Ο μεγάλος Ούγγρος μαθηματικός και παιδαγωγός George Polya λέει ότι πρώτος κανόνας της αληθινής μάθησης είναι: “η ενεργητική μάθηση”. Το να μαθαίνει κάποιος παθητικά και δεκτικά απλώς διαβάζοντας βιβλία ή ακούγοντας παραδόσεις ή κοιτάζοντας κινούμενες εικόνες χωρίς να προσθέτει σε όλα αυτά την ενέργεια του δικού του μυαλού είναι χάσιμο χρόνου αφού τελικά αυτά που θα του μείνουν θα είναι πάρα πολύ λίγα σε σχέση με το χρόνο που αφιέρωσε.
Δεν μπορεί βέβαια να παραγνωρίσει κανείς το παραφορτωμένο ημερήσιο σχολικό πρόγραμμα του σημερινού μαθητή, ούτε και το τρέξιμο που κάνει για να τα προλάβει όλα. Δεν υπάρχει πάντα ο απαιτούμενος χρόνος για να εργαστεί με άνεση και ξενοιασιά, που χρειάζονται, ώστε να προσεγγίσει ένα πρόβλημα. Η σημερινή πραγματικότητα της σχολικής ζωής δεν αφήνει περιθώρια για τέτοιες πολυτέλειες. Υπάρχει βέβαια και η περίπτωση να μη μπορεί να λύσει κάποιος ένα πρόβλημα παρόλο το χρόνο που έχει αφιερώσει. Τότε, φυσικά, το να επιμένει δεν είναι η σωστή τακτική γιατί μπορεί απλούστατα να μην έχει τις κατάλληλες γνώσεις, οπότε η προσπάθεια είναι σίγουρα χαμένος κόπος και χρόνος. Σ’ αυτή την περίπτωση πρέπει να διαβάσει ένα μέρος της λύσης του προβλήματος από το βιβλίο των λύσεων και να προσπαθήσει για την ολοκλήρωσή της ή να ζητήσει τη γνώμη ενός συμμαθητή του που αντιμετώπισε το ίδιο πρόβλημα ή τέλος να συμβουλευτεί τον διδάσκοντα στο σχολείο του και όχι να απογοητευτεί, να εκνευριστεί, να κάνει σκηνές μέσα στο σπίτι του και τελικά να την πληρώσουν οι γονείς του αλλά και αυτός ο ίδιος μιας και θα έχει χάσει πολύτιμο χρόνο. Αν όμως, πραγματικά, θέλει να ωφεληθεί από το συγκεκριμένο πρόβλημα, ώστε τελικά κάτι να κερδίσει απ’ αυτό, πρέπει μετά τη λύση να κάνει την αυτοκριτική του πάνω στο πρόβλημα. Δηλαδή να εντοπίσει το σημείο στο οποίο είχε κολλήσει, να συνειδητοποιήσει με ποιον τρόπο τελικά ξεπεράστηκε η δυσκολία, ποιο τέχνασμα, ίσως άγνωστο μέχρι εκείνη την ώρα σ’ αυτόν, εφαρμόστηκε και τελικά να ταξινομήσει στο μυαλό του τα θετικά στοιχεία του προβλήματος έτσι ώστε να μπορέσει να τα ξαναφέρει στην επιφάνεια όταν ξαναχρειαστεί να λύσει κάποιο παρόμοιο πρόβλημα.

Ο Descartes μας λέει ότι: “Η μέθοδος συνίσταται εξολοκλήρου σχεδόν στην κατάλληλη διευθέτηση και ταξινόμηση του υλικού που έχουμε κατά καιρούς συγκεντρώσει”. Η αξία της κριτικής και της ταξινόμησης μετά από κάθε πρόβλημα είναι τεράστια στη μαθηματική παιδεία. Μπορούμε να πούμε ότι στην ουσία μαθαίνουμε μαθηματικά λύνοντας προβλήματα, ταξινομώντας και κριτικάροντας τις γνώσεις, τις μεθόδους και τις τεχνικές που εμφανίστηκαν κατά τη διάρκεια της λύσης.
