Απλά ένα ακόμα ιστολόγιο Blogs.sch.gr
14 Φεβ 2012 από ΚΑΛΛΙΟΠΗ ΑΡΔΑΒΑΝΗ
ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ
Οι μαθητές στο μάθημα της Γεωμετρίας σχεδιάζουν συμμετρικά σχήματα ως προς ευθεία ε, χρησιμοποιώντας τετραγωνισμένο χαρτί (μιλιμετρέ). Πάνω σε μια γραμμή του μιλιμετρέ σχεδιάζουν μια ευθεία ε (οριζόντια ή κατακόρυφη). Σχεδιάζουν ένα δικό τους σχέδιο αριστερά ή πάνω από την ευθεία ε και κατασκευάζουν το συμμετρικό του σχήματος τους βρίσκοντας τα συμμετρικά σημεία των κορυφών του.
Παρακάτω βλέπετε ένα δείγμα μιας αρκετά καλής προσπάθειας των μαθητών των τμημάτωνΑ1 και Α2 .
14 Φεβ 2012 από ΚΑΛΛΙΟΠΗ ΑΡΔΑΒΑΝΗ
Δεύτερο μάθημα της Γεωμετρίας στο κεφάλαιο: Συμμετρία.
ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ
Οι μαθητές εξετάζουν τα σχήματα που έφτιαξαν στο προηγούμενο μάθημα με ριζόχαρτο. Ερευνούν σχέσεις και ιδιότητες των συμμετρικών σχημάτων. Αποφασίζουν να μελετήσουν αρχικά σχέσεις και ιδιότητες σε ένα απλό γεωμετρικό σχήμα και το συμμετρικό του. Επιλέγουν το πιο απλό όλων ένα ΣΗΜΕΙΟ. Αριστερά από την ευθεία τοποθετούν σημείο Α και με τη γνωστή μέθοδο τσάκισης και αποτύπωσης βρίσκουν το συμμετρικό του Α΄. Φέρνουν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΑ΄και ονομάζουν Κ τη τομή του με τον άξονα συμμετρίας, την ευθεία ε.
Με τα χαρακάκια τους, το μοιρογνωμόνιο και τον διαβήτη διαπιστώνουν ότι το τμήμα ΑΑ΄είναι κάθετο στην ευθεία ε. Το τμήμα ΑΚ ισούται με το ΚΑ΄(προφανώς αφού ταυτίζονται με τη δίπλωση). Συνεχίζουν εξετάζοντας τις ιδιότητες και σε άλλα σημεία του σχήματος τους. Διαπιστώνουν ότι τα συμμετρικά σημεία ισαπέχουν απο την ευθεία ε.
Δοκιμάζουν στη κατασκευή σχήματος και του συμμετρικού του σε ένα τετραγωνισμένο χαρτί (μιλιμετρέ). Δημιουργούν ένα σχήμα που έχει τις κορυφές του σε σημεία τομής γραμμών του μιλιμετρέ και το χρωματίζουν. Σχεδιάζουν μια ευθεία ε κατακόρυφη ή οριζόντια και την ορίζουν ως άξονα συμμετρίας. Εφαρμόζουν τις ιδιότητες που ανακάλυψαν προηγούμενα για να κατασκευάσουν το συμμετρικό των κορυφών του σχήματος. Αποφασίζουν ότι μπορούν να “δουν” τη κάθετη γραμμή ΑΚ στην ευθεία ε, με τη βοήθεια των γραμμών του μιλιμετρέ. Επίσης μπορούν να βρουν εύκολα τη θέση του Α΄. Μετρούν πάνω στη κάθετη γραμμή ΑΚ τον αριθμό των τετραγώνων από το Α μέχρι το Κ και συνεχίζουν μετρώντας άλλα τόσα στην προέκταση της ΑΚ από την άλλη πλευρά της ευθείας.
Μάλλον δεν είναι και τόσο εύκολο μερικά σημεία ξεφεύγουν και τα μετρούν λάθος προς άλλη κατεύθυνση. Τα διορθώνουν και έχουν το επιθυμητό αποτέλεσμα.
