Feed
Άρθρα
Σχόλια

ΕΡΩΤΗΜΑ :

Υπάρχει σχέση μεταξύ του αριθμού των πλευρών ενός πολυγώνου και του αριθμού των διαγωνίων του και ποια είναι αυτή; ήταν το ερώτημα που μας απασχόλησε στο μάθημα.

Μια ομάδα μαθητών κατασκεύασαν αρκετά πολύγωνα και τις διαγώνιες τους επιμένοντας να βρουν σχέσεις μεταξύ τους. Μέτρησαν τον αριθμό διαγωνίων στο τετράπλευρο και βρήκαν 2 στο πεντάγωνο 5, στο εξάγωνο 9, στο επτάγωνο 14 και στο οκτάγωνο 20.

Τοποθέτησαν τα ζευγάρια τιμών τους στο επίπεδο για να δουν μια πιθανή σχέση τους.

Το αποτέλεσμα ήταν το παρακάτω σχήμα :

Α!!! είπαν τα σημεία δεν είναι σκόρπια στο επίπεδο έχουν σχέση! τα ζευγάρια τιμών τους βρίσκονται πάνω σε μια καμπύλη!

Θυμήθηκαν μια καμπύλη που είχαν κάνει στα πρώτα μαθήματα συναρτήσεων τη παραβολή

y =  0.5 * x^2. Μήπως μπορούμε να προσδιορίσουμε καλύτερα τη σχέση που ψάχνουμε;

Στο λογισμικό geogebra κατασκεύασαν τη

y = α* x^2

και αλλάζοντας τις τιμές του συντελεστή α προσπάθησαν να προσεγγίσουν τα σημεία τους. Απογοητεύτηκαν γιατί δεν ταίριαζε ακριβώς όσο και αν προσπαθούσαν. Φαινόταν η γνωστή καμπύλη αλλά σαν να είχε τη κορυγή της κάπου αλλού από το Ο(0, 0). Μήπως να συμπλήρωναν τη σχέση με άλλες παραμέτρους; δοκίμασαν να προσθέσουν μία ακόμη και έφτιαξαν τη συνάρτηση y=a*x^2 +b . Τώρα ήταν καλύτερα τα πράγματα, αλλά  και η νέα καμπύλη δεν ταίριαζε. Κάποιος πρότεινε να βάλλουν άλλη μια παράμετρο και έφτιαξαν τη συνάρτηση y=a*(x-c)^2 + b . ΤΕΛΕΙΑ ! Τώρα κατάφεραν να προσεγγίσουν αρκετά καλά τα σημεία και έτσι ανακάλυψαν τη σχέση που έψαχναν.


Ο αριθμός x των πλευρών πολυγώνου και ο αριθμός y των διαγωνίων του έχουν σχέση:

y=  0.5 (x-1.5)^2  – 1.13

Στη συνέχεια μας απασχόλησε το ερώτημα αν οι σχέσεις που βρήκαν όλες οι ομάδες ήταν ίδιες ή διαφορετικές;

Από το λογισμικό του Geogebra έβλεπαν εναλλακτικά τον τύπο της συνάρτησης y=0.5*x^2 – 1.5*x

Ζήτησαν τη βοήθεια μαθητών της επόμενης τάξης και πήραν απάντηση ότι

x (x-3)/2 =(x^2-3x)/2 = 0.5 (x – 1.5)^2 – 1.125

Ναι η προσέγγιση που είχαν κάνει ήταν αρκετά καλή και επομένως η ακριβής σχέση είναι:

y=  0.5 (x – 1.5)^2  – 1.125 ,

όπου x ακέραιος και x>3

ή y =(x-3)*x / 2

όλες οι ομάδες μαθητών είχαν βρει την ίδια σχέση με διαφορετικούς τρόπους!!!

Αν θέλετε να πειραματιστείτε με το ερώτημα δοκιμάστε ΕΔΩ


1 σχόλιο προς “Αναζητώντας … σχέσεις με συνεχή υποστήριξη και ενθάρρυνση.”

Αφήστε μια απάντηση

Top
 
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων