Είμαστε στην πόλη Α. Παίρνουμε ένα ταξί για την πόλη Β. Αμέσως μόλις ξεκινάμε , ρωτάμε τον ταξιτζή : “Σε πόση ώρα θα φτάσουμε στη πόλη Β; ”
Μας απαντάει : “Αν έχει κίνηση ο δρόμος και πηγαίνουμε με 60 χλμ/ώρα , θα φτάσουμε στις 12:00 μ.μ. Αν όχι και πηγαίνουμε με 100 χλμ/ώρα θα φτάσουμε στις 10:00 π.μ. Αν η κίνηση είναι μέτρια και πάμε με 75 χλμ/ώρα θα φτάσουμε στις 11:00 π.μ .”
“Συγνώμη , εννοείτε 80 χλμ/ώρα που είναι ο μέσος όρος των 60 και 100 αντίστοιχα.”
“Όχι , όχι ” , μας απαντά ο ταξιτζής , “την έχω κάνει πολλές φορές τη διαδρομή. Με 75 χλμ/ώρα θα φτάσουμε ακριβώς στις 11:00 π.μ , όπως σας είπα.”
α ) Τι ώρα γίνεται η παραπάνω κουβέντα ;
β ) Ποια η απόσταση των πόλεων Α και Β ;
γ ) Για να επιμένει ο ταξιτζής , μάλλον έχει δίκιο , εσείς τι λέτε ; Αιτιολογήστε.
ΠΗΓΗ : Οδός Μαθηματικής Σκέψης, Γ. Θωμαΐδης – Γ. Ρίζος , Εκδόσεις Μαυρίδη , Θεσ/νίκη 2017 , σελίδα 81.
(α)Η ώρα ήταν 7 πμ όταν μπήκαμε στο ταξί.
(β)Η απόσταση μεταξύ των πόλεων «Α» και «Β» είναι 300χλμ.
(γ)Ο ταξιτζής έχει δίκιο.
Έστω «S» η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων και «t» ο χρόνος που χρειάζεται εάν κινούμαστε με 100χλμ/ω. Βάσει του τύπου της ομαλής ευθύγραμμης κίνησης S=υ*t έχουμε τις εξισώσεις:
S=υ*t —> S=100*t (1)
S=υ*t —> S=60*(t+2) (2)
Από τις ανωτέρω εξισώσεις προκύπτει:
100*t=60*(t+2) —> 100t=60*t+120 —>
100*t-60*t=120 —> 40*t=120 —>
t=120/40 —> t=3ώρες (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
S=100*t —> S=100*3 —-> S=300χλμ
Άρα η απόσταση μεταξύ των πόλεων «Α» και «Β» είναι:300χλμ
Η μέση ταχύτητα των δύο ταχυτήτων υ1=100χλμ/ω και υ2=60χλμ/ω βρίσκεται από τον τύπο υμ=(2*υ1*υ2)/(υ1+υ2):
υμ=(2*υ1*υ2)/(υ1+υ2) —> υμ=(2*100*60)/(100+60) —>
υμ=12.000/160 —> υμ=75χλμ/ω
Από το τύπο S=υ*t βρίσκουμε το χρόνο για να φθάσουμε στη πόλη «Β» με μέση ταχύτητα 75χλμ/ω.
S=υ*t —> t=S/υ —> t=300/75 —> t=4ώρες
Εάν κινούμαστε για 4ώρες η μέση ταχύτητα είναι:
S=υ*t —> υμ=S/t —> υμ=300/4 —> υμ=75χλμ/ω
Άρα εφόσον φθάσαμε στη πόλη «Β» στη 11πμ σημαίνει ότι ξεκινήσαμε στις 7πμ, επομένως ο ταξιτζής έχει απόλυτο δίκιο.
Σωστή λύση. Μπράβο.