Η δημοσίευση αυτή είναι η τρίτη με  τον ίδιο γενικό τίτλο,  «Απολλώνιο Πρόβλημα».

Το Απολλώνιο Πρόβλημα «να γραφεί κύκλος που να εφάπτεται σε τρεις δεδομένους κύκλους», λυμένο από τον μεγάλο μαθηματικό της αρχαιότητας Απολλώνιο τον Περγαίο, είναι το κορυφαίο πρόβλημα, από μια σειρά επί μέρους προβλημάτων των οποίων η επίλυση οδηγεί σταδιακά στην λύση του.

Τα προβλήματα αυτά έχουν τη γενική διατύπωση: «Να γραφεί κύκλος που εφάπτεται σε τρία αντικείμενα.» Τα αντικείμενα αυτά μπορεί να είναι κύκλος, σημείο, ευθεία και προκύπτουν συνολικά 10 επιμέρους προβλήματα.

Στην παρούσα δημοσίευση διαπραγματευόμαστε το πρόβλημα: Nα γραφεί κύκλος που διέρχεται από δύο διακεκριμένα σημεία και εφάπτεται δεδομένου κύκλου. Η παρουσίαση και η λύση του προβλήματος γίνεται με Ευκλείδεια γεωμετρία και οι κατασκευές γίνονται με κανόνα και διαβήτη. Η αναλυτική λύση του προβλήματος χρησιμοποιεί φυσικά τη αναλυτική και συνθετική μέθοδο που δυστυχώς έχει αφαιρεθεί από τη διδακτέα ύλη της Γεωμετρίας στο Ελληνικό Λύκειο.

Μπορείτε να δείτε το αρχείο πατώντας εδώ.

Στα αρχεία της δημοσίευσης περιλαμβάνεται και το εργαλείο apollonius.ppc που δημιουργεί τη λύση του προβλήματος σε κάθε περίπτωση. Για να κατεβάσετε τα αρχεία geogebra κάνετε κλικ επάνω στην εικόνα.

Δημοσιεύουμε αρχείο Geogebra που προσδιορίζει τους πρώτους αριθμούς από 1 έως 100 με την μέθοδο του Ερατοσθένη με σχετικό κείμενο που επεξηγεί την μέθοδο. Ίσως φανεί χρήσιμο σε όποιους θελήσουν να το διδάξουν. Για την λήψη των αρχείων κάνετε κλικ εδώ.

Μια κάρτα με ευχές για την νέα χρονιά!

Τα υλικά της: Το πλατωνικό στερεό, κανονικό οκτάεδρο, ο μετασχηματισμός στροφή, ένας κύκλος και ένα τρίγωνο για την φλόγα του κεριού ένα ορθογώνιο για το κερί. Στο 3D δεν εισάγονται κείμενα και οι αριθμοί φτιάχτηκαν με ευθύγραμμα τμήματα.

Για να δείτε την κάρτα σε κίνηση και τις ευχές κάνετε κλικ στον σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/rJx8DyVC

Για να κατεβάσετε το αρχείο Geogebra κάνετε κλικ επάνω στην εικόνα.

Στο μάθημα αυτό παρουσιάζεται η χρήση και η λειτουργία του υπολογιστικού φύλλου με τρία λυμένα παραδείγματα:

• Πίνακας τιμών συνάρτησης, γραφική παράσταση
• Γεωμετρική εφαρμογή
• Πρακτική προσέγγιση ορίου συνάρτησης

Για να κατεβάσετε τα αρχεία Geogebra πατήστε εδώ.

ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ – ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Η φιλοσοφία της εφαρμογής είναι: Να μπορέσει ο μαθητής να αναγνωρίζει γραφικά το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών συνάρτησης.
Βήματα της εφαρμογής. Δίνουμε τον τύπο συνάρτησης f, ορίζουμε γραφικά την αρχή και το τέλος του διαγράμματος δηλαδή τον περιορισμό της f σε ένα διάστημα [α,β] και το αρχείο μας σχεδιάζει, μετά από επιλογή μας, το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών.
Όλα αυτά γίνονται με διαδοχικά βήματα ώστε να δίνεται η ευκαιρία στον μαθητή να μαντεύσει, να δώσει την απάντησή του πριν την εποπτική παρουσίαση που δίνει η εφαρμογή. Έτσι έχουμε ένα εργαλείο για την διδασκαλία και κατανόηση των αντίστοιχων εννοιών.
Η εφαρμογή δίνεται σε δύο εκδόσεις:
α) Η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής και ορισμένη στο R και ούτε ο περιορισμός της είναι ορισμένη συνεχής στο διάστημα [α,β]. Τα αποτελέσματα δίνονται μόνο γραφικά
β) Η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής και ορισμένη στο R, αλλά ο περιορισμός της στο [α,β] να είναι ορισμένη και συνεχής. Τα αποτελέσματα δίνονται και αλγεβρικά.
Προσοχή: Η εφαρμογή έχει περισσότερο διδακτική και λιγότερο υπολογιστική αξία.
Για να κατεβάσετε τα αρχεία κάνετε κλικ εδώ.

