Το Μεγάλο Παζάρι ! ( The Monty Hall problem)

Ιδού γραμμένη και η λύση, για το «Παράδοξο του Monty Hall», εκτός από το Video:
Διευκρίνιση:
Ο Monty Hall είναι Καναδός σόουμαν, που παρουσίαζε το περίφημο τηλεπαιχνίδι «Let’s make a deal» στο ABC από το 1963 μέχρι το 1977 και σε μερικές ακόμα μεμονωμένες σαιζόν μέχρι και το 1991. Το τηλεπαιχνίδι αυτό είναι από τα ιστορικότερα που έχουν περάσει από την τηλεόραση και χαρακτηριστικό είναι ότι αρκετά στοιχεία του έχουν εμπνεύσει και επηρεάσει πολλά τηλεπαιχνίδια μέχρι και σήμερα.
Όμως αν κάποιος “χτυπήσει” στο google το όνομα Monty Hall δεν θα έχει αποτέλεσμα τον παρουσιαστή αλλά ένα από τα μεγαλύτερα παράδοξα της επιστήμης των πιθανοτήτων. Όλα ξεκίνησαν όταν το 1975 ο Steve Selvin έστειλε ένα γράμμα στο περιοδικό American Statistician, δημοσιεύοντας ένα πρόβλημα βασισμένο στο συγκεκριμένο τηλεπαιχνίδι, το οποίο αργότερα ονόμασε “Monty Hall problem”. Το παράδοξο (ή πρόβλημα) του Monty Hall έχει ως εξής:
«Υπάρχουν τρεις πόρτες. Η μία εξ αυτών κρύβει ένα αυτοκίνητο. Οι άλλες δύο κρύβουν από μία κατσίκα. Ο παίκτης καλείται να διαλέξει μια πόρτα.»
Λύση:
Ας πούμε πως ο παίκτης επιλέγει την 1η πόρτα. Ο παρουσιαστής, βέβαια, δε θα ανοίξει αμέσως αυτήν την πόρτα, αλλά θα καθυστερήσει λίγο, ανοίγοντας ας πούμε την 3η πόρτα, η οποία περιέχει μία κατσίκα.
Εκείνη τη στιγμή, λοιπόν, ο παρουσιαστής δίνει στον παίκτη τη δυνατότητα να αλλάξει, αν θέλει, την επιλογή του ανάμεσα στις δύο πόρτες που έχουν απομείνει ή βέβαια, αν θέλει, να τη διατηρήσει.
Αν ήσουν στη θέση του παίκτη τι θα επέλεγες να κάνεις;
Η συντριπτική πλειοψηφία των ανθρώπων που ερωτώνται (και έχουν κατανοήσει το πρόβλημα) απαντούν ότι δεν υπάρχει διαφορά όποια πόρτα κι αν διαλέξει ο παίκτης, οπότε και εμμένουν στην αρχική τους επιλογή (δηλ. την 1η πόρτα). Αυτό όμως είναι λάθος, γιατί αν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του, και ζητήσει την άλλη πόρτα, έχει διπλάσιες πιθανότητες να βρει το αυτοκίνητο!
Για να κατανοήσουμε το γιατί, πρέπει να σκεφτούμε ποιες είναι οι δυνατές στρατηγικές που μπορεί να ακολουθήσει ο παίκτης. Υπάρχουν δύο επιλογές:
1) Ο παίκτης επιλέγει μία πόρτα και εμμένει σε αυτήν μέχρι το τέλος, ότι και αν του πει ο παρουσιαστής. Αφού υπάρχουν τρεις πόρτες και ένα αυτοκίνητο, η πιθανότητα νίκης με αυτή τη στρατηγική είναι 1/3.
2) Ο παίκτης επιλέγει αρχικά μία πόρτα και μόλις ο παρουσιαστής ανοίξει μία άλλη πόρτα και αποκαλύψει μία κατσίκα, αλλάζει και επιλέγει την πόρτα που έχει απομείνει. Με αυτή τη στρατηγική, ο παίκτης για να κερδίσει τελικά, οφείλει να επιλέξει αρχικά μία πόρτα με κατσίκα. Ο παρουσιαστής θα ανοίξει τότε την άλλη πόρτα με την κατσίκα και αλλάζοντας ο παίκτης θα πάρει τελικά το αυτοκίνητο. Έτσι η πιθανότητα νίκης του με αυτή τη δεύτερη στρατηγική είναι 2/3.
