Feed
Άρθρα
Σχόλια

Αρχείο για την κατηγορία 'Β΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ'

Οι άρρητοι αριθμοί

Οι μαθητές μέχρι τα μέσα της Β΄Γυμνασίου γνωρίζουν και εργάζονται στα μαθηματικά τους με αριθμούς  που τους διαχωρίζουν σε φυσικούς, ακέραιους και ρητούς ή κλασματικούς. Μπορούν να τους απεικονίζουν σε μια αριθμογραμμή και έχουν τη βεβαιότητα ότι κάθε αριθμός ακέραιος ή δεκαδικός έχει μία μοναδική θέση στην αριθμογραμμή και αντίστροφα κάθε σημείο της αριθμογραμμής απέχει από το 0 απόσταση ίση με έναν αριθμό φυσικό ή δεκαδικό / κλασματικό. Εχουν μία μεγάλη σιγουριά ότι όλοι αυτοί οι αριθμοί (ρητοί) καλύπτουν πλήρως την αριθμογραμμή.

Ας δούμε όμως τον προβληματισμό τους στο παρακάτω πρόβλημα, ένα πρόβλημα που φαίνεται από τον διάλογο «Μένων» του Πλάτωνα, ότι απασχολούσε τους «φιλόσοφους»  από την αρχαιότητα.

Το

160px-Meno_(Socrates)_drawing_29

Το πρόβλημα:αα

Να κατασκευαστεί ένα τετράγωνο που έχει διπλάσιο εμβαδόν από ένα άλλο δοσμένο.

Στον διάλογο αυτό ο Σωκράτης καταφέρνει με τις μεθόδους του, την μαιευτική και επαγωγική σκέψη, ο δούλος του Μένωνα να λύσει το πρόβλημα.

Ο διπλασιασμός της πλευράς του αρχικού τετραγώνου οδηγεί σε τετραπλασιασμό του εμβαδού του.  Ποιο μήκος άρα γε οδηγεί στο διπλασιασμό του εμβαδού του τετραγώνου; Αν ενώσουμε τις διαγώνιες των τετραγώνων αυτών παίρνουμε ένα τετράγωνο διπλάσιο του αρχικού, όπως εύκολα διαπιστώνουμε από το παραπάνω σχήμα.

Η πλευρά του τετραγώνου και η διαγώνιος του είναι μεγέθη ασύμμετρα.

Αν υποθέσουμε ότι το εμβαδόν του αρχικού τετραγώνου είναι 1 cm^2 πόσο μήκος έχει η πλευρά του τετραγώνου με διπλάσιο εμβαδόν; Οι μαθητές εφαρμόζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα και απαντούν ότι η νέα πλευρά είναι η λύση της εξίσωσης χ^2=2. Ποιου αριθμού το τετράγωνο ισούται με 2; Με δοκιμές βρίσκουν  χ=1,414με προσέγγιση χιλιοστού και  με έναν υπολογιστή:

r2

Ο αριθμός αυτός είναι δεκαδικός, απειροψήφιος, μη περιοδικός και τον ονομάζουμε ΑΡΡΗΤΟ. Οι άρρητοι είναι όλοι οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, δεν μπορεί δηλαδή να εκφραστούν ως πηλίκο δύο ακεραίων.

root

Απεικονίζουμε τον άρρητο αυτό στην αριθμογραμμή καθώς αλλά και οποιονδήποτε άλλον αφού τον κατασκευάσουμε γεωμετρικά.

Οι άρρητοι με τους ρητούς αποτελούν το σύνολο των πραγματικών αριθμών και ισχύει ότι «κάθε πραγματικός αριθμός  έχει μία μοναδική θέση στην αριθμογραμμή και αντίστροφα κάθε σημείο της αριθμογραμμής απέχει από το 0 απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή κάποιου πραγματικού αριθμού. Ολοι  οι πραγματικοί αριθμοί καλύπτουν πλήρως την αριθμογραμμή.

Μερικές από τις δημιουργίες μαθητών για την κατασκευή του Πυθαγόρειου σπιράλ: https://blogs.sch.gr/popiardv/archives/1610

 

 

 

Αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

9

786

Μερικές αποδείξεις για το Πυθαγόρειο Θεώρημα μπορεί να σας εντυπωσιάσουν. Ασχοληθείτε με κάθε μία από αυτές που ακολουθούν και προσπαθήστε να την εξηγήσετε. 