efaptomni_sinartisis

Το εργαλείο του Geogebra “εφαπτομένη προς κύκλο, κωνική ή συνάρτηση”, στην περίπτωση των συναρτήσεων, λειτουργεί σωστά μόνο για σημεία που βρίσκονται επί της γραφικής παράστασης. Στην περίπτωση όμως που θα θέλαμε να φέρουμε εφαπτόμενες προς την καμπύλη της συνάρτησης από σημεία που βρίσκονται εκτός αυτής, το λογισμικό παρουσιάζει προβλήματα αδυνατώντας, τις περισσότερες φορές, να δώσει τις αναμενόμενες απαντήσεις.

Ο συνάδελφος και φίλος Παύλος Τρύφωνας είχε την ιδέα να κατασκευαστεί ένα εργαλείο που να προσδιορίζει σε κάθε περίπτωση τις εφαπτόμενες από σημείο προς τη γραφική παράσταση μίας συνάρτησης. Το αρχείο που δημοσιεύω ανταποκρίνεται σε ικανοποιητικό βαθμό στο αίτημα αυτό.

Για να κατεβάσετε τα αρχεία πατήστε εδώ.

Χάρτης Μαθημάτων Geogebra

Ο παρακάτω πίνακας περιέχει όλα τα βιντεομαθήματα που έχω δημοσιεύσει. Κάνοντας κλικ επάνω στο όνομα του μαθήματος μεταφερόμαστε στο μάθημα.

Τα μαθήματα 30 και 34 που λείπουν έχουν γραφεί πριν έχουμε την τρισδιάστατη έκδοση του Geogebra και έχουν μόνο ιστορική αξία. Αυτά που περιγράφονται στα μαθήματα αυτά μπορούν να γίνουν με την νέα έκδοση του Geogebra εύκολα. Επίσης το μάθημα 32 που δεν υπάρχει στον κατάλογο αυτό αφορά τις διαφορές των παλαιών εκδόσεων του Geogebra με τις νέες και δεν παρουσιάζει πια ενδιαφέρον.

Βασικά μαθήματα

1ο Μάθημα. Διάμεσοι, κέντρο βάρους, ιδιότητες. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

2ο Μάθημα. Διχοτόμοι τριγώνου, Έκκεντρο, Ιδιότητες. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

3ο Μάθημα. Παραλληλόγραμμο. Είδη παραλληλογράμμου Ιδιότητες. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

4o Μάθημα. Η έννοια της συνάρτησης. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον

5ο Μάθημα. Συναρτήσεις 2o μέρος. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον Geogebra.

Πως εισάγουμε συναρτήσεις. Συναρτήσεις με διπλό τύπο.

6ο Μάθημα. Δρομείς, Κίνηση, Εφαρμογές. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον Geogebra.

7ο Μάθημα. Δρομέας, κωνικές. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

8ο Μάθημα. Εισαγωγή κειμένου-μαθηματικού κειμένου. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

9ο Μάθημα. Μεταβλητή Boolean, συμμετρίες. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

10ο Μάθημα. Κατασκευή τετραγώνου. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

Σχήματα Γεωμετρίας, για ένα τεστ, με το Geogebra

11ο Μάθημα. Πως κάνουμε σχήματα Γεωμετρίας με το Geogebra. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

12ο Μάθημα. Πως κάνουμε σχήματα Γεωμετρίας με το Geogebra. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

13ο Μάθημα, Κατασκευή σχημάτων με το Geogebra. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

Κίνηση και μετασχηματισμοί

14o Μάθημα, Έλεγχος της κίνησης με ένα πλήκτρο. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

15o Μάθημα, Εφαρμογή της παράλληλης μεταφοράς στο Εμβαδόν παραλληλογράμμου. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra

