E-DASKALOS
e-sos
Geogebra Math Apps
LISARI
MATH A MAGIC PATH
MATHEMATICA
MATHMAGIC
Αρωγή Παιδείας
Άσκηση
Ασκησόπολις
ΓΕ.Λ ΑΡΙΔΑΙΑΣ
ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ
ΔΔΕ Πέλλας
Ε.Μ.Ε
Ε.Μ.Ε -Κεντρικής Μακεδονίας
ΕΚΔΟΣΕΙΣ
ΜΑΘ&ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
Ο Άγνωστος Χ
Ο Μαθηματικός
Τμήμα Μαθηματικών – Α.Π.Θ
Υπουργείο Παιδείας
“Μια βρύση γεμίζει μια άδεια δεξαμενή νερού σε 2 ώρες ακριβώς.
Μια δεύτερη βρύση γεμίζει την ίδια δεξαμενή σε 4 ώρες ακριβώς.
Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει η παραπάνω δεξαμενή , αν ανοιχθούν και οι δυο βρύσες ταυτόχρονα;”
ΠΗΓΗ : Οδός Μαθηματικής Σκέψης, Γ. Θωμαΐδης – Γ. Ρίζος, Εκδόσεις Μαυρίδη, Θεσ/νίκη 2017, σελίδα 53.
Οι γρίφοι αυτοί βασίζονται στη λύση εξίσωσης της μορφής: 1/x = 1/α + 1/β (1) και γενικά στην αναγωγή στη μονάδα !
Όπου, α, β, x όλοι θετικοί.
Στην (1) έχουμε θεωρήσει ,
- α , τις ώρες που κάνει για να γεμίσει τη δεξαμενή η πρώτη βρύση, σε μια ώρα έχει γεμίσει το 1/α της δεξαμενής.
- β , τις ώρες που κάνει να γεμίσει τη δεξαμενή η δεύτερη βρύση, σε μια ώρα έχει γεμίσει το 1/β και
- x οι ώρες που κάνουν να την γεμίσουν και οι δυο μαζί!
Άρα 1/x = 1/2 + 1/4 ή 1/x = 3/4 ή x = 4/3 , (4/3 *60 = 80λεπτά)
Υπάρχουν και προβλήματα όμως που δεν έχουν λύση (αδύνατο), όπως το παρακάτω :
Μια βρύση γεμίζει μια άδεια δεξαμενή νερού σε 12 ώρες ακριβώς. Μια δεύτερη βρύση γεμίζει την ίδια δεξαμενή σε 15 ώρες ακριβώς και μια τρίτη μπορεί να την αδειάσει σε 5 ώρες. Αν η δεξαμενή είναι κενή και ανοιχθούν ταυτόχρονα και οι τρεις βρύσες , σε πόσες ώρες θα γεμίσει η παραπάνω δεξαμενή ;”
Εδώ προκύπτει η εξίσωση 1/12 + 1/15 – 1/5 = 1/x που ισοδυναμεί μετά από πράξεις με:
-3x = 60 ή x = -20.
Αυτό σημαίνει ότι η δεξαμενή δεν θα γεμίσει ποτέ!
Τέλος ένα ενδιαφέρον πρόβλημα είναι το παρακάτω :
“Δυο βρύσες όταν λειτουργούν ταυτόχρονα , γεμίζουν μια δεξαμενή σε 2 ώρες. Όταν λειτουργούν χωριστά , η μια βρύση χρειάζεται 3 ώρες περισσότερο χρόνο απ την άλλη για να γεμίσει τη δεξαμενή. Να βρείτε το χρόνο που χρειάζεται κάθε βρύση για να γεμίσει τη δεξαμενή μόνη της.”
ΛΥΣΗ, 3 ώρες και 6 ώρες μετά από ένα “όμορφο” συστηματάκι!
