Σε ένα τουρνουά ποδοσφαιρικών αγώνων , ο νικητής ενός παιχνιδιού κερδίζει 3 βαθμούς , ο ηττημένος παίρνει μηδέν βαθμούς και στις ισοπαλίες η κάθε ομάδα κερδίζει 1 πόντο.
Μια ομάδα έπαιξε 38 αγώνες και η συνολική βαθμολογία της ήταν 80 πόντοι.
Πόσο είναι το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος αγώνων που μπορεί να έχασε η ομάδα ;
Ενδεικτική Λύση Γρίφου
Αν ρίξετε μια ματιά στη βοήθεια (προϋπόθεση για τη σωστή κατανόηση των παρακάτω), θα διαπιστώσετε ότι έχουμε να λύσουμε την Διοφαντική Εξίσωση : 3x + z = 80 , υπό τη συνθήκη x+y+z = 38 ,
όπου x : οι νίκες , z: οι ισοπαλίες και y : οι ήττες της ομάδας.
H λύση της Διοφαντικής είναι : x = -80 + t , z = 320 – 3t
Συνεπώς οι πιθανές τριάδες, φαίνονται στην εικόνα, (Νίκη, Ισοπαλία, Ήττα) είναι :
(21,17,0) , (22,14,2) , (23,11,4), (24,8,6) , ( 25,5,8) , (26,2,10).
Απ αυτές το ΜΕΓΙΣΤΟ πλήθος ηττών της ομάδας φαίνεται ότι είναι 10.
Σκοπός του Γρίφου, ήταν να αναδειχθούν υπέροχα κομμάτια της ύλης των μαθηματικών , όπως είναι οι Διοφαντικές εξισώσεις , που απουσιάζουν εσκεμμένα απ τη σχολική τάξη (άποψη μου), υπάρχουν όμως σε διαγωνισμούς Μαθηματικών όπως είναι ο Pisa ή ο Kangaroo.
Να σας πω επίσης ό, τι το παράδειγμα που περιέχει το σχολικό βιβλίο και είναι στη βοήθεια , εννοώ αυτό με τα κέρματα, αξίζει να διαβαστεί και μελετηθεί.
Καλή συνέχεια σε όλους σας
Το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος αγώνων που μπορεί να έχασε η ομάδα είναι 10 αγώνες.
Έστω «α» οι νίκες, «β» οι ισοπαλίες, και «γ» οι ήττες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε δύο διοφαντικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους:
α+β+γ=38 (1)
3α+1β+0γ=80 (2)
Από την εξίσωση (2), η τρίτη μεταβλητή μηδενίζεται εφόσον ο συντελεστής είναι μηδέν (0), συνάγουμε ότι:
3α+1β+0γ=80 —-> 3α+β=80 —-> 3α=80-β —-> α=(80-β)/3 (3)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των
ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο “β” τις τιμές από το 1 έως το n, βλέπουμε ότι η
μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό “α” είναι ο
αριθμός β = 2 (4), οι άλλες τιμές απορρίπτονται λόγω του ότι η μεταβλητή «γ» πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν.
Αντικαθιστούμε τη τιμή «β» στη (3) κι’ έχουμε:
α=(80-β)/3 —-> α=(80-2)/3 —–> α=78/3 —–> α=26 (5)
Αντικαθιστούμε τις τιμές (4) και (5) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ=38 —-> 26+2+γ=38 —-> γ=38-26-2 —–> γ=38-28 —–> γ=10 (6)
Επαλήθευση:
α+β+γ=38 —-> 26+2+10=38
3α+1β+0γ=80 —–>3*26+1*2+0*10=80 —–> 78+2=80 ο.ε.δ.
Σημείωση:
Η φιλοσοφία της λύσης του προβλήματος στηρίζεται στα προβλήματα των 100 πτηνών που αναφέρει ο Leonardo Pisano (Fibonacci = ο ίδιος αποκαλούσε τον εαυτό του Fibonacci, σύντμηση του Filius και Bonacci (γιος του Bonacci), από το όνομα του πατέρα του) στο βιβλίο του με τίτλο «Liber Abaci» – «Βιβλίο Υπολογισμών», 1202
Όντως η απάντηση είναι 10.
Δηλαδή :
ο μέγιστος αριθμός των αγώνων που μπορεί να έχασε η ομάδα αυτή είναι 10.
Στη λύση σου, αν κατάλαβα καλά, θεωρείς ότι η μόνη λύση είναι το 10 !
Δεν φαίνεται το ΜΕΓΙΣΤΟ (μέγιστο πλήθος ηττών) !!
Μια τριάδα που ικανοποιεί τα δεδομένα αλλά δεν έχει μέγιστο πλήθος ηττών είναι: 25 νίκες-5 ισοπαλίες και 8 ήττες , ΒΑΘΜΟΊ : 80 , ΑΓΩΝΕΣ : 38.
Δες τη ΒΟΗΘΕΙΑ , η ΒΟΗΘΕΙΑ βοηθάει !!
Η λύση , απ τον συντάκτη του ιστολογίου , θα δοθεί όπως έχω γράψει στις 31/3.
Καλή συνέχεια.
¨Η
Το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος αγώνων που μπορεί να έχασε η ομάδα είναι 10 αγώνες.
Έστω «α» οι νίκες, «β» οι ισοπαλίες, και «γ» οι ήττες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε δύο Διοφαντικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους:
α+β+γ=38 (1)
3α+1β+0γ=80 (2)
Από τη (2) συνάγουμε ότι:
3α+1β+0γ=80 —-> 3α+1β=80 —-> β=80-3α (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ=38 —-> α+80-3α+γ=38 —> γ+80-2α=38 —> γ=38*80+2α —-> γ= – 42+2α —->
γ=2(-21+α), με γ μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν (γ≥0) (4)
γ=2(-21+α) —-> (- 21+α) με γ μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν (-21+α≥0) —->
α μεγαλύτερο ή ίσο με (α≥21) (5)
Εξ’ ορισμού έχουμε α=3, οπότε από την (5) συνάγουμε ότι:
α=21*3=63 βαθμοί
Μέχρι του 80 βαθμούς που συγκέντρωσε υπολείπονται:
80-63=17βαθμοί
Εκ των οποίων το μέγιστο πλήθος νικών (που είναι απαραίτητο για το ελάχιστο πλήθος ηττών) είναι:
17βαθμοί—–>5νίκες*3=15νίκες+2 ισοπαλίες*1
Άρα έχουμε: συνολικά:
21+5 =26νίκες+2ισοπαλίες =28αγώνες
Άρα οι υπόλοιποι αγώνες αφορούν τις ήττες που είναι:
38-28=10ήττες.
Επομένως η δεύτερη λύση:
25 νίκες, 5 ισοπαλίες, και 8 ήττες , ΒΑΘΜΟΊ : 80 , ΑΓΩΝΕΣ : 38.
Απορρίπτεται ασυζητητί!!
Αγαπητέ , δεν είπα ότι η τριάδα 25-5-8 (Νίκες-Ισοπαλίες-Ήττες) είναι η λύση με το ΜΕΓΙΣΤΟ πλήθος ηττών !
Επίσης δεν καταλαβαίνω το “Εκ των οποίων το μέγιστο πλήθος νικών (που είναι απαραίτητο για το ελάχιστο πλήθος ηττών) είναι”
Ξαναλέω , η λύση του γρίφου είναι 10 ήττες.
Ενδεικτική λύση στις 31/3.
Καλή συνέχεια.