Απόδειξη 1:

3

Απόδειξη 2:

4

Απόδειξη 3: 

5

Ένα Πυθαγόρειο Δέντρο: 

2

Ένα Πυθαγόρειο παραμύθι:

1

300px-Missing_Square_Animation

Ο γρίφος του χαμένου τετραγώνου εφευρέθηκε το 1953 απο έναν ερασιτέχνη μάγο, τον Paul Curry, στη Νέα Υόρκη και απεικονίζει δύο ορθογώνια τρίγωνα, τα οποία έχουν διαστάσεις 13×5.

Τα τρίγωνα αποτελούνται απο μικρότερα κομμάτια (των οποίων οι ακέραιες διαστάσεις 2, 3, 5, 8, 13 αποτελούν μέρος της ακολουθίας του Fibonacci) και το παράδοξο έγκειται στο γεγονός ότι παρόλο που αποτελούνται απο τα ίδια κομμάτια, το δεύτερο ορθογώνιο τρίγωνο παρουσιάζει ένα κενό 1×1.
Πάτησε πάνω στην εικόνα που ακολουθεί για να επαναλάβεις τη μεταφορά των κομματιών και  να διαπιστώσεις τι γίνεται….
sq2

Εναλλακτικά ΕΔΩ

ααα
Πηγή:
και

Θέλετε να παίξουμε ένα έξυπνο παιχνίδι; Παίζοντας το θα ανακαλύψετε πόσο έξυπνος είναι ο υπολογιστής σας, ότι μπορεί να καταλαβαίνει τι σκέφτεστε και ότι υπάρχουν μαγικά κόλπα… 

Ας δούμε όμως πώς παίζεται.

Αρχικά πατάτε εδώ στο σπιτάκι s1

και ακολουθείτε τις παρακάτω οδηγίες πατώντας s2:

1)Βλέπετε έναν πίνακα με αριθμούς. Πρέπει να διαλέξετε έναν από αυτούς π.χ. s13Μην τον πείτε σε κανέναν, μόνο σκεφτείτε τον με το μυαλό σας.

2)Παρατηρήστε το χρώμα του αριθμού σας και επιλέξτε το ίδιο χρώμα στη γραμμή με τα χρώματα, που ακολουθεί π.χ. s14. Απομνημονεύστε τον αριθμό σας.

3)Τώρα πρέπει να διαλέξετε ένα από τα παρακάτω χρώματα. s5 Διαλέξτε αυτό που σας αρέσει.

4)Μια σειρά από σπιτάκια περιέχουν αριθμούς, έξι διαφορετικούς αριθμούς το καθένα. Βρείτε σε ποιο σπιτάκι βρίσκεται ο αριθμός σας και επιλέξτε το s6.

5)Λίγα μαγικά …. πατήστε πάνω σε μία μπάλα…. Προσέξτε μη μαρτυρήσετε τον αριθμό σας, μην τον πείτε πουθενά. Το μηχάνημα σας ….ίσως σας ακούει …… ίσως λαμβάνει τη σκέψη σας ……ίσωςs7.

6)Βλέπετε τρεις πόρτες s8Πατήστε πάνω σε μία από αυτές. Μήπως είναι ο δικός σας αριθμός μέσα; Πώς έγινε αυτό;

Ωραία περάσαμε, παίξαμε και ξαφνιαστήκαμε με τα … μαγικά. Μήπως όμως πίσω από όλα αυτά κρύβονται τα μαθηματικά; Μήπως μπορούμε να δώσουμε μια εξήγηση; Πώς λειτουργεί το παιχνίδι;

 Ο καθένας μας μπορεί να φτιάξει ένα δικό του παιχνίδι και να παίξει με τους φίλους του, προβληματίζοντας τους αρκετά με το πώς βρίσκουμε τον αριθμό που έχουν επιλέξει …

Ο γρίφος του ΤΑΥ

Ένας γρίφος για μικρούς και μεγάλους.

