popiardv's blog

Παιχνίδια του 2, του 3 και άλλων αριθμών.

1)Υπολογίστε τον αριθμό των τετραγώνων  καθενός σχήματος

2)Τι παρατηρείτε;

3)Ποιο νομίζετε ότι είναι το επόμενο σχήμα (ε);  σχεδιάστε το.

(ε) …

Στα μαθηματικά γράφουμε με σύντομο τρόπο τη φράση

2 διάδες = 2  =  2 * 2 =  2² ΔΥΝΑΜΗ ΑΡΙΘΜΟΥ

4)Γράφτε κάθε έναν αριθμό από τα παραπάνω σχήματα σε σύντομη γραφή (δύναμη αριθμού)

(α) =……………………………………………………………………………

(β) =……………………………………………………………………………

(γ) =……………………………………………………………………………

(δ) =……………………………………………………………………………

5)Ποιός νομίζετε ότι είναι ο αριθμός  τετραγώνων που χρειάζονται για να σχεδιάσουμε το σχήμα (ζ) , το επόμενο του (ε) με σύντομη γραφή και γιατί;

6)Πόσους παράγοντες έχει το γινόμενο 2*2*2*2*2*2 ;

7)Γράφτε τον αριθμό 2 * 2* 2 * 2* 2 *2 σε μορφή δύναμης αριθμού.

8)Ποιος αριθμός είναι ο 2¹⁰ ;

9)Πόσες φορές μεγαλύτερος είναι ο αριθμός τετραγώνων του (δ) σχήματος από τον αριθμό του σχήματος (γ);

10)Πόσα περισσότερα τετράγωνα έχει ο αριθμός (δ)  από τον αριθμό  (γ);

11)Να κάνετε τις πράξεις:

2⁴ – 2³ =;

2 * 2⁴ = ;

2³ + 2³= ;

2 * 2⁴ – 2³ = ;

2 * (2⁴ – 2^{3 )} = ;

12)Ποιά είναι η προτεραιότητα των πράξεων ;

13)Γράφτε με σύντομο τρόπο:

τον αριθμό που αποτελείται απο 3 τριάδες = …

τον αριθμο 3 * 3 * 3 * 3 = …

τον αριθμό τετραγώνων του σχήματος

14)Γράφτε μερικούς δικούς σας  “νέους” αριθμούς:…

Ας κάνουμε ένα μικρό διάλλειμμα …

15)Ποιοι είναι ο αριθμοί

α) 10²= ….         β) 10³= …             γ)  10⁴= …                 δ) 10⁵=…

Τι   παρατηρείτε;

Κάνουμε ένα ταξίδι με άλματα επί 10;

16) Μπορείτε να γράψετε τον αριθμό 3507  με άλλη μορφή χρησιμοποιώντας τις δυνάμεις του 10;

Θυμόμαστε ότι :

3507 = 3000 + 500 +7 = 3* 1000 + 5 * 100 + 0 * 10 + 7 * 1= …

17)Ας δούμε μερικούς αριθμούς σχηματικά

2^{2  =} 

3²=

4²=

5² =

Τι κοινό έχουν οι αριθμοί  2² , 3², 4², 5² , … α²;

18)Ποιά άλλη ονομασία μπορεί να έχουν οι αριθμοί που είναι υψωμένοι στη δευτέρα;

19)Μια άλλη ονομασία του αριθμού α^3, είναι άλφα στον κύβο γιατί;

20)

Στον αρχαίο αιγυπτιακό πάπυρο του Rhind (1650 π.χ.) βρέθηκε το παρακάτω πρόβλημα, μπορείτε να το λύσετε;

Αν υπήρχαν επτά σπίτια, που το καθένα είχε επτά γάτες, που η κάθε μια έτρωγε επτά ποντίκια, που το καθένα θα έτρωγε επτά στάχυα, που το καθένα στάχυ θα έβγαζε επτά εκάτ κόκκους πόσοι κόκκοι έτσι θα διασώζονταν;

