Η απόδειξη κατέχει κεντρική θέση και διαδραματίζει εδώ και αιώνες σημαντικό ρόλο στη μαθηματική επιστήμη και ειδικότερα στη γεωμετρία. Η αξιωματική θεμελίωση της γεωμετρίας επιβάλει την απόδειξη των εμπειρικών παρατηρήσεων των ιδιοτήτων των γεωμετρικών αντικειμένων.
Στο Γυμνάσιο, η μελέτη των ιδιοτήτων των διάφορων γεωμετρικών σχημάτων γίνεται με τρόπο εμπειρικό. Η μέθοδος που ακολουθούμε είναι η εύρεση ή επαλήθευση των ιδιοτήτων και σχέσεων ανάμεσα στα γεωμετρικά σχήματα με βάση τη μέτρηση, για την οποία χρησιμοποιούμε το χάρακα (υποδεκάμετρο) και το μοιρογνωμόνιο. Η μέτρηση όμως δεν μπορεί να είναι ακριβής και τα αποτελέσματά της μπορούν να αμφισβητηθούν. Στο Γυμνάσιο, χρησιμοποιούνται κατά κύριο λόγο η διαισθητική (άτυπη) και η επαγωγική απόδειξη, όπου το βάρος δίνεται κυρίως στην εποπτεία, τη διαίσθηση και την εμπειρία και με την αξιοποίηση αυτών, καλούνται οι μαθητές να παρατηρήσουν, να κάνουν εικασίες, να συμπεράνουν, να κατηγοριοποιήσουν, να γενικεύσουν κλπ. Χρησιμοποιώντας αυτές τις άτυπες διεργασίες σκέψης, οι μαθητές θα είναι σε θέση αργότερα να καταλάβουν τον αληθινό ρόλο της απόδειξης, που δεν είναι άλλος από το να επικυρώνει και να νοµιµοποιεί τις κατακτήσεις της διαίσθησης.
Στο Λύκειο γίνεται διαφοροποίηση της Πρακτικής Γεωμετρίας από τη Θεωρητική -Ευκλείδεια Γεωμετρία, η οποία συνίσταται στη συστηματική χρήση της λογικής για να θεμελιώσει τις γνώσεις μας για το χώρο, ξεφεύγοντας από μετρήσεις και επιμέρους συμπεράσματα. Κάθε καινούργιο αποτέλεσμα προκύπτει από τα προηγούμενα, χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που λέγεται απόδειξη και που στηρίζεται στους κανόνες της Λογικής. Στην πορεία εξαγωγής των συμπερασμάτων σημαντικό ρόλο παίζει και εδώ η διαίσθηση και η εποπτεία. Τα συμπεράσματα, για να είναι γενικά, δεν πρέπει να είναι συνέπειες μόνο της παρατήρησης του σχεδίου. Είναι αναγκαίο να προκύπτουν με ορθό συλλογισμό από τις ιδιότητες του σχήματος, οι οποίες άλλωστε είναι δυνατό να μην είναι όλες ορατές στο σχήμα. Για να καταλήξουμε σε μία απόδειξη ο δρόμος μπορεί να είναι μακρύς και να περνάει μέσα από εικασίες, λάθη, επανατοποθετήσεις, μέχρι να οδηγηθούμε στην τελική μορφή.
Είναι λοιπόν φανερό ότι οι συλλογισμοί μας, για την αντιμετώπιση ενός γεωμετρικού προβλήματος, πρέπει να είναι θεωρητικοί, γενικοί και το σχέδιο του σχήματος να έρχεται αρωγός στην προσπάθεια ανακάλυψης εκείνων των ιδιοτήτων που θα μας οδηγήσουν στη λύση του προβλήματος. Για να επιτευχθεί αυτό, εκτός από τη δεξιοτεχνία και την εμπειρία του λύτη, μεγάλο ρόλο παίζει η γνώση σε βάθος της θεωρίας, η μεθοδική σκέψη και κυρίως η μύηση στην αποδεικτική διαδικασία.