Εάν ανοίξουμε και τις δύο βρύσες συγχρόνως θα γεμίσουν την δεξαμενή σε 1ώρα και 20΄ λεπτά ή σε 80΄ λεπτά. Πράγματι η πρώτη βρύση γεμίζει την δεξαμενή σε 1/3 ώρες. Η δεύτερη βρύση γεμίζει την δεξαμενή σε 1/2 ώρες. Εάν ανοίξουμε ταυτόχρονα και τις δύο βρύσες μαζί θα γεμίσουν την δεξαμενή σε:
1/3+1/2=(2+1)/4=3/4 της ώρας.
Επειδή η ώρα έχει 60΄ λεπτά θα έχουμε:
(3/4)*60=3*15=45΄λεπτά ο.ε.δ.
Δίνεις δυο διαφορετικές απαντήσεις. Αρχικά λες ο,τι θα γεμίσει σε 80 λεπτά και μετά λες ο,τι θα γεμίσει σε 3/4 της ώρας άρα 45 λεπτά ! Ποιο απ τα δυο ισχύει ; Το 1/3 ώρες για την πρώτη και το 1/2 ώρες για τη δεύτερη,
πώς προκύπτουν ; Να σχολιάσω κάτι ακόμη , προσοχή στα κλάσματα , 1/3 + 1/2 δεν κάνει 3/4 αλλά 5/6 , ΕΚΠ(3,2) =6.
Λίγη βοήθεια : Η πρώτη βρύση γεμίζει τη δεξαμενή σε 2 ώρες, άρα σε 1 ώρα θα έχει γεμίσει το 1/2 της δεξαμενής……..συνεχίζεται
Εάν ανοίξουμε και τις δύο βρύσες συγχρόνως θα γεμίσουν την δεξαμενή σε 45΄ λεπτά. Πράγματι η πρώτη βρύση γεμίζει την δεξαμενή σε 1/2 ώρες. Η δεύτερη βρύση γεμίζει την δεξαμενή σε 1/4 ώρες. Εάν ανοίξουμε ταυτόχρονα και τις δύο βρύσες μαζί θα γεμίσουν την δεξαμενή σε:
1/2+1/4=χ —> (2+1)= 4χ —> χ=3/4 της ώρας.
Επειδή η ώρα έχει 60΄ λεπτά θα έχουμε:
χ=(3/4)*60 —> χ=3*15 = 45΄ λεπτά ο.ε.δ.
Δυστυχώς λάθος λύση.
Να σχολιάσω κάτι όμως , γράφεις : “η πρώτη βρύση γεμίζει την δεξαμενή σε 1/2 ώρες. “ δεν ισχύει κάτι τέτοιο ! Η πρώτη βρύση γεμίζει τη δεξαμενή σε 2 ώρες , όχι σε 1/2 ώρες !!
2ος τρόπος λύσης:
Η πρώτη βρύση γεμίζει την δεξαμενή σε 1/2 ώρες.
Άρα:(1/2)*60=30΄λεπτά.
Η δεύτερη βρύση γεμίζει την δεξαμενή σε 1/4 ώρες.
Άρα: (1/4)*60=15΄λεπτά
Σύνολο:30+15=45΄λεπτά.
Δεν διαφέρει η λύση αυτή με την προηγούμενη !! Και δυστυχώς δεν είναι σωστή !
Εάν ανοίξουμε και τις δύο βρύσες συγχρόνως θα γεμίσουν την δεξαμενή σε 1ώρα και 20΄λεπτά. Έστω ότι και οι δύο βρύσες μαζί γεμίζουν την δεξαμενή σε x ώρες. Αφού η πρώτη βρύση γεμίζει τη δεξαμενή σε 2 ώρες, σε μία ώρα θα έχει γεμίσει το 1/2 της δεξαμενής και σε x ώρες θα έχει γεμίσει τα x/2 της δεξαμενής. Ομοίως, αφού η δεύτερη βρύση γεμίζει τη δεξαμενή σε 4 ώρες, σε μία ώρα θα έχει γεμίσει το 1/4 της δεξαμενής και σε x ώρες θα θα έχει γεμίσει τα x/4 της δεξαμενής. Αφού και οι δύο βρύσες μαζί θα γεμίσουν την δεξαμενή έχουμε την εξίσωση:
(x/2)+(x/4)=1 —> 2x+x=4*1 —> 3x=4 —>
x=4/3ώρες
Άρα, χ=(4/3)*60 —-> χ=4*20 —> χ=80΄ή 1ώρα και 20΄λεπτά.