(εκάτ = μονάδα μέτρησης)

21)Μια φορά κι ένα καιρό, στη μακρινή Κίνα ήταν ένας αυτοκράτορας που είχε πάθος με τα παιχνίδια – κυρίως τα επιτραπέζια. Έφτασε όμως μια μέρα που είχε παίξει και είχε βαρεθεί όσα παιχνίδια υπήρχαν. Διέταξε λοιπόν να του φτιάξουν ένα παιχνίδι με απλούς κανόνες, το οποίο όμως κάθε φορά που θα το έπαιζε να είναι διαφορετικό ώστε να μην βαρεθεί ποτέ. Όποιος κατάφερνε να του φτιάξει ένα τέτοιο παιχνίδι θα μπορούσε να ζητήσει οποιαδήποτε αμοιβή. Ένας λοιπόν από τους συμβούλους του σκέφτηκε να δημιουργήσει το σκάκι.

Ο αυτοκράτορας ενθουσιάστηκε και του είπε “Ποια θες να είναι τώρα η αμοιβή σου; Μήπως θες να παντρευτείς την κόρη μου και να γίνεις ο διάδοχός μου στο θρόνο;”, “Όχι” απάντησε ο σύμβουλος “κάτι πιο απλό. Θέλω στο πρώτο από τα 64 τετράγωνα που έχει το σκάκι να βάλεις ένα κόκκο ρύζι, στο δεύτερο 2, στο τρίτο 4, στο τέταρτο 8 κ.ο.κ διπλασιάζοντας κάθε φορά τον αριθμό των κόκκων από ρύζι. Η αμοιβή μου θα είναι όλο το ρύζι που θα υπάρχει πάνω στη σκακιέρα”. “Μόνο αυτό;” Είπε ο αυτοκράτορας και διέταξε να πληρώσουν αμέσως το σύμβουλο. Τελικά όμως το ρύζι που έπρεπε να δώσουν στο σύμβουλο ήταν τόσο πολύ που ο αυτοκράτορας έδωσε όλη την περιουσία του για να τον ξεχρεώσει.

Μπορείτε να υπολογίσετε τον αριθμό κόκκων που πήρε ως αμοιβή;

Αν κάθε κόκκος ρυζιού ζυγίζει κατά μέσο όρο 0,1 g υπολογίστε σε τόνους το βάρος του ρυζιού.

Ας υπολογίσουμε τη τιμή των αριθμητικών παραστάσεων

Στο Γυμνάσιο διδασκόμαστε την επιμεριστική ιδιότητα από τα πρώτα μαθήματα της Αλγεβρας .

α * (β + γ)= α * β + α * γ

Ο καθηγητής – καθηγήτρια μας, επιμένει να τη μάθουμε καλά γιατί όπως λέει είναι βασική ιδιότητα. Στην ερώτηση αν τη χρησιμοποιούμε στη ζωή μας, στη καθημερινότητα μας ξαφνιαζόμαστε, κοιταζόμαστε και απαντάμε πως μαλλον όχι, όχι  δεν τη χρησιμοποιούμε. Και τότε γιατί να τη μαθαίνουμε; Που άραγε θα μας χρειαστεί; Ισως κάποιος επιστήμονας τη χρησιμοποιεί; …. Ε! σίγουρα θα τη χρειαστούμε κάπου στα …..μαθηματικά μας, για να το λέει ο καθηγητής – καθηγήτρια μας κάτι θα ξέρει …..

Η καθηγήτρια μας, μας ρώτησε να της εξηγήσουμε τι εννοούμε με τη φράση “νόστιμα και κατακόκκινα μήλα” , απαντήσαμε “νόστιμα μήλα και κατακόκκινα μήλα” και μετά μας ρώτησε πως αλλοιώς λέμε τη φράση “νόστιμα μήλα και νόστιμα αχλάδια” δώσαμε απάντηση “νόστιμα μήλα και αχλάδια”. Γράψαμε τις ισοδύναμες προτάσεις στον πίνακα κάτω από την επιμεριστική ιδιότητα και ξαφνικά παρατηρήσαμε μια ευθεία αντιστοιχία της επιμεριστικής ιδιότητας με το γλωσσικό πρότυπο!!!

