popiardv's blog

ΕΡΩΤΗΜΑ :

Υπάρχει σχέση μεταξύ του αριθμού των πλευρών ενός πολυγώνου και του αριθμού των διαγωνίων του και ποια είναι αυτή; ήταν το ερώτημα που μας απασχόλησε τη προηγούμενη φορά στο μάθημα.

Ξεκινήσαμε ως μικροί εξερευνητές και μελετήσαμε το ερώτημα σχεδιάζοντας πολύγωνα και τις διαγώνιες τους, ψάχνοντας  για σχέσεις.

Παρατηρήσαμε ότι: το τετράπλευρο έχει 2 διαγώνιες, το πεντάγωνο 5 και το εξάγωνο 9. Οι αριθμοί αυτοί δεν φαινόταν να έχουν σχέση …Για το εξάγωνο δε, υπήρχαν διχογνωμίες άλλοι μετρούσαμε 9 διαγώνιες και άλλοι 8. Αν προχωρούσαμε σε σχεδιασμό πολυγώνου με περισσότερες πλευρές δεν ελπίζαμε σε τίποτε αφού οι διαγώνιες θα είναι περισσότερες και τότε θα μπερδευόμασταν σίγουρα όλοι. Να το δούμε κάπως αλλοιώς; πως;

Κάθε φορά που θέλαμε να σχεδιάσουμε όλες τις διαγώνιες ενός πολυγώνου, είχαμε παρατηρήσει ότι για να είμαστε σίγουροι ότι δεν ξεχάσαμε κάποια, έπρεπε να εξαντλήσουμε τη κατασκευή ολων των διαγωνίων που άγονται από μια κορυφή και μετά να συνεχίσουμε σε επόμενη. Μήπως να δούμε πόσες διαγώνιες άγονται από μία κορυφή;

Ωραία αν ενώσουμε μία κορυφή ν-γώνου με όλες τις υπόλοιπες ν-1 κορυφές, τότε δύο τμήματα από αυτά που σχηματίζονται είναι πλευρές του (αφού σχηματίζονται από δύο διαδοχικές κορυφές) και όλα τα υπόλοιπα είναι διαγώνιες. Αρα από κάθε μία κορυφή άγονται ν-3 διαγώνιες. Τέλεια τώρα μπορούμε να πούμε ότι όλες οι διαγώνιες είναι ν(ν-3) αφού αυτό συμβαίνει για κάθε μια κορυφή του. Ομως θυμόμαστε ότι όταν σχεδιάζαμε τις διαγώνιες μερικές ήταν ήδη σχεδιασμένες από προηγούμενη φορά (όταν τις σχεδιάζαμε από την άλλη κορυφή) άρα είναι διπλομετρημένες. Το βρήκαμε!!! Η σχέση που ψάχναμε εμφανίστηκε:

Πλήθος διαγωνίων ν-γώνου = ν(ν-3)/2,

ν φυσικός και ν>3

Ετικέτες:διαγώνιες πολυγώνου, καινοτόμα μαθήματα, μοτίβο