Σωστή λύση. Μπράβο.
Πολύ ωραίο πρόβλημα και παρουσίαση.
Ήθελα τη γνώμη σας για ένα πρόβλημα εδώ
https://yourstudy-community.gr/wp-content/uploads/2022/03/%CE%9C%CE%91%CE%98%CE%97%CE%9C%CE%91%CE%A4%CE%99%CE%9A%CE%95%CE%A3-%CE%93%CE%9D%CE%A9%CE%A3%CE%95%CE%99%CE%A3-%CE%94%CE%95-2004-%CE%91%CE%A0%CE%91%CE%9D%CE%A4%CE%97%CE%A3%CE%95%CE%99%CE%A3.pdf.
Είναι το 72 και δίνει λύση 8 λεπτά.
Εγώ υπολόγισα ότι όλη η δεξαμενή έχει 3600 λίτρα και δεν μου βγαίνει το σωστό αποτέλεσμα. Έχω κάνει κάτι λάθος;
Ωραίο πρόβλημα. Λοιπόν, αφού αδειάζει η Κ3 120 λίτρα το λεπτό και σε 30 λεπτά θα αδειάζει 3600 λίτρα που πολύ σωστά βρήκες ότι είναι η δεξαμενή.
Τα 2/3 του 3600 είναι 2400 λίτρα .Άρα θέλουμε για να γεμίσει 1200 λίτρα.
Σε ένα δευτερόλεπτο, ανοίγοντας και τις τρεις,γεμίζει 4,5 λίτρα και αδειάζει 2 άρα γεμίζει 2,5 λίτρα το δευτερόλεπτο ή αλλιώς 2,5*60 = 150 λίτρα το λεπτό
Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει ; Δηλαδή πόσο χρόνο χρειάζεται για να φτάσει τα 1200 λίτρα;
Είναι 1200:150 = 8 λεπτά.
Καλή συνέχεια αγαπητέ Νίκο.
Σε ευχαριστώ για την επίσκεψη στο ιστολόγιο μου.
ΓΕΙΑ ΣΑΣ ΠΩΣ ΛΥΝΕΤΑΙ Η ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΑΣΚΗΣΗ ?ΜΙΑ ΒΡΥΣΗ ΓΕΜΙΖΕΙ ΤΗ ΔΕΞΑΜΕΝΗ ΣΕ 3 ΩΡΕΣ ΕΝΩ ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΓΕΜΙΣΕΙ ΤΗ ΔΕΞΑΜΕΝΗ ΣΕ 2 ΩΡΕΣ.ΣΕ ΠΟΣΟ ΧΡΟΝΟ ΘΑ ΓΕΜΙΣΟΥΝ ΑΥΤΗ ΤΗ ΔΕΞΑΜΕΝΗ ΟΙ ΔΥΟ ΒΡΥΣΕΣ ΑΝ ΑΝΟΙΞΟΥΝ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ ?
ΕΓΩ ΑΚΟΥΛΟΥΘΩ ΤΑ ΒΗΜΑΤΑ ΜΕ ΚΑΠΟΙΑ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΟΜΟΙΑ ΜΕ ΜΙΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΝΩ ΔΗΛΑΔΗ 1/3+1/2 ΜΕΤΑ ΤΙ ΚΑΝΩ ,ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ
α΄ τρόπος (αναγωγή στη μονάδα)
σε μια ώρα μαζί θα έχουν γεμίσει τα (1/2+1/3) = 5/6 της δεξαμενής.
Σε 60 λεπτά τα 5/6
το 1/6 σε 60:5 = 12 λεπτά
τα 6/6 σε 6*12=72 λεπτά.
β΄ τρόπος (Γυμνάσιο)
αρκεί να λύσω την εξίσωση : (1/2)+(1/3)=1/χ (διάβασε τη δημοσίευση ξανά!)
