένα στην υποτροχιά “Αναγνώριση, ονομασία και ταξινόμηση των γεωμετρικών σχημάτων”.
Ένας βασικός στόχος της διδασκαλίας της ενότητας “Γεωμετρία – Μέτρηση” στην Α΄ Γυμνασίου είναι να δώσει έμφαση σε μια πιο θεωρητική οργάνωση των γνώσεων του Δημοτικού, στην οποία παίζουν βασικό ρόλο οι ακριβείς ορισμοί και η συστηματική καταγραφή των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων. Παραδοσιακά, η διδασκαλία και μάθηση των ορισμών θεωρείται ζήτημα απομνημόνευσης και αναπαραγωγής από τη διατύπωση που έχει δοθεί στον πίνακα ή περιέχεται στο διδακτικό βιβλίο. Μια προτεινόμενη δραστηριότητα, που έχει στόχο να αναδείξει τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της έννοιας “κυρτό τετράπλευρο” και να οδηγήσει τους μαθητές στη διαμόρφωση του σχετικού ορισμού, στηρίζεται στην ανάπτυξη μιας συζήτησης στην τάξη. Ο διδάσκων απευθύνει το ερώτημα “τι είναι τετράπλευρο” και χρησιμοποιεί τις απαντήσεις των μαθητών για να τους καθοδηγήσει στη διαμόρφωση του ορισμού.
Οι μαθητές, που έχουν την εικόνα της έννοιας από το Δημοτικό αλλά προφανώς αγνοούν τον ακριβή ορισμό, θα δώσουν διάφορες ετερόκλητες απαντήσεις μεταξύ των οποίων πιθανότατα θα υπάρχει και η απάντηση “ένα σχήμα με τέσσερις πλευρές”. Ο διδάσκων θα αξιοποιήσει αυτή την απάντηση και θα παρουσιάζει διαδοχικά τα παρακάτω σχήματα, ζητώντας κάθε φορά από τους μαθητές να εντοπίσουν εκείνο το χαρακτηριστικό γνώρισμα που δεν συνδέεται με την εικόνα που έχουν για την έννοια “τετράπλευρο”.

Είναι βέβαιο ότι οι μαθητές θα απορρίψουν καθένα από τα τρία πρώτα σχήματα, επισημαίνοντας (με κατάλληλη παρώθηση) το στοιχείο εκείνο που δεν είναι συμβατό με την εικόνα τους με την έννοια του κυρτού τετραπλεύρου. Μέσα από αυτή τη συζήτηση και ανάλογα με την εξέλιξη και χρονική διάρκεια της δραστηριότητας, ο διδάσκων μπορεί να διαχειριστεί ειδικά γεωμετρικά ζητήματα αποσαφηνίζοντας λεπτές διακρίσεις που συνδέονται με τις έννοιες της τεθλασμένης γραμμής (απλή ή κλειστή) και του πολυγώνου (κυρτό ή μη κυρτό), αλλά και γενικότερα θέματα όπως είναι η αναγκαιότητα και αποδοχή των ορισμών στα Μαθηματικά.

ΠΗΓΗ:
Γιάννης Θωμαΐδης, Σχολικός σύμβουλος Μαθηματικών Β/βάθμιας εκπαίδευσης

–

Ερωτήματα και απαντήσεις για το νέο Πρόγραμμα Σπουδών και την εφαρμογή του, σε σχέση με τις μαθηματικές δραστηριότητες.

1. Τόσο στο ΠΣ όσο και στον οδηγό του εκπαιδευτικού, εμφανίζονται πολλές προτεινόμενες δραστηριότητες και γίνεται συνεχής αναφορά σε αυτές. Γιατί υπάρχει αυτή η έμφαση στις δραστηριότητες; Τι διαφορά έχουν από τις ασκήσεις που τόσα χρόνια χρησιμοποιούμε στην τάξη;
Η δραστηριότητα στην τάξη των μαθηματικών χαρακτηρίζεται από την ενεργή δράση των μαθητών πάνω σε ένα έργο (πρόβλημα ή άσκηση). Τέτοιου είδους
δραστηριότητα επιδιώκεται από το ΠΣ να προκληθεί, προτείνοντας καταστάσεις – προβλήματα που επιτρέπουν στο μαθητή να δράσει με κάποιο κίνητρο ατομικά και συλλογικά. Ο στόχος των καταστάσεων αυτών είναι η εμπλοκή των μαθητών στην κατανόηση μαθηματικών εννοιών, στην απόκτηση και χρήση τεχνικών με ευελιξία, στην ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσης προβλήματος, στη δημιουργία εννοιολογικών συνδέσεων, στη σύνδεση αναπαραστάσεων, στην ανάπτυξη μαθηματικού συλλογισμού καθώς και θετικής στάσης για τα μαθηματικά.
Γίνεται έτσι σαφές ότι βασικό στοιχείο μιας δραστηριότητας είναι η δράση των ίδιων των μαθητών και όχι η επίλυση του προβλήματος ή η παρουσίαση του
μαθηματικού μοντέλου απευθείας από τον εκπαιδευτικό, αφού μια τέτοια πρακτική καταστρατηγεί την αρχή της ανακάλυψής από τους μαθητές και μετατρέπει τη μαθηματική δραστηριότητα των μαθητών απλώς στην επίλυση μιας άσκησης. Η συνεργασία των μαθητών στην τάξη, η συζήτηση τόσο στο πλαίσιο μικρών ομάδων όσο και σε ολόκληρη την τάξη επιτρέπει στους μαθητές να διατυπώσουν, να επεξηγήσουν και να τεκμηριώσουν τις σκέψεις τους. Ο εκπαιδευτικός χρειάζεται να επιλέγει ή να σχεδιάζει ενδιαφέρουσες (για τους μαθητές) δραστηριότητες που οδηγούν σε σημαντικές μαθηματικές έννοιες, σχέσεις και ιδιότητες. Μέσα στην τάξη χρειάζεται να συντονίζει τη συζήτηση και να διασφαλίζει την εστίασή της, να υποστηρίζει τους μαθητές να κατανοούν τις μαθηματικές έννοιες που αναδεικνύονταισ’ αυτή και να μην περιορίζεται στη συνεχή εξάσκηση.
Πολλές από τις “ασκήσεις που τόσα χρόνια χρησιμοποιούμε στην τάξη” μπορούν να διαμορφωθούν στην κατεύθυνση που περιγράφεται παραπάνω. Η διδασκαλία των Μαθηματικών που ακολουθεί το μοντέλο “παρουσίαση από τον εκπαιδευτικό – εξάσκηση από τους μαθητές” αποτρέπει τους μαθητές από μια ουσιαστικήμαθηματική εμπλοκή. (επίσης βλέπε ΠΣ σελ 6–9, 27, Οδηγός σελ. 4–5)