Τώρα είναι έτοιμοι να περιγράψουν τον τρόπο κατασκευής συμμετρικού σχήματος ως προς ευθεία ε.
ΟΔΗΓΙΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Α ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΥΘΕΙΑ ε.
1) Κατασκευάζω ευθύγραμμο τμήμα ΑΚ κάθετο στην ευθεία ε
2)Προεκτείνω το ΑΚ προς το μέρος του Κ
3)Παίρνω ίσα τμήματα ΑΚ = ΚΑ΄
Τα παραπάνω σημεία Α, Α΄ είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία ε
14 Φεβ 2012 από ΚΑΛΛΙΟΠΗ ΑΡΔΑΒΑΝΗ
ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ
Οι μαθητές στο μάθημα της Γεωμετρίας σχεδιάζουν συμμετρικά σχήματα ως προς ευθεία ε, χρησιμοποιώντας ριζόχαρτο.
Σχεδιάζουν ένα δικό τους σχέδιο τσακίζουν το ριζόχαρτο σε ευθεία ε και ξεπατικώνουν το σχήμα από την άλλη πλευρά.
Ανοίγουν το ριζόχαρτο και παρατηρούν δύο ολόιδια σχήματα, σαν να ανακλώνται σε καθρέφτη.
Παρακάτω βλέπετε ένα δείγμα εργασιών των μαθητών των Α1 και Α2 τμημάτων.
5 Φεβ 2012 από ΚΑΛΛΙΟΠΗ ΑΡΔΑΒΑΝΗ
Πρώτο μάθημα της Γεωμετρίας στο κεφάλαιο: Συμμετρία.
ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ
Τα παιδιά χρησιμοποιούν ένα ριζόχαρτο. Το τσακίζουν στα δύο αλλά όχι απαραίτητα στη μέση και σχεδιάζουν την ευθεία ε, που διέρχεται από τη γραμμή τσάκισης.
Ανοίγουν το ριζόχαρτο και ζωγραφίζουν ή γράφουν κείμενα αριστερά από την ευθεία ε. Τσακίζουν το ριζόχαρτο πάνω στην ευθεία και ξεπατικώνουν ό,τι βλέπουν στην άλλη μεριά του ριζόχαρτου. Ανοίγουν το ριζόχαρτο και βλέπουν τα σχέδια και τα κείμενα τους και στη δεξιά μεριά της ευθείας.
Παρατηρούν ότι τα σχέδια μοιάζουν να καθρεφτίζονται σε σχέση με την ευθεία ε και τα κείμενα τους το ίδιο. Γελούν με τα μηνύματα που είχαν γράψει και με αυτά που έλαβαν.
Επινοούν μέθοδο και απαντούν στο ερώτημα: Μπορείτε να διαβάσετε γρήγορα και ορθά το παρακάτω μήνυμα;
Εναλλακτικά κατεβάστε το αρχείο από ΕΔΩ: word.ggb
5 Φεβ 2012 από ΚΑΛΛΙΟΠΗ ΑΡΔΑΒΑΝΗ
Το τετράγωνο του Sierpinski – Μοτίβα
Εμφανίζουμε κάθε μία λίστα τετραγώνων χωριστά και μελετάμε τον τρόπο δημιουργίας του σχήματος. Μελετάμε το μήκος της πλευράς των τετραγώνων και τον αριθμό τους, τη περίμετρο και το εμβαδό τους.
Εμφανίζουμε τη μία λίστα κατόπιν της άλλης και περιγράφουμε το σχήμα που προκύπτει. Επαναλαμβάνουμε τη προηγούμενη μελέτη για το τελικό σχήμα.
Αν υποθέσουμε ότι επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία πολλές πολλές φορές έχουμε το τετράγωνο του Sierpinski.