16o Μάθημα, Μετασχηματισμός Στροφή, Παραδείγματα. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

17o Μάθημα, Μετασχηματισμός Στροφή, Κύλιση ενός νομίσματος, Εισαγωγή εικόνας. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

Κατασκευή εργαλείων

18o Μάθημα, Δημιουργία – διαχείριση εργαλείων. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra

Εργαλείο κατασκευής κάθετου τμήματος από σημείο προς ευθεία

19o Μάθημα: Δημιουργία-διαχείριση εργαλείων στο Geogebra, Η εντολή αν και η καρτέλα «Προχωρημένες». Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra

Εργαλείο κατασκευής ύψους τριγώνου

Ακολουθίες και λίστες

20o Μάθημα. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra. Οι εντολές: ακολουθία και λίστα στο Geogebra.

Η έννοια της Λίστας στο Geogebra.1η Εφαρμογή στην αριθμητική πρόοδο.

Χρήση των εντολών λίστας: Ακολουθία, ΣτοιχείοΛίστας, Μήκος, ΑθροισμαΣτοιχείωνΛίστας, ΚράτησεΑν, ΠρώτοςΛίστας, ΤελευταίοςΛίστας, ΛίσταΕπανάληψης.

21o Μάθημα Οι εντολές: ακολουθία και λίστα στο Geogebra Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

2η Εφαρμογή: Κατασκευή ν ισοπλεύρων τριγώνων με πλευρές τους διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.

22o Μάθημα. Έλεγχος πρώτου αριθμού-Διαιρέτες αριθμού. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον.

Εντολές: Ακολουθία, Λίστα, ΔιαιρετώνΛίστα, ΔιαιρετώνΠλήθος, text, textcolor, ΕπόμενοςΠρώτος, Μοναδικότητα, ΚράτησεΑν, ΣυνένωσηΛιστών, ΠινακοποίησηΣτοιχείωνΛίστας, ΜέροςΛίστας, Υπόλοιπο.

Κουτί εισαγωγής, πτυσσόμενη λίστα.

Εφαρμογή 1η:Έλεγχος πρώτου αριθμού-Διαιρέτες αριθμού.

Εφαρμογή 2η:Προσδιορισμός πρώτων αριθμών σε δεδομένο διάστημα.  

Κουμπιά-Δημιουργία Μενού

23o Μάθημα. Μετακίνηση πολλών αντικειμένων με ένα δρομέα. Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον.

Μετακίνηση πολλών αντικειμένων με ένα δρομέα. Πρωτόκολλο στοιχείων κατασκευής.

Μπάρα πλοήγησης με τα βήματα κατασκευής. Κουμπί εκτέλεσης ενεργειών.

Εφαρμογή: Η ταυτότητα (α+β)².

24o Μάθημα. Νέα εργαλεία με το Geogebra 4. Κουτί εισαγωγής, κουμπί ενεργειών, Καρτέλα δέσμης ενεργειών.

Εφαρμογή: Εξάσκηση στην πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ακεραίων. Στατιστικά.

25o Μάθημα. Geogebra 4, Κατασκευή μενού επιλογών με το Geogebra.

Οι εντολές: ΔυναμικόΧρώμα, Χρώμα, ΠάχοςΓραμμής Εφαρμογή: Μενού ιδιοτήτων των παραλληλογράμμων.

Κατασκευή μενού επιλογών με το Geogebra.

Οι εντολές: ΔυναμικόΧρώμα, Χρώμα, ΠάχοςΓραμμής

Εφαρμογή: Μενού ιδιοτήτων των παραλληλογράμμων.

Κίνηση και γραφική παράσταση

26o Μάθημα Geogebra. Η κίνηση στο Geogebra. Νέες δυνατότητες. Οι εντολές ‘ΓράφημαΑργό’, ‘ΕναρξηΚίνησης, ‘Σμίκρυνση’.

Εφαρμογή: Γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=1/2×2

27o Μάθημα. Η κίνηση στο Geogebra. Νέες δυνατότητες. Οι εντολές “ΓράφημαΑργό”, “ΕναρξηΚίνησης”, “Σμίκρυνση”.

Εφαρμογή: Γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=1/2x². 2o Μέρος.

28o Μάθημα. Οι εντολές ΤυχαίαΚατανομήΑνάμεσα, ΤυχαίοΣτοιχείο.

Δημιουργία αρχείου επιλογής σωστού λάθους.