Ο λόγος που οι περισσότεροι οδηγούνται στη λανθασμένη επιλογή είναι ότι υποτιμούν τα δεδομένα. Η κατάσταση στην οποία βρεθήκαμε δεν είναι καθόλου ανεξάρτητη από το παρελθόν της, δηλαδή από τον τρόπο με τον οποίο προέκυψε.
Στην αρχή, όταν υπήρχαν τρεις κλειστές πόρτες, η πιθανότητα να επιλέξει ο παίκτης την πόρτα με το αυτοκίνητο ήταν 1/3, ενώ η πιθανότητα να επιλέξει πόρτα με κατσίκα ήταν 2/3. Αποκαλύπτοντας ο παρουσιαστής την κατσίκα, πίσω από την πόρτα που άνοιξε, δεν άλλαξε αυτό το δεδομένο.
Αυτό που συνήθως παραβλέπεται είναι ένα στοιχείο που έχει διατυπωθεί ή εννοηθεί στην υπόθεση του προβλήματος, το γεγονός δηλαδή ότι ο παρουσιαστής πάντα:
α) γνωρίζει τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα και
β) θα επιλέξει ποια πόρτα θα ανοίξει πρώτη, ούτως ώστε η αγωνία να παραταθεί και να συγκεντρωθεί στο επόμενο άνοιγμα.
Χωρίς αυτό το δεδομένο, πράγματι, το άνοιγμα της πρώτης πόρτας θα ήταν ένα τυχαίο πείραμα και το αποτέλεσμά του, η αποκάλυψη της κατσίκας, θα μας δημιουργούσε καινούρια δεδομένα, ανεξάρτητα από τα αρχικά, και τότε πράγματι οι πιθανότητες θα γίνονταν 50%-50%.
Αλλά λαμβάνοντας υπόψη το παραπάνω δεδομένο, καταλαβαίνουμε ότι με το άνοιγμα της πόρτας ο παρουσιαστής δεν αλλάζει καθόλου τις πιθανότητες. Έτσι η αρχική επιλογή του παίκτη, εξακολουθεί να έχει 1/3 πιθανότητα να κρύβει αυτοκίνητο και 2/3 πιθανότητα να κρύβει κατσίκα. Τότε η άλλη πόρτα θα έχει, αντιστρόφως, 2/3 πιθανότητα να έχει αυτοκίνητο και 1/3 να έχει κατσίκα. Αλλάζοντας πόρτα, λοιπόν, έχουμε διπλάσιες πιθανότητες να βρούμε το αυτοκίνητο.
Είναι γεγονός ότι και μαθηματικοί μεγάλου βεληνεκούς, δεν βρίσκουν τη σωστή απάντηση. Είναι πολύ γνωστή η διένεξη της Μέριλιν Φος Σαβαντ, του ανθρώπου εν ζωή με το μεγαλύτερο IQ (228 μονάδες), με πολλούς μαθηματικούς. Η Μεριλιν Φος Σαβαντ έγραφε μια δημοφιλή στήλη στο περιοδικό Parade η οποία τιτλοφορούνταν “Ρώτα την Μέριλιν”. Το 1990 όταν ρωτήθηκε για το παράδοξο του Monty Hall από αναγνώστη του περιοδικού, υποστήριξε ότι για να βελτιωθούν οι πιθανότητες πρέπει ο διαγωνιζόμενος οπωσδήποτε να αλλάξει πόρτα.
Το αποτέλεσμα ήταν απρόσμενο, 10.000 αναγνώστες από τους οποίους οι 1.000 είχαν τριτοβάθμια εκπαίδευση, έστειλαν διαμαρτυρία στο περιοδικό ότι η λύση ήταν λανθασμένη. Η Μέριλιν Φος Σαβαντ τελικά δικαιώθηκε και η απάντησή της επαληθεύτηκε πειραματικά με την μέθοδο Montecarlo. Οι στατιστικές δείχνουν ότι μόλις το 13% των ανθρώπων απαντάει σωστά στην ερώτηση του παραδόξου.
Εάν θέλεις και εσύ να δοκιμάσεις την τύχη σου, με το παράδοξο του Monty Hall, κάνε κλικ εδώ.