Πατήστε την εικόνα παραπάνω για να πειραματιστείτε, ενναλακτικά εδώ :Sierpinski_square
Mπορούμε να υπολογίσουμε τη περίμετρο και το εμβαδό της επιφάνειας μεταξύ του σχήματος όλων των τετραγώνων (ροζ χρώματος) και του αρχικού τετραγώνου;
Τι παρατηρούμε;
31 Ιαν 2012 από ΚΑΛΛΙΟΠΗ ΑΡΔΑΒΑΝΗ
Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ.
σχήμα 1
Βρίσκουμε τα μέσα των πλευρών του και σχηματίζουμε τα τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα από τα οποία αφαιρούμε το μεσαίο.Εχουμε το βασικό μοτίβο, σχήμα 1.
Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία στα τρίγωνα που εναπομένουν.
Αν επαναλάβουμε τη διαδικασία πάρα πολλές φορές το τρίγωνο που δημιουργείται ονομάζεται τρίγωνο του Sierpinski.
Είναι ενδιαφέρον να υπολογίσουμε τη περίμετρο και το εμβαδό αυτού του τριγώνου.Για ν επαναλήψεις, όπου ν μεγάλος αριθμός, το εμβαδό του τείνει να γίνει 0 τ.μ, ενώ η περίμετρος του τείνει στο άπειρο. Ας δοκιμάσουμε πατώντας πάνω στην εικόνα που ακολουθεί.
Ας δούμε ένα άλλο τρίγωνο, το τρίγωνο Pascal .
Πιστεύετε ότι έχει κάποια σχέση με το τρίγωνο του Sierpinski ;
Οι αριθμοί Fibonacci 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
προκύπτουν ως εξής: 1, 1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, ….
Πιστεύετε ότι έχουν σχέση με το τρίγωνο του Pascal;
29 Ιαν 2012 από ΚΑΛΛΙΟΠΗ ΑΡΔΑΒΑΝΗ
Παρατηρήστε προσεκτικά το σχήμα που ακολουθεί και βρείτε το μεγαλύτερο σε μήκος τόξο.
Πατήστε πάνω στο σχήμα και πειραματιστείτε με το αρχείο Geogebra, αξιοποιώντας τα κατάλληλα εργαλεία που διατίθενται ώστε να στηρίξετε την άποψή σας.
Επιμένετε στην αρχική σας επιλογή;
29 Ιαν 2012 από ΚΑΛΛΙΟΠΗ ΑΡΔΑΒΑΝΗ
Οφθαλμαπάτη ή πραγματικότητα;
Οι ευθείες που σχηματίζουν τις σειρές τετραγώνων του σχήματος, μετά από προσεκτική παρατήρηση φαίνονται να μην είναι παράλληλες.
Εσείς τι γνώμη έχετε;
Πατήστε πάνω στην εικόνα και πειραματιστείτε με το αρχείο geogebra που θα ανοίξει, για να βεβαιωθείτε.
20 Ιαν 2012 από ΚΑΛΛΙΟΠΗ ΑΡΔΑΒΑΝΗ
Οι οφθαλμαπάτες της τέχνης
και
τα παράδοξα της λογικής
Η επίσκεψη της Α΄ τάξης του σχολείου μας στο μουσείο Ηρακλειδών που βρίσκεται στο Θησείο, οργανώθηκε και πραγματοποιήθηκε τον Δεκέμβριο του 2011. Το θέμα που επιλέξαμε να παρακολουθήσουμε ήταν: Οι οφθαλμαπάτες της τέχνης και τα παράδοξα της λογικής. Σκοπός της επίσκεψης ήταν να διαπιστώσουμε, μέσα από τα έργα ζωγραφικής που εκτίθονταν σε αυτό, την σχέση ανάμεσα στην τέχνη και τα μαθηματικά.
