popiardv's blog

Μερικοί μαθητές της Γ΄ γυμνασίου επισκεφθήκαμε στον ελεύθερο χρόνο μας το μουσείο Ηρακλειδών.  Αρχικά ξεναγηθήκαμε στον φιλόξενο χώρο της έκθεσης και είδαμε αρκετά εκθέματα των Vasarely και  Escher.

Σχήματα σχεδιασμένα σε χαρτί που έδιναν την εντύπωση τρισδιάστατου αντικειμένου αλλά και που μας προβλημάτιζαν.  Ποιο είναι το μπροστινό και ποιο είναι το πίσω μέρος τους; Πόσο δυνατή είναι η πραγματοποίηση της κατασκευής ενός τέτοιου αντικειμένου; Τι κοιτάζει ο ήρωας;  Ποια είναι η δομική μονάδα για τον σχεδιασμό του; Με ποιους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς  προέκυψε;   Τελειώνει αυτό ποτέ;  Πόσο πολύ μοιάζει το μέρος με το όλον;

 ααα

Στη συνέχεια καθίσαμε γύρω από ένα τραπέζι και ασχοληθήκαμε με ένα νέο κεφάλαιο μαθηματικών τις πιθανότητες. Μιλήσαμε με τα είδη πειραμάτων: πειράματα με βέβαιο αποτέλεσμα, αιτιοκρατικά και πειράματα με αβέβαιο αποτέλεσμα, τύχης.

Πραγματοποιήσαμε τα παρακάτω πειράματα:

1ο πείραμα τύχης:

Σε ένα μπιμπερό έχουμε 3 μπίλιες 2 κίτρινες και μία πράσινη.  Όταν το γυρίσω ανάποδα βλέπω στο στόμιο του μόνο δύο από αυτές.  Τι  πιθανότητα έχω να δω δύο κίτρινες μπίλιες; Μία πράσινη και μία κίτρινη;

ααα

2ο πείραμα αιτιοκρατικό (χάους)

Ακούσαμε για τα fractals, γεωμετρικά σχήματα με αυτοομοιότητα, που δεν μπορούμε να τα εξηγήσουμε με την ευκλείδεια γεωμετρία και κάναμε ένα πείραμα με ενδιαφέρον αποτέλεσμα:

Πώς θα κατανεμηθούν τα σημεία στο τρίγωνο?

Καθώς η ένδειξη του ζαριού είναι τυχαία κάθε φορά, η διάταξη των σημείων  θα είναι “χαοτική” στο τρίγωνο.  Σωστά ή λάθος?

Μπορείτε να δοκιμάσετε με την εφαρμογή πατώντας στην παραπάνω  εικόνα 

και να βρείτε αναλυτικά οδηγίες για την κατασκευή εδώ

ααα

3ο πείραμα 

Ρίχνουμε 50 ζάρια και ξεχωρίζουμε σε μία στήλη όσα έχουν μονή ένδειξη. Μαζεύουμε τα υπόλοιπα τα ξαναρίχνουμε και ξεχωρίζουμε όσα έχουν μονή ένδειξη και τα τοποθετούμε σε μια στήλη δίπλα από τη προηγούμενη. Επαναλαμβάνουμε μέχρι να τελειώσουν. Τι σχήμα θα φτιάξουν;  γιατί; Τι μας θυμίζει το σχήμα τους από την Άλγεβρα; Τι είδους είναι το πείραμα που κάναμε;

Ηλιόλουστη μέρα και την απολαύσαμε

Γνωρίζουμε το εμβαδόν μιας πισίνας. Μπορούμε να βρούμε τις διαστάσεις της; Πόσες λύσεις έχουμε;
Αν γίνει γνωστό και το άθροισμα των διαστάσεων της μπορούμε να προσδιορίσουμε καλύτερα τις διαστάσεις της; Πόσες λύσεις έχουμε σε αυτή τη περίπτωση;
Ας κάνετε τα πειράματα σας με το αρχείο Geogebra που θα ανοίξει πατώντας πάνω στην εικόνα της πισίνας

Εναλλακτικά μπορείτε να κάνετε λήψη του αρχείου από  ΕΔΩ

Ο Πύργος του Ανόι

ένα ακόμη ενδιαφέρον παιχνίδι. Ο παίκτης πρέπει να μεταφέρει τους δίσκους του πύργου έναν-έναν σε μία άλλη στήλη, έχοντας βοηθητική μία τρίτη στήλη. Ένας σημαντικός κανόνας του παιχνιδιού είναι ότι δεν μπορεί να τοποθετηθεί ούτε μία φορά ένας δίσκος πάνω σε έναν μικρότερο του. 

Πατήστε στην εικόνα που ακολουθεί για να παίξετε. Ξεκινάτε το παιχνίδι με 3 δίσκους στον πρώτο πύργο που πρέπει να τους μεταφέρετε στον τελευταίο (τρίτο πύργο). Μετά ανεβάζετε τη δυσκολία αυξάνοντας τον αριθμό τους.