Η απόδειξη και η λογική θεμελίωση των Μαθηματικών, ξεκίνησε από τον Θαλή (639-548 π.Χ.) ο οποίος εισήγαγε την έννοια της «υπόθεσης» και του «επαγωγικού συλλογισμού» και αναπτύχθηκε από τον Πυθαγόρα και τους Πυθαγόρειους. Στη συνέχεια, συστηματοποιήθηκε από τον Πλάτωνα και κυρίως από τον Αριστοτέλη. Ο Ευκλείδης (330-270 π.Χ.) τελειοποίησε την αποδεικτική διαδικασία δημιουργώντας ένα πρότυπο θεωρητικό και επιστημονικό έργο, τα «Στοιχεία», με κύρια απαίτηση να διατυπώνονται οι γεωμετρικές προτάσεις με γενικό τρόπο και να τεκμηριώνεται η αλήθεια τους με λογικούς συλλογισμούς, έχοντας ως αφετηρία τους ορισμούς των εννοιών και τα αξιώματα.
Η Ευκλείδεια απόδειξη ξεκινά με μια λεπτομερή δήλωση του τι δίνεται και τι πρόκειται να αποδειχθεί. Κάθε ισχυρισμός της απόδειξης μπορεί να δικαιολογηθεί από προηγούμενους ισχυρισμούς, αξιώματα, προηγούμενες αποδεδειγμένες προτάσεις ή με την εις άτοπον απαγωγή. Ο Ευκλείδης με τον τρόπο αυτό καθιέρωσε έναν τρόπο και μια διαδικασία παρουσίασης της ύλης, με γενικές αυστηρές αποδείξεις, όπου κάθε πρόταση τοποθετείται στην κατάλληλη θέση και ακολουθεί η επόμενη πρόταση με μια αυστηρώς λογική τάξη (με τις λιγότερες δυνατές υποθέσεις), χωρίς να παρεμβάλλεται τίποτα το άσχετο ή το περιττό. Αποτέλεσμα ήταν το αξιοθαύμαστο οικοδόμημα που σήμερα προς τιμήν του ονομάζουμε «Ευκλείδεια Γεωμετρία». Αυτή η μεγαλειώδης επινόηση – ανακάλυψη των αρχαίων Ελλήνων ανέβασε τη γεωμετρία από το επίπεδο των εμπειρικών γνώσεων για πρακτική χρήση, στο επίπεδο της επιστήμης και της έρευνας. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία όπως παρουσιάζεται στα «Στοιχεία», αποτέλεσε για πολλούς αιώνες τη βάση πάνω στην οποία στηρίχτηκε η ανάπτυξη των Μαθηματικών καθώς και των εφαρμογών τους σε άλλες επιστήμες.
Μέσα σε αυτό το πλαίσιο οι πεποιθήσεις των μαθητών και των εκπαιδευτικών για την απόδειξη στη γεωμετρία διαδραματίζουν καθοριστικό ρόλο. Από τη μία οι πεποιθήσεις των μαθητών καθορίζουν τον τρόπο δράσης και εμπλοκής τους με τις διδασκόμενες γεωμετρικές καταστάσεις και τον τρόπο κατανόησης της έννοιας της απόδειξης. Από την άλλη οι πεποιθήσεις των εκπαιδευτικών καθορίζουν και επηρεάζουν τον τρόπο διδασκαλίας της απόδειξης.
Η αποδεικτική διαδικασία των θεωρημάτων ή των προτάσεων της γεωμετρίας έχει τεράστια παιδαγωγική και διδακτική αξία. Είναι ιδιαίτερα σημαντικό να αναλύεται, να δομείται, να οργανώνεται και να αναπαράγεται μέσα στην μαθηματική σχολική τάξη μέσα από διαδικασίες ομαδοσυνεργατικής διδασκαλίας και μάθησης και οι μαθητές να αλληλεπιδρούν και να συνεργάζονται για την οικοδόμηση της γεωμετρικής γνώσης, μέσα από την κατασκευή των αποδείξεων. Επίσης, η απόδειξη είναι το μέσο, που θα εξηγήσει και θα νομιμοποιήσει στις μαθηματικές συζητήσεις των μαθητών ότι μια πρόταση είναι αληθής. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια της επικοινωνίας με τον εκπαιδευτικό θα καταβληθεί προσπάθεια, ώστε οι εξηγήσεις να γραφούν στη μαθηματική γλώσσα και έτσι να κατασκευαστεί μία έγκυρη γεωμετρική απόδειξη. Βέβαια το μάθημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας προσφέρεται για να αναπτύξουν οι μαθητές όχι τόσο τις γνώσεις τους, όσο την ικανότητά τους να παρατηρούν, να εικάζουν, να σκέφτονται, να κρίνουν, να συνεργάζονται, και κυρίως να επιχειρηματολογούν. Ακόμα, η βαθύτερη κατανόηση της μαθηματικής απόδειξης κατά τη διδασκαλία της γεωμετρίας, δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να κατανοήσουν σταδιακά τον τρόπο σκέψης και εργασίας των ερευνητών-μαθηματικών και να έρθουν σε επαφή με τη δημιουργία των μαθηματικών.