Στη συνέχεια ζήτησε να της πούμε απλές ερωτήσεις / προβλήματα που απαντούσαμε / λύναμε στο Δημοτικό και πολλά από αυτά μας βοήθησε να τα συνδέσουμε με την επιμεριστική ιδιότητα. Θέλετε να σας τα πούμε κι εσάς;

• Στο δημοτικό από την πρώτη τάξη ο δάσκαλος /η δασκάλα, μας έμαθε ότι μπορούμε να προσθέτουμε μόνον όμοια πράγματα πχ:

+ =

Δηλαδή 3 μήλα + 2 μήλα = 5 μήλα

και με άλλο τρόπο λέγαμε:
3φορές+2φορές = (3+2)φορές =5 

3 μήλα + 2 μήλα = ( 3 + 2 ) μήλα = 5 μήλα

ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ!

• Στην επόμενη τάξη μάθαμε να προσθέτουμε διψήφιους αριθμούς π.χ το 14 με το 53. Γράφαμε 14+53=67 και το βρίσκαμε με το μυαλό αφού αναλύαμε κάθε αριθμό στις δεκάδες Δ και τις μονάδες Μ που έχει και στη συνέχεια προσθέταμε μονάδες με μονάδες και δεκάδες με δεκάδες. Στο παράδειγμα μας ο 14=1Δ +4Μ και ο 53=5Δ +3Μ, οπότε
  14+53=(1Δ+5Δ)+( 4Μ+3Μ)=(1+5) Δ+(4+3) Μ=6Δ+ 7Μ=67
  ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ!

• Σε άλλη τάξη μάθαμε διάφορα γεωμετρικά σχήματα και υπολογίζαμε την περίμετρο τους πχ την ημιπερίμετρο ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου με διαστάσεις 3,6 μ και 4 μ . Απαντούσαμε ότι η ημιπερίμετρος:
  Η=3,6μ+ 4μ=7,6μ  ή 3,6 μ + 4 μ =(3,6 + 4) μ  = 7,6 μ
  ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ!

• Αργότερα μάθαμε να βρίσκουμε το εμβαδό ενός γεωμετρικού σχήματος π.χ το εμβαδό του παραπάνω ορθογωνίου είναι το γινόμενο των δύο διαστάσεων του 3,6 μ  *  4 μ. Τον πολλαπλασιασμό αυτό τον κάναμε με δύο τρόπους α) κάναμε τη πράξη κατακόρυφα στο χαρτί μας 3,6 μ  * 4 μ  =14,4 τ.μ ή  β) με το μυαλό μας. Θυμάμαι κάναμε ένα τέχνασμα για να το βρούμε με το μυαλό μας: γράφαμε τον αριθμό 3,6 =3 + 0.6 και μετά όλα ήταν εύκολα αφού 3* 4 =12 και 0,6 * 4 =2,4 Απαντούσαμε ότι το εμβαδό Ε, ισούται με το άθροισμα 12 + 2,4  = 14,4 τ.μ Δηλαδή λέγαμε
  Ε=3,6μ *4μ =(3+0.6) *4 τ.μ =(3*4+ 0,6 *4 )τ.μ =(12 +2,4)τ.μ =14,4τ.μ ΠΑΛΙ ΚΑΙ ΠΑΛΙ Η ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ!

