Τι πρέπει να κάνω για να λύσω μια άσκηση μαθηματικών ;

Αγαπητοί μαθητές και μαθήτριες ,

στο μάθημα των μαθηματικών, όπως λέω πάντα στην τάξη, αν δεν έχουμε ασκήσεις για το σπίτι δεν έχουμε να διαβάσουμε τίποτα. Επίσης πολλές φορές λέω ότι “τα μαθηματικά ΔΕΝ είναι για θεατές!”

Η προσπάθεια επίλυσης μιας άσκησης από σας, στο Γυμνάσιο και ιδιαίτερα στο Λύκειο, είναι άκρως σημαντική.

Τι πρέπει να κάνει κάποιος για να λύσει μια άσκηση ;

Αρχικά θα πρέπει,

• να έχει κατανοήσει και εμπεδώσει πολύ καλά τη θεωρία του μαθήματος. Άρα πρώτα μελετώ-μαθαίνω τη Θεωρία.
• Κατόπιν, θα πρέπει να έχει μελετήσει τις σημειώσεις του, ότι έχει αντιγράψει δηλαδή απ τον πίνακα! Για τις σημειώσεις θα μιλήσουμε άλλη φορά. 
• Να σημειώσω ό,τι τα σχολικά βιβλία περιέχουν λυμένα παραδείγματα και εφαρμογές. Ειδικά οι εφαρμογές, μερικές φορές , είναι παρόμοιες με άλυτες ασκήσεις του βιβλίου.Συνεπώς, πρέπει να αφιερώσουμε χρόνο και σε αυτές!

Αφού έχουν γίνει όλα τα παραπάνω , είστε τώρα έτοιμοι  να διαπραγματευτείτε τις ασκήσεις που έχετε για το σπίτι.

Σύμφωνα με τον δάσκαλο, G. Polya τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσουμε για τη λύση είναι τα εξής τέσσερα :

• Διαβάζουμε την άσκηση και κατανοούμε δεδομένα-ζητούμενα και τις συνθήκες.
• Καταστρώνουμε σχέδιο επίλυσης της άσκησης.
• Εκτελούμε το σχέδιο.
• Επαληθεύουμε , σε απλά λόγια, ικανοποιεί τα δεδομένα η λύση μας ;
  

  ---

Πόσο χρόνο να αφιερώσω σε μία άσκηση μου ; Πότε να αναζητήσω βοήθεια και από που ;

Η γνώμη μου είναι, 15 – 20 λεπτά είναι αρκετά μέχρι και την Β τάξη ΓΕΛ.

Αν δεν μπορείτε να την ξεκινήσετε ή κολλήσατε κάπου, τότε :

• ρίξε μια ματιά στις τελευταίες σελίδες του σχολικού βιβλίου, συνήθως σου δίνει μια ώθηση , μια σκέψη!
• ΔΕΝ έγινε τίποτα; Καταφεύγετε, στο λυσάρι!  Η άσκηση εκεί είναι υποδειγματικά λυμένη. Βλέπεις τη λύση ,μετά το κλείνεις και τώρα την λύνεις μόνος/η.Η σωστή χρήση του, όχι η πιστή αντιγραφή,  βοηθάει αρκετά. Επίσης έτσι βλέπουμε και πως πρέπει γράφουμε μαθηματικά.
• Τέλος, ζητάτε βοήθεια απ τον καθηγητή σας.Θέτουμε πάντα τις απορίες μας , ΔΕΝ ντρεπόμαστε, ΔΕΝ σκεφτόμαστε τι θα πουν οι άλλοι !!

Ένα Παράδειγμα (απ την ύλη της Β τάξης ΓΕΛ)

Ποια είναι τα δεδομένα και ποια τα ζητούμενα;

Προφανώς ζητούμενος είναι ο x (γωνία) το οποίο βέβαια εκφράζεται σε (rad).

Πρέπει να ξέρω (προαπαιτούμενα),

• την ιδιότητα α·β=0⇔α=0 ή β = 0,
• πως λύνονται οι τριγωνομετρικές εξισώσεις,
• βασικά στοιχεία του τριγωνομετρικού κύκλου,
• τους τριγωνομετρικούς αριθμούς βασικών γωνιών (0, 30 , 45, 60 , 90 μοιρών ή σε rad),
• μην ξεχάσω, την παράγραφο 3.3 αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο.

Κάντε μια προσπάθεια αν θέλετε.

Παράδειγμα (ύλη Α τάξη ΓΕΛ)

Υποδείξεις  – Μικρή βοήθεια

α ) Ζητείται να δειχθεί ότι για κάθε k η  εξίσωση έχει δυο άνισες λύσεις.

Άρα η Διακρίνουσα πρέπει να είναι θετικός αριθμός.

Θα πρέπει να καταλήξω σε σχέση (ανίσωση) που ισχύει για κάθε k.

Π.χ μια τέτοια είναι η k² +1 > 0 !!

Έχω : Δ > 0 ⇔…………συνεχίστε εσείς!

β ) Δίνεται η εξίσωση και ζητούνται οι τύποι του Viete. Απλό , δεν συμφωνείτε!