Είναι χρήσιμο ο εκπαιδευτικός να επιλέγει κατάλληλες δραστηριότητες που αναδεικνύουν όλες τις σημαντικές λειτουργίες της απόδειξης, ώστε η αποδεικτική διαδικασία να αποτελεί τρόπο καλλιέργειας της κριτικής σκέψης των μαθητών. Τέτοιες δραστηριότητες ευνοούνται ιδιαίτερα μέσα σε υπολογιστικά περιβάλλοντα δυναμικής γεωμετρίας τα οποία αποτελούν εικονικά εργαστήρια στα οποία οι μαθητές μέσα από την εξερεύνηση, μπορούν να κατανοήσουν τις γεωμετρικές έννοιες. Επίσης, μπορούν να φωτίσουν και άλλες πολύ σημαντικές λειτουργίες της αποδεικτικής διαδικασίας στη γεωμετρία, όπως είναι ο σχηματισμός υποθέσεων και ο σχετικά πιο εύκολος έλεγχος αυτών, η συστηματοποίηση, η επικοινωνία, η κατασκευή, η εξερεύνηση και η ανακάλυψη.
Για την επίλυση ενός προβλήματος και κυρίως την απόδειξη μιας γεωμετρικής πρότασης ας έχουμε υπόψη ότι :
- είναι σημαντικό να γνωρίζουμε καλά και να έχουμε κάνει κτήμα μας τα θεωρήματα που έχουν προηγηθεί καθώς και τις αποδείξεις τους.
- χρειάζεται να συγκρατούμε την εκφώνηση του προβλήματος σε όλη τη διάρκεια της επίλυσης.
- βοηθά αρκετά το να καταγράφουμε σε δύο διαφορετικές στήλες τα δεδομένα και τα ζητούμενα του προβλήματος.
- στα γεωμετρικά προβλήματα, το σωστό σχήμα έχει καθοριστικό ρόλο. Η οπτική επαφή και η εποπτεία, μας βοηθά στη λύση του προβλήματος. Αν το σχήμα είναι «τυχαίο» δε θα το κατασκευάζουμε με επιπλέον ιδιότητες π.χ. το «τυχαίο» τρίγωνο θα χαράσσεται σκαληνό και όχι ορθογώνιο ή ισοσκελές κ.τ.λ.
- προσπαθούμε να επαναφέρουμε στο μυαλό μας προβλήματα που έχουμε λύσει και είναι όμοια ή έχουν σχέση με το πρόβλημα που επιλύουμε
- υπάρχουν διάφοροι μέθοδοι απόδειξης, μερικές από τις οποίες είναι: η παραγωγική, δηλαδή ο σχηματισμός συλλογισμών του τύπου, αν αυτό είναι αληθές τότε εκείνο πρέπει να είναι αληθές, η επαγωγική, η απαγωγή σε άτοπο κλπ. Μέσα από τη συνεχή άσκηση, μπορούμε να καλλιεργήσουμε την ικανότητά μας τόσο στην επιλογή της κατάλληλης μεθόδου όσο και στη σωστή χρήση της. Συνήθως υπάρχουν αρκετοί τρόποι και μέθοδοι για την απόδειξη μιας πρότασης και καλό είναι να μην αρκούμαστε μόνο σε έναν από αυτούς.
- μετά την απόδειξη ή τη λύση ενός προβλήματος, χρειάζεται να ελέγχουμε αν πράγματι είναι σωστή.
Δείτε επίσης το βίντεο (στα Αγγλικά) που ακολουθεί : Πώς αποδεικνύουμε μια μαθηματική θεωρία.