Μία ενδιαφέρουσα ιστορική παρένθεση σχετικά με τον Πύργο του Ανόι λέει ο παρακάτω θρύλος με τίτλο:

 « Πύργος του Βράχμα »
«Όταν ο Βράχμα δημιούργησε τον κόσμο, έστησε σε ένα ναό στην πόλη Μπενάρες,  64 δακτυλίδια άνισου μεγέθους όλα περασμένα σένα μπαστούνι έτσι ώστε αν κρατήσουμε το μπαστούνι κατακόρυφα να σχηματίζουν τον γνωστό μας πύργο.
Oι ιερείς του ναού έπρεπε να δουλεύουν μέρα νύχτα, χωρίς σταμάτημα, για να μεταφέρουν τα δακτυλίδια σένα άλλο μπαστούνι, χρησιμοποιώντας  ένα τρίτο σαν βοηθητικό, έτσι ώστε να μην τοποθετήσουν μεγαλύτερο δακτυλίδι πάνω από μικρότερο και μετακινώντας ένα μόνο δακτυλίδι σε κάθε κίνηση.
Ο θρύλος λέει πως πριν προλάβουν οι ιερείς να μεταφέρουν όλα τα δακτυλίδια στο άλλο μπαστούνι, ο ναός θα καταρρεύσει μέσα στην σκόνη και ο κόσμος θα χαθεί μέσα σε τρομακτικό κρότο βροντής».

Είχε άραγε ο Βράχμα δίκιο;

Δείτε την απάντηση:

http://3gym-serron.ser.sch.gr/OLDSITE/Anoi.htm 

Περισσότερες προκλήσεις με τον Πύργο του Ανόι εδώ:

http://www.cut-the-knot.org/recurrence/hanoi.shtml

• Βήμα 1: Σχεδιάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ

• Βήμα 2: Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ και το ονομάζουμε Ρο.

• Βήμα 3: Ρίχνουμε το ζάρι και αν ο αριθμός είναι 1 ή 2 ενώνουμε το σημείο Ρο με το Α και παίρνουμε ως επόμενο σημείο το μέσο  Ρ1 του τμήματος  ΑΡο.  Αν το ζάρι δείξει 3 ή 4 παίρνουμε το Ρ1 μέσο του ΒΡο. Αν το ζάρι δείξει 5 ή 6 παίρνουμε το Ρ1 μέσο του ΓΡο.

Εικόνα 1: Έστω ότι φέραμε 1 στη πρώτη ρίψη του ζαριού.

• Βήμα 4: Επαναλαμβάνουμε το βήμα 3  με το  σημείο Ρ1  και βρίσκουμε ένα νέο  επόμενο σημείο Ρ2.

Εικόνα 2: Έστω ότι φέραμε 5 στη δεύτερη ρίψη του ζαριού.

• Βήμα 5: Συνεχίζουμε επαναλαμβάνοντας την προηγούμενη  διαδικασία  πολλές φορές για κάθε επόμενο σημείο Ρν  που προκύπτει ρίχνοντας κάθε φορά το ζάρι.

Κάθε φορά σβήνουμε το τμήμα  που σχεδιάσαμε και κρατάμε στο σχήμα μας  το Ρο και  τα μέσα  Ρ1,  Ρ2, Ρ3, … Ρν των τμημάτων.

Εικόνα 3: Το σχήμα μας μετά από μερικές ρίψεις

• Βήμα 6: Αν Ρίξουμε το ζάρι πολλές φορές περιμένετε ότι θα προκύψει ένα σχήμα και αν ναι ποιο νομίζετε ότι θα είναι αυτό;

• Βήμα 7:Ας συνεχίσουμε το παιχνίδι αρκετές φορές για να διαπιστώσουμε το σχήμα που προκύπτει. Υπομονή: πρέπει να ρίξουμε  το ζάρι 100 φορές ή μήπως 1000 ;  Ίσως λίγο περισσότερες ;

• Βήμα 8: Ποιο σχήμα προέκυψε; Στην εικόνα που βρήκαμε επικρατεί η τάξη ή η αταξία;

• Βήμα 9: Μερική απάντηση ή περισσότερος  προβληματισμός ;

Εφ όσον ρίχνουμε το ζάρι σε κάθε μας βήμα θα μπορούσε να πει κανείς ότι το Α, Β ή Γ που κινούμαστε κάθε φορά είναι τυχαίο. Επομένως τα σημεία Ρν που προκύπτουν από τη διαδικασία αυτή θα περίμενε κανείς  τελικά να διασκορπίζονται ομοιογενώς μέσα στο τρίγωνο, γεμίζοντας το όλο καθώς το ν αυξάνει συνεχώς.
Ας σκεφτούμε όμως και κάτι άλλο : Από τη στιγμή που έχουμε ρίξει το ζάρι η κίνηση μας είναι απόλυτα προσδιορισμένη. Κατευθυνόμαστε προς ένα από τρία σημεία του επιπέδου και σταματάμε ακριβώς στη μέση της απόστασης μας από αυτό. Άρα κάθε φορά κάνουμε κάτι πολύ συγκεκριμένο .  Ποιος θα νικήσει λοιπόν στην περίεργη διελκυστίνδα ανάμεσα στον ντετερμινισμό και στην τυχαιότητα; Θα επικρατήσει τελικά η αταξία ή θα εμφανιστεί κάποια τάξη στην εικόνα που θα προκύψει;
Αναμένεται απάντηση από τους μαθητές.

• Βήμα 10: Το αποτέλεσμα μήπως  είναι αναμενόμενο;  Έχουμε κάποια εξήγηση;

Πηγή:  Τάσος Μπούντης ” Ο θαυμαστός κόσμος των Fractal”