Το μουσείο Ηρακλειδών είναι ένα ζεστό νεοκλασικό κτίριο, ίσως παλιό αρχοντικό, ανακαινισμένο και διαμορφωμένο πανέμορφα ώστε να προκαλεί τον θαυμασμό του επισκέπτη . Οι χώροι του είναι διακοσμημένοι με υπέροχα έργα ζωγραφικής που φωτίζονται ανάλογα. Τα έργα μπορούν να καταταχθούν σε τρεις περιόδους: 1. Αρχαία Ελληνική 2. Αναγεννησιακή 3. Μοντέρνα Τέχνη. Στην πρώτη περίοδο αποτυπώνονται στα αγγεία γεωμετρικά σχήματα όπως ευθείες γραμμές, τετράγωνα, τρίγωνα, μαίανδροι και κύκλοι, στα οποία υπάρχει απόλυτη συμμετρία.
Στη δεύτερη περίοδο τα έργα ήταν πολύπλοκα, τα περισσότερα θεοκρατικά, σύνθετα και επιβάλλονταν στον θεατή με το δέος που εξέπεμπαν, με αποτέλεσμα ο θεατής να μην μπορεί να εστιάσει στο βαθύτερο νόημα των έργων. Στην τρίτη περίοδο της μοντέρνας τέχνης, τα έργα διακρίνονται από την αντικειμενικότητα και την απλότητα των έργων. Χαρακτηριστικά είναι τα έργα του Sol LeWitt με τα πολλά χρώματα και τα γεωμετρικά σχήματα, όπως κύκλους, τρίγωνα, τετράγωνα και αστέρια. Σε αντίθεση με την αναγεννησιακή τέχνη ο θεατής εστιάζει την προσοχή του στο έργο και προσπαθεί να κατανοήσει και να αναλύσει το βαθύτερο νόημα των έργων.
Η ξενάγηση στον χώρο ξεκίνησε από την πρώτη στιγμή που φτάσαμε. Χωριστήκαμε σε τρεις ομάδες με τους συνοδούς καθηγητές μας και η κάθε μία ομάδα οδηγήθηκε από τον υπεύθυνο του μουσείου σε μεγάλη αίθουσα διαμορφωμένη κατάλληλα με ένα μεγάλο τραπέζι στη μέση και καρέκλες γύρω γύρω για τον καθένα μας. Στην εισαγωγή που μας έκανε ο υπεύθυνος του μουσείου καταλάβαμε ότι θα ακούσουμε πράγματα καινούργια, αλλά δεν θα είναι όπως στο μάθημα μας στη τάξη. Μέσα από ερωτήσεις που προκαλούσαν το ενδιαφέρον μας ξεκίνησε μια κουβέντα για πράγματα που ήταν γύρω μας.
Οι τοίχοι ήταν γεμάτοι ζωγραφιές από πολλές εποχές της ιστορίας και της τέχνης. Τη κουβέντα άναψε η παρατήρηση μας ότι σε ένα αγγείο επαναλαμβάνονταν γεωμετρικά σχέδια, λεγόμενα μοτίβα. Ψάξαμε για περισσότερα μοτίβα αλλού και βρήκαμε μοτίβα σε “μοντέρνους” πίνακες ζωγραφικής και στη μουσική. Ένα σύγχρονο οπτικοακουστικό σύστημα βοήθησε να ανακαλύψουμε το μοτίβο του ρυθμού στα μουσικά κομμάτια που ακούστηκαν.
αααaaaaaaaaaaaaaaa
Στη δεύτερη ομάδα οι μαθητές σχεδίασαν ένα κύβο με προοπτική. Στη τρίτη ομάδα ζητήθηκε από τα παιδιά να ζωγραφίσουν ό,τι έρχεται στο μυαλό τους όταν ακούν την λέξη ποτήρι. Τα αποτελέσματα ήταν εκπληκτικά και αυτό που τους έκανε ιδιαίτερη εντύπωση, ήταν ότι όταν τελείωσαν όλοι είχαν ζωγραφίσει κάτι το διαφορετικό, κάτι που έδειξε πόσο διαφορετικά αντιλαμβανόμαστε ο καθένας μας τις έννοιες.