• Ηθελα να ντύσω με αυτοκόλητο ντύμα ένα βιβλίο μου σε μέγεθος Α4 και ενα τετράδιο μου πιο κοντό σε μέγεθος. Με ρώτησε η μαμά πόσο αυτοκόλητο χρειαζόμουν για να αγοράσει. Για το βιβλίο μου μαζί με τα περιθώρια χρειαζόμουν αυτοκόλητο  μήκους 32 εκ και για το τετράδιο 29 εκ. Η μαμά έκανε τη πράξη με το μυαλό της και μου είπε ότι θα αγοράσει αυτοκόλητο μήκους 61 εκ. Η μαμά είχε υπολογίσει :
  32 εκ + 29 εκ = (32+29) εκ = 61 εκ,
  ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ !

• Αυτό το τέχνασμα μου άρεσε και το χρησιμοποιούσα αργότερα για να βρω το γινόμενο μεγάλων αριθμών ως εξής:
  103*8 =(100+3)*8 =100*8+3*8 =800 +24=824
  ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ !

• Για τον υπολογισμό του μήκους υφάσματος που πρέπει να αγοράσω, για να μου ράψει η μοδίστρα δύο φούστες μια κοντή και μια μακρια ποια ιδιότητα των μαθηματικών χρησιμοποιώ;
  ΤΗΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ !

• Οταν λέω 3 χ+ 5 χ = ( 3 + 5 )  χ = 8 χ ποια ιδιότητα των μαθηματικών χρησιμοποιώ;
  ΤΗΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ !

• Ας δοκιμάσουμε να βρούμε με δύο τρόπους πόσα χρήματα θα μου κοστίσει το βάψιμο δύο τοίχων του δωματίου μου, αν το βάψιμο κάθε τετραγωνικού κοστίζει 2 ευρώ;ΕΔΩ–>
• Επιβεβαιώνουμε την ιδιότητα της επιμεριστικής ως προς την αφαίρεση και βρίσκουμε δικά μας παραδείγματα για τη χρησιμότητα της, στην καθημερινότητα μας.
  α * (β – γ)  =  α * β – α * γ

Αφαιρώ ακέραιους αριθμούς παίζοντας.

Μια μέρα έπαιζαν το γνωστό παιχνίδι ερωτήσεων  (βλέπε πρόσθεση ακεραίων) δυο φίλοι ο Γιώργος και ο Γιάννης. Στο τέλος του πρώτης φάσης δέκα παιχνιδιών ο Γιώργος είχε απαντήσει σωστά σε 6 ερωτήσεις και λάθος σε 4. Ο Γιάννης είχε απαντήσει σωστά σε 7 και λάθος σε 3. Στο χρόνο που μεσολάβησε μέχρι να αρχίσει η δεύτερη φάση του παιχνιδιού οι δυο φίλοι βρήκαν την ευκαιρία να τσιμπολογήσουν στην βεράντα τους και να κουβεντιάσουν. Οι δύο αδελφούλες τους όμως αποφάσισαν να δοκιμάσουν κρυφά αυτό το φοβερό παιχνίδι που τόσο καιρό μόνο άκουγαν. Η Λίνα, αδελφή του Γιώργου ενεργοποίησε την δεύτερη φάση, έχασε τις τρεις επόμενες ερωτήσεις του παιχνιδιού και το διέκοψε. Η Ελένη, αδελφή του Γιάννη δεν μπόρεσε να  ενεργοποιήσει τη δεύτερη φάση και το διέκοψε αφού όμως κατάφερε να ….. αφαιρέσει τρεις από τις ήδη κερδισμένες κάρτες του αδελφού της! (Αυτό έγινε γιατί αναίρεσε τα τρία τελευταία κερδισμένα παιχνίδια του αδελφού της)

Μπορείτε να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα;

1) Ποιο ήταν το σκορ του καθενός στη λήξη της πρώτης φάσης;

2)Ποιος ήταν ο νικητής του πρώτου μέρους και πόσο υπερείχε από τον άλλον;

2)Μετά τη μεσολάβηση των δύο αδελφών τους τι σκορ παρουσίαζαν;

Τους ευνόησε η επέμβαση των δύο αδελφών τους ή όχι;