29o Μάθημα. Εργαλεία: Σύνδεση – Αποσύνδεση σημείου, Σταθερό Περιστρεφόμενο Πολύγωνο, Κίνηση σημείου σε τροχιά.

Εφαρμογή: Ισότητα δύο πολυγώνων

CAS ένα παράθυρο για εκτέλεση ισχυρών πράξεων.

31o Μάθημα. Τι είναι το CAS (Computer Algebra System) και παραδείγματα εφαρμογής του.

33o Μάθημα. Το CAS (Computer Algebra System) στο Geogebra. Μέρος 2ο.

Εντολές του CAS. Λύση συστήματος, εξίσωσης, ανίσωσης, Ορίζουσα πίνακα, Διαίρεση, Πηλίκο, Υπόλοιπο, Απλό κλάσμα, ΕΚΠ, ΜΚΔ πολυωνύμων.

Γραφή κειμένου

35o Μάθημα. Γραφή κειμένου στο Geogebra.

Γραφή κειμένου στο Geogebra. Γραφή Latex

Εντολές κειμένου: ΜετατροπήΑριθμούΣεΚλάσμα, ΑρρητηΜορφή, Απλοποίηση.

Εφαρμογή:

Παρουσίαση λύσεων δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Το Geogebra σε τρεις διαστάσεις

36o Μάθημα. Geogebra 5 με τρεις διαστάσεις, Κατασκευή πυραμίδας, κώνου, σφαίρας.

Εφαρμογή: Κατασκευή κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας, εμφάνιση των γεωμετρικών στοιχείων της και κατασκευή περιγεγραμμένου κώνου και περιγεγραμμένης σφαίρας.

Υπολογιστικό φύλλο και Στατιστική

37o Μάθημα. Χρήση και λειτουργία του υπολογιστικού φύλλου

Στο μάθημα αυτό παρουσιάζεται η χρήση και η λειτουργία του υπολογιστικού φύλλου με τρία λυμένα παραδείγματα:

• Πίνακας τιμών συνάρτησης, γραφική παράσταση
• Γεωμετρική εφαρμογή
• Πρακτική προσέγγιση ορίου συνάρτησης

38ο Μάθημα. Στατιστική με το υπολογιστικό φύλλο-Κατασκευή ραβδογράμματος.

39ο Μάθημα. Στατιστική με το υπολογιστικό φύλλο-Κατασκευή ιστογράμματος.

Δημήτρης Ζαχαριάδης

Επανεγγραφή στο νέο περιβάλλον του Geogebra

Στο βίντεο αυτό περιγράφουμε πως μπορούμε να μετακινήσουμε πολλά αντικείμενα με ένα δρομέα.

Επίσης περιγράφεται η λειτουργία των παρακάτω:

Πρωτόκολλο στοιχείων κατασκευής.

Μπάρα πλοήγησης με τα βήματα κατασκευής.

Κουμπί  εκτέλεσης ενεργειών.

Και όλα αυτά με μία εφαρμογή για διδασκαλία της ταυτότητας (α+β)^2.

Για να κατεβάσετε το αρχείο Geogebra πατήστε εδώ.

Επανεγγραφή του μαθήματος στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

Στο βίντεο αυτό διαπραγματευόμαστε πλήθος εντολών:

Ακολουθία                  Λίστα            ΔιαιρετώνΛίστα                ΔιαιρετώνΠλήθος              text                     textcolor

ΕπόμενοςΠρώτος          Μοναδικότητα                ΚράτησεΑν   ΣυνένωσηΛιστών          ΠινακοποίησηΣτοιχείωνΛίστας

ΜέροςΛίστας     Υπόλοιπο

καθώς και οι έννοιες του Κουτιού εισαγωγής και της πτυσσόμενης λίστας.

Όλα αυτά μέσα από δύο προβλήματα-εφαρμογές:

Εφαρμογή 1η:        Έλεγχος πρώτου αριθμού-Διαιρέτες αριθμού.

Εφαρμογή 2η:        Προσδιορισμός πρώτων αριθμών σε δεδομένο διάστημα.

Για να κατεβάσετε τα αρχεία Geogebra πατήστε εδώ.

Οι εντολές: ακολουθία και λίστα στο Geogebra

2^η Εφαρμογή: Κατασκευή ν ισοπλεύρων τριγώνων

με πλευρές τους διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.

Επανεγγραφή του Video στο νέο περιβάλλον του Geogebra.

Για να κατεβάσετε το αρχείο Geogebra πατήστε εδώ.