2. Μέσα από μια δραστηριότητα, όπως οι περισσότερες που προτείνονται απότο ΠΣ, “χάνεται” η μαθηματική απόδειξη. Και έτσι χάνεται ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των μαθηματικών. Ποια είναι η θέση του ΠΣ σχετικά με την παραπάνω άποψη;
Η απόδειξη είναι θεμελιώδες συστατικό των Μαθηματικών και έχει μοναδικά χαρακτηριστικά. Έτσι, η μύηση των μαθητών στην έννοια και τις διαδικασίες της απόδειξης πρέπει να αποτελεί μακροπρόθεσμο στόχο της μαθηματικής εκπαίδευσης. Σε αυτή την πορεία, πρέπει να αναδεικνύεται η ανάγκη ύπαρξης της απόδειξης ως τεκμηρίωση μια εικασίας, δηλαδή πρέπει να έχει προηγηθεί η διερεύνηση και η διατύπωση εικασιών. Επιπλέον, απόδειξη δεν είναι μόνο η τυπική απόδειξη σαν αυτές που θα συναντήσει ο μαθητής στο Λύκειο. Η έννοια της απόδειξης ως τεκμηρίωση ξεκινά με τη γενίκευση των παρατηρήσεων, τη διατύπωση επιχειρημάτων, την άρθρωσή τους σε ενιαίο συλλογισμό. Ο μαθητής δεν μπορεί παρά να περάσει από όλα αυτά τα επίπεδα μέχρι να αρχίσει να κατανοεί και να μπορεί να διατυπώνει πιο τυπικές αποδείξεις. Αλλιώς, θα αντιμετωπίζει τις μαθηματικές αποδείξεις ως κάποια ιεροτελεστία χωρίς νόημα για τον ίδιο.
Για παράδειγμα, τι νόημα θα είχε για το μαθητή, στην αρχή της Α΄ Γυμνασίου, να ακούσει μια απόδειξη για το “αν δοθούν οι φυσικοί Δ και δ (με δ>0) υπάρχουν μοναδικοί π και υ τέτοιοι, ώστε Δ=δ•π+υ”; Εκτός του ότι δεν έχει το μαθηματικό υπόβαθρο για μια τέτοια απόδειξη, αυτή η πρόταση δεν χρειάζεται απόδειξη (κατά το μαθητή) αφού την ευκλείδεια διαίρεση την “κάνει” με επιτυχία εδώ και μερικά χρόνια και η διαδικασία της δεν αφήνει περιθώρια μη ύπαρξης ή μη μοναδικότητας των π και υ. Αντίθετα, μπορεί να έχει νόημα μια επιχειρηματολογία για το γιατί “το ΕΚΠ είναι το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων, όπου ο καθένας λαμβάνεται στη μεγαλύτερη δύναμή του”.
Στο νέο ΠΣ δίνεται έμφαση στις μαθηματικές διεργασίες, η ανάπτυξη των οποίων επιδιώκεται μέσα από τη δραστηριότητα των μαθητών. Μία από αυτές είναι ο μαθηματικός συλλογισμός που εμπεριέχει την επιχειρηματολογία και (όπου είναι δυνατόν) την απόδειξη. Ο εκπαιδευτικός χρειάζεται να ενθαρρύνει τη διατύπωση επιχειρημάτων από τους μαθητές και την κριτική εξέτασή τους από τους υπόλοιπους μαθητές, να επιλέγει τις ερωτήσεις που θα κάνουν τους μαθητές να σκεφτούν σχετικά με θέματα που ως τότε θεωρούσαν προφανή. Έτσι, όχι μόνο δεν “χάνεται” η μαθηματική απόδειξη, αλλά προετοιμάζεται το έδαφος για την καλύτερη κατανόηση του ρόλου και του περιεχομένου της. (επίσης βλέπε ΠΣ σελ 6–8)

ΠΗΓΗ: Παιδαγωγικό Ινστιτούτο,
«Επιμορφωτικό υλικό για τους καθηγητές μαθηματικών του Γυμνασίου».

–

Η Μαθηματική δραστηριότητα στη σχολική τάξη.

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ από τη συνάδελφο  Γκαράνη Παρασκευή.
Η παρούσα διπλωματική εστιάζει στον τρόπο με τον οποίο οι εκπαιδευτικοί διαχειρίζονται τις «δραστηριότητες» στη σχολική τάξη και πώς αυτή η διαχείριση επιδρά στη μαθηματική εμπλοκή των μαθητών.
Για να την δείτε επιλέξτε τον παρακάτω σύνδεσμο   Η Μαθηματική δραστηριότητα στη σχολική τάξη