γ ) Δίνεται η σχέση (x1 – 1)·(x2 – 1) = -4 και ζητείται ο k !!

Κάνε πράξεις και χρησιμοποίησε το αποτέλεσμα του β) ερωτήματος.

Προσοχή , ΔΕΝ ζητούνται οι ρίζες.Κάντε μια προσπάθεια, αν θέλετε .  😉

Είτε λύσετε τελικά την άσκηση είτε όχι , ο χρόνος που θα αφιερώσετε δεν πάει καθόλου χαμένος ! Με τον καιρό , θα γίνει αρκετά μικρότερος. Σας το υπογράφω.

Στο βιβλίο του Ντένι Γκετζ , “Εξηγώντας τα μαθηματικά στις κόρες μου”, μετάφραση Νάσου Κυριαζόπουλου, Εκδόσεις Κέδρος ,2008,

υπάρχει ο παρακάτω πολύ ενδιαφέρον, διάλογος : 

• Κόρη: Συχνά καταλαβαίνω το μάθημα αλλά δεν κατορθώνω να λύσω προβλήματα. Που βρίσκουν τα προβλήματα οι καθηγητές ;
• Πατέρας : Σε ειδικευμένα βιβλία, συχνά όμως τα κατασκευάζουν μόνοι τους ανάλογα με το περιεχόμενο του μαθήματος και πάντα κατά τρόπο ώστε να μπορείς να τα λύσεις βασισμένη αποκλειστικά σε όσα έμαθες στο μάθημα.Θεωρητικά διαθέτεις όλα τα μέσα για να τα καταφέρεις.Όλα τα προβλήματα συγκροτούνται πάνω στο ίδιο μοντέλο.Αρχίζουν με ένα κείμενο που παρουσιάζει τη κατάσταση «τα δεδομένα».«Σκιαγραφούν τον πίνακα» υποδεικνύοντας που βρισκόμαστε, σε ποια ζώνη των μαθηματικών εκτυλίσσεται η ιστορία,  δεύτερον ποιοι είναι οι διάφοροι μαθηματικοί παράγοντες (ένα ορθογώνιο τρίγωνο, κάποια κλάσματα) που υπεισέρχονται στην ιστορία και τι είδους δεσμούς έχουν μεταξύ τους.Τα προβλήματα καταλήγουν σε μια ομάδα ερωτήσεων που τίθενται με δεδομένη σειρά. Πρέπει πάντα να θυμάσαι ότι οι όροι της παρουσίασης έχουν επιλεγεί ακριβώς έτσι ώστε ο καθένας απ αυτούς να παρέχει μια πληροφορία την οποία θα χρειαστείς για να βρεις τη λύση στις ερωτήσεις που σου έχουν θέσει.Εξετάζοντας κάθε πληροφορία θα πρέπει να διερωτηθείς : Γιατί μου τη δίνουν ; Τι θέλουν να μου πουν ; Ποιο μήνυμα θέλουν να μου περάσουν ; Η αποκωδικοποίηση αυτών των μηνυμάτων αποτελεί σημαντικό μέρος της εργασίας σου. Κατά κανόνα , δεν σου παρέχουν περισσότερα δεδομένα από όσα σου είναι απαραίτητα.Αυτό σημαίνει ότι για να λύσεις το πρόβλημα, πρέπει να τα χρησιμοποιήσεις όλα.Και αν, όλως παραδόξως, έλυσες πλήρως το πρόβλημα χωρίς να χρειαστείς κάποιο από τα δεδομένα, τότε ή είσαι διάνοια ή έχεις κάνει λάθος.Ιδού ένα πρόβλημα : «Έστω ΑΒΓ ένα ισοσκελές τρίγωνο». Γράφοντας αυτή τη φράση ο καθηγητής σου στέλνει ένα μήνυμα το οποίο αποκωδικοποιείς αμέσως.Και οι ερωτήσεις; Αυτές τίθενται σε συνάρτηση με τα δεδομένα, και η σειρά με την οποία εμφανίζονται δεν είναι αυθαίρετη. Για να απαντήσεις σε μια από αυτές , συχνά πρέπει να χρησιμοποιήσεις τις απαντήσεις στις προηγούμενες. Πώς πρέπει να κινηθείς για να λύσεις ένα πρόβλημα; Η εργασία σου συνιστάται στο να αντιπαραβάλεις αυτά που σου ζητούν με αυτά που γνωρίζεις. Και να προσπαθήσεις να περάσεις από τα δεύτερα στα πρώτα.”
  

  ---

Τέλος , θα σας συμβούλευα να παρακολουθήσετε τα επαναληπτικά θέματα Α΄ Λυκείου,  του συνάδερφου – συγγραφέα και φίλου κ. Δημήτρη Μοσχόπουλου. Ο αγαπητός Δημήτρης δείχνει με υποδειγματικό τρόπο πως λύνεται μια άσκηση εξετάσεων.

Σας ευχαριστώ που διαβάσατε τη δημοσίευση μου.

Ο Επιμελητής του Ιστολογίου

Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου Msc μαθηματικός ΓΕΛ, απόφοιτος Α.Π.Θ