άρα 5/6=1/χ
χ=6/5
χ=1 και 1/5
το 1/5 της ώρας είναι 12 λεπτά
άρα σε 72 λεπτά.
Καλή συνέχεια.
ΚΑΛΗΣΠΕΡΑ ΣΑΣ ΘΑ ΗΘΕΛΑ ΚΑΙ ΕΓΩ ΜΙΑ ΒΟΗΘΕΙΑ ΕΔΩ
ΔΥΟ ΠΟΔΗΛΑΤΕΣ ΞΕΚΙΝΑΝΕ ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ ΑΠΟ ΔΥΟ ΠΟΛΕΙΣ Α ΚΑΙ Β ΠΟΥ ΑΠΕΧΟΥΝ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ 160ΧΛΜ ΚΑΙ ΚΙΝΕΙΤΑΙ Ο ΕΝΑΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΟΥ ΑΛΛΟΥ.
ΑΥΤΟΣ ΠΟΥ ΞΕΚΙΝΗΣΕ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΟΛΗ Α ΤΡΕΧΕΙ ΜΕ 10ΧΛΜ ΤΗΝ ΩΡΑ ΚΑΙ ΚΑΙ Ο ΑΛΛΟΣ ΜΕ 8ΧΛΜ ΤΗΝ ΩΡΑ.ΑΝ ΔΕΝ ΚΟΥΡΑΖΟΝΤΑΙ ΚΑΘΟΛΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΙΖΟΥΝ ΝΑ ΚΙΝΟΥΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑ, ΣΕ ΠΟΣΕΣ ΩΡΕΣ ΘΑ ΣΥΝΑΝΤΗΘΟΥΝ ΣΤΟΝ ΠΡΟΟΡΙΣΜΟ ΤΟΥΣ?
Έστω ότι θα συναντηθούν μετά από χρόνο t ώρες.
O ποδηλάτης που πηγαίνει με 10χλμ/ώρα μετά από t χρόνο θα έχει κάνει (10t) χλμ
Ο άλλος ποδηλάτης θα έχει κάνει (8t) χλμ.
Μαζί θα έχουν κάνει (18t) χλμ, δηλαδή όλη τη απόσταση των δυο πόλεων. Άρα 18t=160 ή t=160/18=80/9=(81-1)/9=(9-1/9) ώρες.
Αρκεί να βρω το 1/9 της ώρας. Είναι (1/9)*60 = 20/3=6+2/3 , δηλαδή 6 λεπτά και 2/3 του λεπτού ή (2/3)*60=40 δευτερόλεπτα.
Συνεπώς απ τις 9ώρες αφαιρώ τα 6 λεπτά και 40 δευτ και η τελική απάντηση είναι ότι θα συναντηθούν σε : 8ώρες 53 λεπτά και 20 δευτερόλεπτα.
Σας ευχαριστώ που επισκεφτήκατε το ιστολόγιο μου. Καλή συνέχεια.
Γειά σας. Θα ήθελα και γω μια βοήθεια σε μια άσκηση αν γίνεται. Σε ένα σχολείο όλα τα παιδιά έχουν καστανά μαλλιά ή καστανά μάτια . Τα 3/5 των παιδιών έχουν καστανά μαλλιά, το 60% καστανά μάτια, ενώ υπάρχουν και 10 παιδιά με άλλο χρώμα ματιών. Πόσα παιδιά έχουν καστανά μαλλιά και μάτια ; Ευχαριστώ
Α : Οι μαθητές με καστανά μαλλιά
Β: οι μαθητές με καστανά μάτια.
Είναι Ρ(Α)=0,6 και Ρ(Β)=0,6 , Ρ(ΑένωσηΒ)=1 , άρα Ρ(ΑτομήΒ)=0,2 ή 20%
Είναι Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-Ρ(ΑτομήΒ)=0,6-0,2=0,4. Όμως το πλήθος Ν(Α-Β)=10 , άρα Ν(Ω) =25 όλοι οι μαθητές.
Το 20% αυτών έχουν καστανά μαλλιά και μάτια άρα οι 5 μαθητές.