Μια μια οι ομάδες ανεβήκαμε στους χώρους των εκθεμάτων ζωγραφικής. Εκεί είδαμε έργα του Αμερικανού καλλιτέχνη Sol LeWitt, ο οποίος είναι εισηγητής της εννοιολογικής τέχνης. Κύριο χαρακτηριστικό τους είναι η γραμμή και το χρώμα εξ ου και ο τίτλος της έκθεσης. Στη δεύτερη ομάδα οι μαθητές είδαν την ζωγραφική αναπαράσταση του ποτηριού και άλλων αντικειμένων από τον ζωγράφο. Αυτός ζωγράφισε την έννοια του αντικειμένου, φτιάχνοντας πολλούς ομόκεντρους κύκλους. Το ίδιο συνέβη και με άλλα αντικείμενα. Ο ζωγράφος κάθε φορά προσπαθούσε να αποδώσει τις έννοιες των αντικειμένων, χρησιμοποιώντας κυρίως γεωμετρικά σχήματα. Τα γεωμετρικά σχήματα αποτελούν μοτίβο της τέχνης του συγκεκριμένου ζωγράφου, κάτι που έγινε αισθητό στους μαθητές και από τα υπόλοιπα έργα που είχαν εκτεθεί στο Μουσείο.
Στη δική μας ομάδα μελετήσαμε τις γραμμές σε διάφορα μοτίβα και αποδώσαμε σε αυτά ένα συναίσθημα. Ο καλλιτέχνης μας έστελνε κάποια μηνύματα. Συμφωνήσαμε οι περισσότεροι ότι σε τρεις πίκακες που είχαν ίδια χρώματα και μοτίβα αλλά ήταν διαφορετικά δομημένα, έστελνε το μήνυμα του αισιόδοξου, του απογοητευμένου και του αδιάφορου. Παρατηρήσαμε σε πολλά έργα, όπως σε αστέρια, άξονες συμμετρίας.
Η επιστροφή μας στην αίθουσα ήταν γεμάτη αγωνία για το τι ακόμη θα ακούσουμε αλλά και με εμφανή τα σημάδια της κούρασης. Πόσο θα θέλαμε ένα διάλειμμα!
Καθίσαμε στο τραπέζι μας και χαλαρώσαμε. Ξαφνιαστήκαμε όταν μας έδωσαν ένα χαρτί με σχέδια γεωμετρικά, να συγκρίνουμε ευθύγραμμα τμήματα ή να αναγνωρίσουμε παράλληλες ευθείες.
Η πρώτη μας απάντηση σε πολλά ερωτήματα που δόθηκε με το μάτι, γρήγορα καταρρίφθηκε όταν μετρήσαμε με τον χάρακα ή άλλο γεωμετρικό όργανο ή με λογικούς συνειρμούς και έλεγχο! Τι συνέβαινε ; Ποιος ήθελε να μας εξαπατήσει και γιατί; Τι πρέπει να κάνουμε σε άλλη περίπτωση; Πως θα προστατέψουμε την απάντηση μας από μια οφθαλμαπάτη; Πως θα βρίσκουμε την αλήθεια; ΜΑ ΜΟΝΟ ΜΕ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ!!!
Οδηγηθήκαμε στο συμπέρασμα ότι συχνά αυτό που φαίνεται είναι διαφορετικό από αυτό που ισχύει στην πραγματικότητα. Αυτή η αντίληψη δεν είναι καινούρια. Πρώτος ο Πλάτων διατύπωσε την θεωρία των ιδεών, σύμφωνα με την οποία αυτό που πραγματικά υπάρχει είναι οι ιδέες και οι αισθήσεις μας συχνά μας οδηγούν σε λάθος συμπεράσματα. Αλλά και στην αρχαία ελληνική λογοτεχνία ο Ευριπίδης μέσα σε διάφορες τραγωδίες και κυρίως στην «Ελένη» πραγματεύεται το θέμα της αντίθεσης ανάμεσα στο « φαίνεσθαι» και το «είναι».