Δύο άλλοι αποφασιστικοί παράγοντες για τη λύση προβλημάτων είναι η παρατήρηση και το μάντεμα της λύσης χωρίς, φυσικά, απόδειξη. Παρατηρούμε πολύ προσεκτικά τα δεδομένα και τα ζητούμενα και προσπαθούμε να εμφανίσουμε ή να κατασκευάσουμε ή να συνθέσουμε τις ποσότητες που βρίσκονται σ’ αυτά. Επίσης πολλές φορές ψάχνουμε να βρούμε ομοιότητες με άλλα προβλήματα που οι υποθέσεις τους ή τα συμπεράσματά τους μοιάζουν με το δικό μας (μέθοδος της αναλογίας). Η λύση αυτών των συγγενών προβλημάτων μας βοηθάει στο συγκεκριμένο δικό μας πρόβλημα. Το μάντεμα (εικασία) είναι το μεγάλο βήμα για την εφαρμογή της έρευνας στη λύση ενός προβλήματος. Ακόμη και σήμερα η διατύπωση εικασιών θεωρείται ταμπού και αποθαρρύνονται οι μαθητές να κάνουν κάτι τέτοιο, γιατί τάχα συνηθίζουν στον επιπόλαιο και μη τεκμηριωμένο τρόπος σκέψης αποκτώντας, έτσι, κακές συνήθειες που δεν τους βοηθούν στη σωστή λύση προβλημάτων. Αυτό είναι όμως πέρα για πέρα λανθασμένη αντίληψη και οφείλεται στην άγνοια της επιστημονικής μεθόδου που κατά κύριο λόγο είναι η εικασία και μετά η υποβολή αυτής σε έλεγχο. Είναι αλήθεια πώς όταν ακούμε ή διαβάζουμε στα βιβλία ονόματα όπως των Euler, Leibnitz, Newton, Cauchy κ.ά. μας καταλαμβάνει ένα δέος για τη σοφία αυτών των ανθρώπων που ανακάλυψαν πολλές από τις προτάσεις που διαβάζουμε. Πολλοί μάλιστα τους έχουν μυθοποιήσει και νομίζουν ότι ήταν, πραγματικά, φωτισμένοι από μια μυστική δύναμη. Δεν συμβαίνει όμως κάτι τέτοιο. Όταν διαβάζουμε ένα θεώρημα ή μια πρόταση που έχει ανακαλύψει κάποιος, επειδή είναι διατυπωμένη φορμαλιστικά στη μαθηματική γλώσσα και με την τελευταία λέξη της τεχνικής εκείνης της στιγμής είναι δύσκολο ή μάλλον αδύνατο να φανεί μέσα από εκεί η πορεία της σκέψης του ερευνητή και η φυσική δικαιολόγηση του γιατί σκέφτηκε έτσι ή αλλιώς με αποτέλεσμα ό,τι μας προξενεί εντύπωση και αδυνατούμε να συλλάβουμε τα αίτια που το προκαλούν να το θεοποιούμε κιόλας. Αναμφισβήτητα οι άνθρωποι αυτοί είχαν ικανότητες αλλά ικανότητες ανθρώπινες. Ο Euler ήταν ένας από τους λίγους που έγραψε τις εργασίες του ακολουθώντας μια ιστορική και φυσική περιγραφή των διαδοχικών βημάτων της λύσης. Από τα χειρόγραφά του που για το λόγο αυτό έχουν ανεκτίμητη αξία μπορούμε να δούμε ότι ήταν πολύ ανθρώπινος, ότι έκανε λάθη, αποτύγχανε, ξανάρχιζε πάλι, έκανε συνεχείς πειραματισμούς, διατύπωνε αλλεπάλληλες εικασίες και μετά από πολύ κόπο και επιμονή έφθανε στο αποτέλεσμα που είναι στα βιβλία παρουσιασμένο με μια κομψή και γλαφυρή απόδειξη.
Πρέπει να καταλάβουμε ότι η επινόηση και η ευφυΐα δεν δίνεται με τη μέθοδο της επιφοίτησης, ούτε είναι δώρο που απονέμεται “θεία χάριτι”. Είναι προϊόν της αγάπης για τα μαθηματικά και μιας συνεχούς μεθοδικής εργασίας. Η ευφυία είναι υπομονή λέει ο Buffon. Η ευφυΐα είναι 1% έμπνευση και 99% ιδρώτας λέει ο Edison. Και οι δύο θέλουν να στείλουν το ίδιο μήνυμα και οι δύο θέλουν να απομυθοποιήσουν και να κάνουν πιο βατό και φυσικό το μαθηματικό χώρο, πιο ρεαλιστικό, πιο ανθρώπινο θα λέγαμε. Ας μην απογοητεύονται λοιπόν και ας μη καταλαμβάνονται από άγχος όσοι δεν προλαβαίνουν να λύσουν τις χιλιάδες των προβλημάτων που είναι στοιβαγμένα εδώ και εκεί στα βιβλία των μαθηματικών και ας μη πέφτουν στην παγίδα να διαβάζουν τελικά αυτά τα προβλήματα χωρίς να συμμετέχουν οι ίδιοι στη λύση τους, όπως θα διάβαζαν, ίσως, κάποιο άλλο μάθημα. Ο καλύτερος τρόπος να μαθαίνεις κάτι είναι να το ανακαλύπτεις μόνος σου. Το μυστικό λοιπόν βρίσκεται στην ποιότητα και όχι στην ποσότητα.

Πηγή: mathbooks.gr