Τέσσερα διαφορετικά κομμάτια σχηματίζουν διάφορα σχέδια, όπως αυτό του σχήματος παρακάτω. Παίξε κι εσύ και σχημάτισε δικά σου σχέδια χρησιμοποιώντας κάθε φορά τα τέσσερα αυτά κομμάτια.

Προσπάθησε να κατασκευάσεις το κεφαλαίο γράμμα ΤΑΥ.  Μετά απάντησε στο ερώτημα: Ποιο είναι το εμβαδόν του  σχήματος που σχηματίζεται κάθε φορά από τα τέσσερα αυτά κομμάτια;

Κάνε κλικ πάνω στην εικόνα για να ανοίξεις το αρχείο (geogebra)

TAY

 

πηγή: http://www.mathematikum.de/

Πυθαγόρειο θεώρημα

Μια ακόμη  «απόδειξη» του Πυθαγορείου θεωρήματος με το λογισμικό Geogebra

Παρατηρήστε το σχήμα που σας παρουσιάζεται και το πως εξελίσσεται.

Δοκιμάστε να εξηγήσετε τη σχέση :

ΑΒ^2+ΑΓ^2 =ΒΓ^2

Για να διευκολυνθήτε στην εξήγηση του Πυθαγορείου  θεωρήματος ακολουθήστε το ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Πυθαγόρειο Θεώρημα

Πυθαγόρειο θεώρημα

Μια ακόμη οπτική  «απόδειξη»  του πυθαγορείου θεωρήματος με το λογισμικό Geogebra

Δοκιμάστε:

Aντικείμενα σχεδιασμένα στο επίπεδο

ααα

Όταν θέλουμε να απεικονίσουμε ένα αντικείμενο που υπάρχει ή που πρόκειται να κατασκευαστεί, χρησιμοποιούμε το σύστημα των ορθών προβολών. Σχεδιάζουμε την όψη, κάτοψη και τομές του στο χαρτί μας. Σχεδιάζουμε μια σμίκρυνση του αντικειμένου υπό κλίμακα, ώστε να έχουμε ακριβείς πληροφορίες και  αντίληψη για τις μορφές και τα μεγέθη σχημάτων, γραμμών και γωνιών του αντικειμένου. Είναι πολύ σημαντικά σχέδια γιατί μπορούμε να παραστήσουμε τη μορφή του χώρου από μέσα. Χρησιμοποιούμε δε σε συνδυασμό όλα μαζί κατόψεις, τομές και όψεις για να πάρουμε ή να δώσουμε το σύνολο των πληροφοριών για ένα χώρο, για ένα αντικείμενο στο χώρο.


Τα παραπάνω συμπληρώνονται με το αξονομετρικό σύστημα προβολών, οι οποίες στηρίζονται στις κατόψεις και τομές του αντικειμένου αλλά μας δίνουν μια τρισδιάστατη μορφή του. Στο αξονομετρικό σύστημα όλες οι παράλληλες γραμμές διατηρούν τη παραλληλία τους καθώς και το μέγεθος τους τα τμήματα.

aaa


Αντιθέτως στο προοπτικό σχέδιο οι παράλληλες γραμμές φαίνεται ότι συγκλίνουν σε ένα σημείο και τα τμήματα δεν κρατούν το μέγεθός τους αφού αυτά φαίνονται μεγαλύτερα όσο πιο κοντά μας βρίσκονται και μικρότερα όσο απομακρύνονται από εμάς. Σε αυτή τη περίπτωση το σχέδιο πλησιάζει περισσότερο σε αυτό που ¨βλέπει¨ το ανθρώπινο μάτι.

ααα



Με λογισμικά του υπολογιστή που αναπτύχθηκαν τα τελευταία χρόνια μπορούμε να έχουμε ένα συνδυασμό δισδιάστατης και τρισδιάστατης εικόνας. Μπορούμε δηλαδή να έχουμε σε μια εικόνα σχεδόν όλες τις πληροφορίες και μια καλή προσομοίωση της πραγματικότητας.


ααα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ



Παρατηρώντας το σχήμα του τραπεζιού βλέπουμε τις μπροστινές ακμές μεγαλύτερες από αυτές που είναι στη πίσω πλευρά. Οι ευθείες συγκλίνουν στο σημείο φυγής.