Αντιληφθήκαμε τη παιχνιδιάρικη τάση της τέχνης να θέλει να ξεγελάσει το μάτι. Στα έργα του Vasarely είδαμε γεωμετρικά στερεά σχήματα όπως το τετράγωνο να επαναλαμβάνονται στον δισδιάστατο καμβά και να δίνουν την αίσθηση του τρισδιάστατου αντικειμένου. Του αντικειμένου όμως που από διαφορετική οπτική γωνία δίνει τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα. Για παράδειγμα στο σχήμα που ακολουθεί έχουμε την αμφιβολία αν βλέπουμε το έξω ή το μέσα μέρος του αντικειμένου. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι λείπει από μια γωνία ένας κύβος ή ότι είναι τοποθετημένος μέσα σε μια γωνία ένας κύβος!
Με τον βιντεοπροβολέα είδαμε έργα του μεγάλου ζωγράφου Escher. Στους πίνακες του συμβαίνουν πολλά παράδοξα και φαινόμενα αυτοαναφοράς, όπως στον πίνακα που ακολουθεί, ένα παιδί βλέπει ένα πίνακα σε μια έκθεση ζωγραφικής μιας πόλης, η οποία περιέχεται την έκθεση, στην οποία είναι μέσα το παιδί!
Πολλά έργα του Escher ερμηνεύτηκαν με την εφαρμογή του κύβου Necker και το τρίγωνο Penrose. Αυτά τα τελευταία μάλλον μας έβαλαν σε περισσότερους προβληματισμούς και ανησυχίες ….
Και όταν ήμασταν πια κατακουρασμένοι πνευματικά τέθηκε το ερώτημα :
Ο προφήτης και μάντης Επιμενίδης από την Κρήτη τι εννοεί όταν λέει :
– Ολοι οι Κρητικοί είναι ψεύτες
Επιμενίδης “Κρήτης”
ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ ΤΟΥ ΕΠΙΜΕΝΙΔΗ
* Ο Επιμενίδης λέει ότι όλοι οι Κρήτες είναι ψεύτες
* Ο Επιμενίδης είναι Κρητικός
* Άρα ο Επιμενίδης λέει ψέματα
* Άρα οι Κρήτες λένε την αλήθεια
* Άρα και ο Επιμενίδης λέει την αλήθεια
* Άρα οι Κρήτες είναι ψεύτες
Η επίσκεψη αυτή είχε το αποτέλεσμα που όλοι επιθυμούσαν δηλαδή να μορφώσει και να ψυχαγωγήσει τα παιδιά.
7 Ιαν 2012 από ΚΑΛΛΙΟΠΗ ΑΡΔΑΒΑΝΗ
ΝΤΙΝΟΣ ΚΟΡΔΩΣΗΣ
ΜΟΝΟΠΡΑΚΤΟ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ
Βρισκόμαστε στο χώρο δράσης των τεσσάρων πράξεων της αριθμητικής. Μπροστά σ’ ένα τρίποδο στέκεται η αφαίρεση (γυναίκα γύρω στα σαράντα) και ζωγραφίζει. Από την εσωτερική πόρτα μπαίνει η πρόσθεση. (Κάπως περασμένης ηλικίας γυναίκα που διατηρεί κάποια κοκκεταρία). Η ταυτότητά της όπως και της αφαίρεσης μπορεί να δηλώνεται με το αντίστοιχο σύμβολο (+) και (-) αντίστοιχα σε περιβραχιόνιο ή σε μπλουζάκι ).
ΠΡΟΣΘΕΣΗ: Παάλι στην αφαιρετική ζωγραφική το’ ‘ριξες; Έχω πια βαρεθεί να σε βλέπω να ζωγραφίζεις παραστάσεις με λειψό περιεχόμενο.
ΑΦΑΙΡΕΣΗ: Τι να κάνουμε; Με τα προσόντα που μου κληροδότησε η μάνα μου η πρόσθεση, μόνο αυτό μπορώ να κάνω.
ΠΡ.: Δε λες καλύτερα πως σε εκφράζει, γιατί ενισχύει την αυτοπεποίθησή σου. Αν και… εγώ βρίσκω και μια δόση ναρκισσισμού σ’ αυτή σου τη δραστηριότητα.
συνέχεια ….>>
Συνεχίστε να διαβάζετε ›