3) Ποιος υπερείχε τελικά και κατά πόσο περισσότερο από τον άλλον;

4)Τι παρατηρείτε;

5)Μπορείτε να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο ισότητας ή ανισότητας ανάμεσα στους αριθούς :

– ( + 3 ) …… + ( – 3 )

6)Μπορείτε να φτιάξετε έναν κανόνα για τους αριθμούς :

– ( + α ) …… + ( – α )

7)Τι θα συνέβαινε αν η Λίνα αδελφή του Γιώργου στη δεύτερη φάση κέρδιζε τις τρεις επόμενες ερωτήσεις του παιχνιδιού ενώ  η Ελένη κατάφερνε να αφαιρέσει τρεις από τις χαμένες κάρτες του αδελφού της!

8)Μπορείτε να βάλετε το κατάλληλο σύμβολο ισότητας ή ανισότητας ανάμεσα στους αριθούς :

– ( – 3 ) …… + ( + 3 )

9)Μπορείτε να φτιάξετε έναν κανόνα για τους αριθμούς :

– ( – α ) …… + ( + α )

10)Να συζητήσετε με τους συμμαθητές της ομάδας σας και να προτείνετε ένα κανόνα για την αφαίρεση δύο αριθμών:

α – β =  α – (……)  = α … (……)

11)Δοκιμάστε να αφαιρέσετε τρεις αρνητικούς βαθμούς από 7 κερδισμένους.

Μήπως έχετε όφελος;

Ας δοκιμάσουμε να βρούμε
1) πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού
2)Το ΕΚΠ 3 φυσικών αριθμων
3)Το γινόμενο 2 φυσικών αριθμών
4)Τους διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού.

Προσθέτω ακέραιους αριθμούς παίζοντας .

Ας φανταστούμε ότι παίζουμε ένα παιχνίδι ερωτήσεων. Αν απαντήσουμε σωστά παίρνουμε μία θετική κάρτα ενώ αν απαντήσουμε λάθος παίρνουμε μια αρνητική  κάρτα. Σε μία παρτίδα ενός παιχνιδιού παίρνουμε 5 θετικές και 2 αρνητικές. Αρα γε  πόσους  πόντους  έχουμε;  Ας δοκιμάσουμε να παίξουμε …

Ας υπολογίσουμε τους πόντους που πήραμε σε 3 ακόμα παιχνίδια, ξεχωριστά για το καθένα. Στο δεύτερο πήραμε 2 αρνητικές και 5 θετικές κάρτες, στο τρίτο 5 θετικές και 2 ακόμα θετικές και στο τέταρτο 5 αρνητικές και 2 επί πλέον αρνητικές.

• Ας γράψουμε τα αποτελέσματα που βρήκαμε:

(+ 5 )  + (- 2 )   =  …

( – 5 )  + ( + 2)  =  …

(+ 5 ) +  ( + 2)  =  …

(- 5 )  +  ( – 2)   =  …

• Μπορείτε να φτιάξετε ένα κανόνα για την πρόσθεση ακεραίων;
• Αρα γε ποιο είναι το σύνολο των πόντων που έχουμε και από τα τέσσερα παιχνίδια ;
• Ενας παιχτης από την ομάδα μας πηρε 5 θετικές κάρτες και 3 αρνητικές, ένας άλλος πήρε 4 θετικές και 7 αρνητικές και ένας τελευταίος πήρε 2 αρνητικές και 8 θετικές. Πόσο είναι το σκορ της ομάδας μας;
  
• Μπορούμε να το βρούμε με τρεις τρόπους;  Ποιος από όλους είναι ο πιο σύντομος;
  

Παράρτημα:

ΟΔΗΓΙΕΣ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ

Μπορείς να συνεχίσεις να απαντάς σε τυχαία ερωτήματα επιλέγοντας το κουμπί “Computer” ή να θέτεις δικά σου ερωτήματα και να τα απαντάς με την επιλογή “user”