Η λύση είναι του συνάδερφου και φίλου κ.Νίκου Αντωνόπουλου. Τον ευχαριστώ θερμά.
Γεια σας. Πώς λύνεται το πιο κάτω πρόβλημα;
3 εργάτες, Α,Β,Γ τελειώνουν μια δουλειά σε 10 μέρες. Οι Α και Γ μαζί την τελειώνουν σε 15 μέρες, ενώ οι Α και Β σε 16 μέρες. Σε πόσες μέρες οι Β και Γ μαζί θα τελειώσουν τα 5/8 της δουλειάς;
Ευχαριστώ.
Με κάθε επιφύλαξη-μόλις τώρα γύρισα απ το σχολείο- λοιπόν,
οι Α,Β,Γ σε μια μέρα κάνουν το 1/10 του έργου και οι Α και Β σε μια μέρα το 1/16 ,άρα μόνος του ο Γ κάνει σε μια μέρα (1/10-1/16)=3/80 του έργου.
Ομοίως ο Β σε μια μέρα μόνος του κάνει τα (1/10-1/15)=1/30 του έργου-30 μέρες θα του έπαιρνε αν δούλευε μόνος του.
Άρα οι Β και Γ μαζί σε μια μέρα (φαντάζομαι 8 ώρες όχι 12) θα τελείωναν τα (1/30+3/80)=17/240 του έργου. (αν δεν έχω κάνει λάθος !)
Τα 5/8 του έργου είναι 150/240 μιας και το 1/8 του είναι 30/240. Άρα θα χρειστούν πάνω από 8 και κάτω από 9 μέρες για να ολοκληρώσουν τα 5/8 της δουλειάς.
Περίπου 9 μέρες λοιπόν ή το πολύ 9 μέρες!
Πολύ λογικό μου φαίνεται. Σε κλάσμα η απάντηση είναι 8 ημέρες και 14/17 της ημέρας νομίζω.
Ευχαριστώ πάρα πολύ.
Να είσαι καλά, εγώ σε ευχαριστώ που περιηγήθηκες στο ιστολόγιο μου.
Καλή συνέχεια.
Καλησπέρα σας. Έχω την απάντηση στο πιο κάτω αλλά δεν είμαι σίγουρος πως κατέληξε εκεί.
Δύο εργάτες Α & Β εκτελούν μια εργασία σε 15 ημέρες. Αφού εργάστηκαν μαζί για 5 μέρες προσλήφθηκε και τρίτος εργάτης Γ της ίδια απόδοσης με τον Α, και τώρα η εργασία τελειώνει σε 8 μέρες. Πόσες μέρες χρειάζεται ο καθένας μόνος του για να τελειώσει όλη την εργασία; (Η απάντηση είναι 60, 30, 60 μέρες).
Ευχαριστώ.
Έστω οτι τελειώνουν μόνοι τους το έργο , σε χ μέρες ο Α , σε ψ ο Β και σε χ ο Γ μιας και δουλεύει το ίδιο με τον Α.
Σε μια μέρα θα έχουν κάνει ο Α το 1/χ του έργου και ο Β το 1/ψ του έργου. Μιας και μαζί θέλουν 15 μέρες , τότε 1/χ + 1/ψ = 1/15 (1)
Μέχρι να έρθει ο Γ οι Α και Β έχουν τελειώσει το 1/3 του έργου άρα έχουν μείνει τα 2/3 του έργου.
Οι τρεις τους θα κάνουν τα 2/3 του έργου σε 8 μέρες άρα το 1/3 σε 4 και τα 3/3 σε 12 μέρες. Μάζι δηλαδή όλοι μαζί θα ήθελαν 12 μέρες.
Ομοίως με πριν σε μια μέρα ισχύει 1/χ + 1/ψ + 1/χ = 1/12 (2)
Όμως από (1) η (2) γίνεται : 1/15+1/χ=1/12
1/χ = 1/12-1/15
1/χ = 1/60
χ= 60
Άρα ο Α θέλει χ=60 μέρες , όπως και ο Γ. Από (1) βγαίνει ότι ψ=20