ααα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ


Αν παρατηρήσουμε καλά το παραπάνω σχέδιο τραπεζιού, βλέπουμε τρεις γραμμές ίσα ευθύγραμμα τμήματα, που σχηματίζουν ανάμεσα τους ίσες γωνίες 120 μοιρών . Οι ακμές του παραμένουν παράλληλες και ίσες.
Ας δούμε πως σχεδιάζοντας ευθύγραμμα τμήματα στο χαρτί μας, δίνουμε στο σχήμα τρισδιάστατη υπόσταση, με αξονομετρικό σύστημα.

Ακολουθήστε τις οδηγίες και απαντήστε στα ερωτήματα. Φανταστήτε, δοκιμάστε, παίξτε, σκεφθήτε και βγάλτε τα δικά σας συμπεράσματα.

Αρκετοί ζωγράφοι, όπως ο Vasarely έπαιξαν με το τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων και τα χρώματα. Σχεδίασαν έργα βάζοντας μας σε αμφιβολίες.  Το μάτι μας μπερδεύεται μια βλέπει ένα κύβο μέσα σε έναν άλλο και την άλλη  ένα κομμάτι κύβου να λείπει από μια γωνία κύβου.


Παρατηρήστε το σχέδιο του Vasarely. Τι βλέπετε; Είσαστε σίγουροι;


ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ!

Καλά  Χριστούγεννα  !

με διασκέδαση και μάθηση.

Διασκεδάστε παρατηρώντας το αστέρι.

Παρατηρήστε από ποια βασικά στερεά σώματα αποτελείται και υπολογίστε την απόσταση δύο μη διαδοχικών κορυφών του.

Πατήστε πάνω στην εικόνα που ακολουθεί:


Εναλλακτικά το αρχείο ΕΔΩ

1) ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΑΒΓ


Δίνονται τρεις αριθμοί α, β, γ. Μπορούμε πάντα να κατασκευάζουμε τρίγωνο με πλευρές τα μήκη α, β, γ;

Ποια σχέση πρέπει να συνδέει τα α, β, γ ώστε να κατασκευάζεται τρίγωνο;

Εναλλακτικά το αρχείο ΕΔΩ

ααα

  • Το παραπάνω τρίγωνο που βλέπετε έχει κατασκευαστεί με μήκη πλευρών 9.4εκ, 8.3εκ,  6.6εκ.

Μπορείτε να κατασκευάσετε τρίγωνο με μήκη πλευρών του 4εκ, 6εκ, 15εκ;  Ναι ή όχι και γιατί;

ααα

2) ΥΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΑΒΓ


Πόσα ύψη έχει ένα τρίγωνο; Που τέμνονται; Από τι εξαρτάται η θέση του σημείου τομής τους;

Ασχοληθήτε με τη δραστηριότητα που προτείνεται.

(Πατήστε πάνω στην εικόνα τριγώνων)

Εναλλακτικά το αρχείο ΕΔΩ

ααα

3) ΤΥΠΟΣ ΕΜΒΑΔΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΑΒΓ


Να βρείτε τον τύπο εμβαδού τριγώνου, όταν είναι γνωστός ο τύπος εμβαδού παραλληλογράμμου.


(Πατήστε πάνω στην εικόνα που ακολουθεί)


Εναλλακτικά το αρχείο ΕΔΩ

ααα

  • Να αποδείξετε ότι ο τύπος του εμβαδού τριγώνου ΑΒΓ είναι:

(ΑΒΓ) = (α .υα)/2= (β . υβ)/2 =(γ . υγ) /2

οπου α, β, γ είναι οι πλευρές του τριγώνου και υα, υβ, υγ είναι τα αντίστοιχα ύψη.

ααα

4) ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΤΡΙΓΩΝΑ


Να βρείτε τη σχέση των εμβαδών τριγώνων με ίδια/ίση βάση και ίδιο/ίσο, το αντίστοιχο ύψος.
(Πατήστε πάνω στην εικόνα που ακολουθεί)


Εναλλακτικά το αρχείο ΕΔΩ

ααα

  • Τα τρίγωνα του παρακάτω σχήματος είναι ισοδύναμα; Γιατί;




Παλιότερα Άρθρα »

Top
 
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων