Οι γρίφοι – σπαζοκεφαλιές που ακολουθούν είναι για μαθητές/τριες Β’ Γυμνασίου και άνω. Κάθε μαθητής/τρια μπορεί να καταχωρήσει στα σχόλια (που ακολουθούν μετά από τον τελευταίο γρίφο) τη λύση του/της, με την αντίστοιχη δικαιολόγηση, αναγράφοντας οπωσδήποτε την τάξη και προαιρετικά το σχολείο στο οποίο φοιτά. Δεν είναι ανάγκη να απαντήσετε σε όλους τους γρίφους, αλλά τουλάχιστον σ’ έναν από αυτούς. Στις 25 Φεβρουαρίου θα αναρτηθούν στα σχόλια οι μαθητές/τριες που απάντησαν σωστά, καθώς και οι λύσεις που προτείνουν. Καλή επιτυχία !
1) Στις παρακάτω γραμμές, ξεκινώντας με μια αληθή σχέση καταλήγουμε σε μια άλλη που είναι ψευδής (5 = 4). Μπορείτε να βρείτε που έχει γίνει το λάθος;
2) Στο παρακάτω τραπέζιο ΑΒΓΔ ισχύουν: Α=Β=900 , ΒΓ=2ΑΔ και ΑΒ=ΑΔ. Πώς μπορούμε να το χωρίσουμε σε δύο σχήματα που να έχουν το ίδιο εμβαδόν, χρησιμοποιώντας για το χωρισμό ένα μόνο ευθύγραμμο τμήμα;
3) Το ζευγάρι των αριθμών 3 και 3/2 έχει την εξής ιδιότητα: το άθροισμά τους είναι ίσο με το γινόμενό τους. Υπάρχουν άλλα ζευγάρια αριθμών με την ίδια ιδιότητα; Αν ναι, πόσα είναι αυτά;
4) Ένα ορθογώνιο με μήκος 6 και πλάτος 3 έχει την ιδιότητα το εμβαδόν του να ισούται αριθμητικά (όχι όμως και σε μονάδες) με την περίμετρό του. Υπάρχουν άλλα ορθογώνια με την ίδια ιδιότητα; Αν ναι, πόσα τέτοια ορθογώνια υπάρχουν;
Εμβαδόν = 18 και Περίμετρος = 18
5) Τρεις γυναίκες η Αγγελική, η Βασιλική και η Γεωργία κρατούν κρυφές τις ηλικίες τους. Γνωρίζουμε όμως ότι:
α) Είτε η Βασιλική είτε η Γεωργία είναι η μεγαλύτερη σε ηλικία από τις τρεις γυναίκες.
και
β) Είτε ή Αγγελική είναι η μεγαλύτερη σε ηλικία είτε η Γεωργία είναι η νεώτερη.
Να βρείτε ποια είναι η σειρά των τριών γυναικών ως προς την ηλικία τους.
6) Σε μια παρέα υπάρχουν τρεις φίλοι, Ο Γιάννης, ο Μιχάλης και ο Κώστας. Ο Γιάννης κοιτάζει τον Μιχάλη και ο Μιχάλης κοιτάζει τον Κώστα. Ο Γιάννης φοράει καπέλο και ο Κώστας δεν φοράει. Η ερώτηση είναι: υπάρχει κάποιος στην παρέα που φοράει καπέλο και κοιτάζει κάποιον που δεν φοράει; (Επιλέξτε μία από τις τρεις παρακάτω απαντήσεις και αιτιολογήστε την)
α) Ναι
β) Όχι
γ) Δεν μπορεί να προσδιοριστεί
Ισίδωρος Γλαβάς.
Δείτε επίσης,
Απάντηση στον 1ο γρίφο
Το λάθος έγινε από την 4η προς την 5η γραμμή.
Αν τα τετράγωνα δύο αριθμών είναι ίσα δεν σημαίνει ότι και οι αριθμοί θα είναι πάντα ίσοι, εκτός αν είναι ομόσημοι.
Εδώ (5-9/2)^2 = (4- 9/2)^2 αλλά οι αριθμοί 5-9/2=5-4,5=0,5 και 4-9/2=4-4,5=-0,5 δεν είναι ίσοι, είναι αντίθετοι.
Βαρβάρα, Α΄ λυκείου στο 3ο ΓΕΛ Χίου
Απάντηση στον 4ο γρίφο
Αν χ το μήκος και ψ το πλάτος του ορθογωνίου τότε
χ·ψ = 2χ + 2ψ
χψ – 2ψ = 2χ
ψ·(χ-2) = 2χ
ψ = 2χ/(χ-2)
Στην τελευταία σχέση, βάζοντας στο χ (μήκος) μια οποιαδήποτε θετική τιμή, μπορούμε να βρούμε το ψ (πλάτος).
Έτσι, αν χ=10 το μήκος, τότε το πλάτος θα είναι ψ= 2·10/(10-2) = 20/8 = 5/2.
Όμοια μπορούμε να βρούμε άπειρα τέτοια ζευγάρια.
Γιώργος 1ο Γενικό Λύκειο Θεσσαλονίκης, Β Λυκείου
Απάντηση στον 3ο γρίφο
Θέλουμε δύο αριθμούς που το άθροισμά τους είναι ίσο με το γινόμενό τους. Έστω α και β οι δύο αριθμοί, τότε
α·β = α + β
α·β – α = β
α·(β-1) = β
α = β / (β-1)
Από την τελευταία σχέση για β=3 προκύπτει α=3/2 δηλαδή ένα ζευγάρι είναι οι αριθμοί 3 και 3/2 .
Όμοια, ένα άλλο ζευγάρι είναι β=4 και α=4/(4-1)=4/3
Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να βρούμε άπειρα τέτοια ζευγάρια.
Γιώργος 1ο Γενικό Λύκειο Θεσσαλονίκης, Β Λυκείου
Απάντηση στο 2ο γρίφο
Θεωρώ σημείο Ζ του τμήματος ΑΔ, φέρνω ΖΕ παράλληλη στην ΑΒ και χωρίζω το αρχικό σχήμα σε δύο μικρότερα σχήματα (ένα ορθογώνιο ΑΒΕΖ και ένα τραπέζιο ΖΕΓΔ που θέλω να έχουν το ίδιο εμβαδόν). Αναζητώ τη θέση του Ζ πάνω στην ΑΔ ώστε δύο φορές το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με το εμβαδόν του αρχικού σχήματος-τραπεζίου. Δηλ 2(ΑΒΕΖ) = (ΑΒΓΔ) άρα 2·ΑΖ·χ = [[(χ+χ)+χ]·χ]/2 άρα 4·ΑΖ·χ = 3·χ^2 άρα ΑΖ = ¾ · χ δηλαδή ΑΖ = ¾ · ΑΔ
Κωνσταντινίδου Δ. Γ΄ Γυμνασίου στο 3ο γυμνάσιο Γιαννιτσών.
Γριφος:5
Βαση του Α μπορουμε να θεωρησουμε οτι η Γεωργια ειναι η μεγαλυτερη απο ολες. Ομως το Β μας λεει οτι η Αγγελικη ειναι μεγαλυτερη απο την Γεωργια αρα η Γεωργια δεν γινεται να ειναι η μεγαλυτερη.Συνεπως η Βσιλικη ειναι η μεγαλυτερη μετα ειναι η Αγγελικη και μετα η Γεωργια.
Τάσος Τσιλίμος Β΄Γυμνασίου 3ο Γυμνάσιο Γλυφάδας
Γροιφος:6
Η απαντηση ειναι το α) γιατι αν ο ΜΙχαλης φοραει καπελο τοτε θα βλεπει τον Κωστα ο οποιος δεν φοραει καπελο και αν ο ΜΙχαλης δεν φοραει καπελο τοτε ο Γιαννης που φοραει καπελο θα βλεπει τον Μιχαλη ο οποιος δεν θα φοραει καπελο.
Τάσος Τσιλίμος Β΄Γυμνασίου 3ο Γυμνάσιο Γλυφάδας
Γριφος:3
Υπαρχουν απειρα τετοια ζευγαρια αριθμων με την μονη προυποθεση ο αριθμος να πολλαπλασιαζεται και να προστίθεται με ενα κλασμα που εχει ως αριθμητη τον ιδιο τον αριθμο και ως παρονομαστη εναν αριθμο που ειναι κατα μια μοναδα μικροτερος του.
Τάσος Τσιλίμος Β΄Γυμνασίου 3ο Γυμνάσιο Γλυφάδας
Μπράβο σε όλα τα παιδιά για τη συμμετοχή τους στην επίλυση των γρίφων, μια διαδικασία που οξύνει το πνεύμα και ακονίζει το μυαλό. Αυτό που έχει μεγαλύτερη αξία είναι η συμμετοχή σας και η προσπάθεια που καταβάλατε. Κάποιες απαντήσεις ήταν σωστές και κάποιες άλλες όχι. Επίσης, σε μερικές σωστές απαντήσεις έγιναν διορθώσεις στη διατύπωση. Η αλήθεια είναι πως οι μαθητές της Β΄ Γυμνασίου είναι ιδιαίτερα δύσκολο να λύσουν τους τέσσερις πρώτους γρίφους με τις γνώσεις μαθηματικών που έχουν μέχρι τώρα. Ο Γιώργος απάντησε σωστά σε όλους τους γρίφους, αλλά εδώ δημοσιεύουμε τις εξαιρετικές απαντήσεις του στον 3ο και τον 4ο. Σύντομα θα δημοσιευτεί και το δ΄ μέρος γρίφων.