Αρχείο για την κατηγορία “Φυσική Α’ Λυκείου”

« Παλιότερα άρθρα
Επόμενα άρθρα »
18 03 2020

Παραδείγματα Ελεύθερης Πτώσης

Αναρτήθηκε από Παναγιώτης Κουτεντάκης στο Φυσική Α' Λυκείου

 

Επιστροφή στη θεωρία

 

Σε όλα τα παρακάτω παραδείγματα θεωρούμε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας της Γης είναι ίση με: g=10m/s2

 

Παράδειγμα 1

Αφήνουμε ένα σώμα να πέσει από ύψος h και φτάνει στο έδαφος μετά από 6 δευτερόλεπτα.

  1. Με τι ταχύτητα θα φτάσει το σώμα στο έδαφος;
  2. Από τι ύψος αφήσαμε το σώμα;

 

Λύση

Από τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα (δηλαδή δεν έχει αρχική ταχύτητα) και η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω του είναι το βάρος, θα εκτελέσει ελεύθερη πτώση.

Οπότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για την ταχύτητα και την μετατόπιση του σώματος:

    \begin{align*} υ &= g\cdot t\\ \Delta y &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \end{align*}

1. Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα με την οποία θα φτάσει στο έδαφος χρησιμοποιούμε την σχέση για την ταχύτητα και αντικαθιστούμε:

    \begin{align*} υ &= g\cdot t\\ υ &= 10 \cdot 6\\ υ &= 60 m/s \end{align*}

2. Το ύψος από το οποίο αφήσαμε το σώμα θα είναι ίσιο με την μετατόπιση του σώματος όταν αυτό φτάσει στο έδαφος. Επομένως:

    \begin{align*} h &= \Delta y\\ h &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \\ h &= \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6^2\\ h &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 36\\ h&=\frac{360}{2}\\ h &= 180m \end{align*}

 

 

Παράδειγμα 2

Αφήνουμε ένα σώμα να πέσει από ύψος h=80m. 

  1. Μετά από πόσο χρόνο θα φτάσει στο έδαφος;
  2. Ποια είναι η ταχύτητα του σώματος όταν φτάσει στο έδαφος;
  3. Σε ποιο ύψος από το έδαφος θα βρίσκεται το σώμα 2 δευτερόλεπτα αφότου το αφήσαμε;
  4. Ποια είναι η μετατόπιση του σώματος κατά το 3ο δευτερόλεπτο της κίνησής του;

 

Λύση

Από τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα (δηλαδή δεν έχει αρχική ταχύτητα) και η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω του είναι το βάρος, θα εκτελέσει ελεύθερη πτώση.

Οπότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για την ταχύτητα και την μετατόπιση του σώματος:

    \begin{align*} υ &= g\cdot t\\ \Delta y &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \end{align*}

1.  Όταν το σώμα φτάσει στο έδαφος, η μετατόπισή του θα ισούται με το ύψος από το οποίο το αφήσαμε. Άρα:

    \begin{align*} \Delta y &= h\\ \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 &= h\\ \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot t^2 &= 80\\ 10\cdot t^2 &= 160\\ \frac{\cancel{10}\cdot t^2}{\cancel{10}} &=\frac{160}{10}\\ t^2 &= 16\\ t &= \sqrt{16}\\ t &=4s \end{align*}

Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και τον τύπο για τον χρόνο που χρειάζεται το σώμα να φτάσει στο έδαφος αλλά επειδή δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο χρειάζεται πρώτα απόδειξη.

    \begin{align*} t_{εδ\acute{a}φους} &= \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}\\ t_{εδ\acute{a}φους} &= \sqrt{\frac{2\cdot 80}{10}}\\ t_{εδ\acute{a}φους} &= \sqrt{\frac{160}{10}}\\ t_{εδ\acute{a}φους} &= \sqrt{16}\\ t_{εδ\acute{a}φους} &= 4s\\ \end{align*}

2. Η ταχύτητα με την οποία θα φτάσει το σώμα στο έδαφος, δηλαδή η ταχύτητα που θα έχει μετά από 4s, θα είναι:

    \begin{align*} υ &= g\cdot t\\ υ &= 10\cdot 4\\ υ &= 40m/s\\ \end{align*}

3. Για να υπολογίσουμε το ύψος στο οποίο βρίσκεται το σώμα 2 δευτερόλεπτα μετά που το αφήσαμε, θα πρέπει να υπολογίσουμε πρώτα την μετατόπισή του για αυτό το χρονικό διάστημα.

Rendered by QuickLaTeX.com

 Η μετατόπιση του σώματος μετά από 2 δευτερόλεπτα θα είναι:

    \begin{align*} \Delta y_2 &= \frac{1}{2}\cdot g \cdot t^2\\ \Delta y_2 &= \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 2^2\\ \Delta y_2 &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4\\ \Delta y_2 &= \frac{40}{2}\\ \Delta y_2 &= 20m \end{align*}

 

Το ύψος από το έδαφος λοιπόν θα είναι:

    \begin{align*} h_2 &= h - \Delta y_2 \\ h_2 &= 80 - 20\\ h_2 &= 60m \end{align*}

4. Μετατόπιση του σώματος κατά την διάρκεια του 3ου δευτερολέπτου σημαίνει πόσο μετατοπίστηκε το σώμα κατά το χρονικό διάστημα 2s ως 3s. Συνεπώς πρέπει να υπολογίσουμε την μετατόπιση στα 2 δευτερόλεπτα, την μετατόπιση στα 3 δευτερόλεπτα και μετά να τις αφαιρέσουμε (δείτε το παρακάτω σχήμα).

Rendered by QuickLaTeX.com

 Η μετατόπιση του σώματος μετά από 3 δευτερόλεπτα θα είναι:

    \begin{align*} \Delta y_3 &= \frac{1}{2}\cdot g \cdot t^2\\ \Delta y_3 &= \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 3^2\\ \Delta y_3 &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9\\ \Delta y_3 &= \frac{90}{2}\\ \Delta y_3 &= 45m \end{align*}

 

Η μετατόπιση λοιπόν του σώματος κατά την διάρκεια του 3ου δευτερολέπτου θα είναι:

    \begin{align*} s_3 &= \Delta y_3 - \Delta y_2 \\ s_3 &= 45 - 20\\ s_3 &= 25m \end{align*}

 

 

 

Παράδειγμα 3

Αφήνουμε 2 σώματα Α και Β να πέσουν ελεύθερα από τις ταράτσες δύο διαφορετικών πολυκατοικιών, ύψους hΑ κι hΒ αντίστοιχα. Όταν το σώμα Α φτάνει στο έδαφος, το σώμα Β έχει ταχύτητα υΒ=20m/s και βρίσκεται σε ύψος h1=25m από το έδαφος.

  1. Με τι ταχύτητα έφτασε το σώμα Α στο έδαφος;
  2. Από τι ύψος αφήσαμε το σώμα Α;
  3. Από τι ύψος αφήσαμε το σώμα Β;
  4. Πόσο χρόνο θα χρειαστεί το σώμα Β να φτάσει το έδαφος και με τι ταχύτητα;

 

Λύση

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 Από τη στιγμή που αφήνουμε τα σώματα (δηλαδή δεν έχουν αρχική ταχύτητα) και η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω τους είναι το βάρος, θα εκτελούν ελεύθερη πτώση.

Οπότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για την ταχύτητα και την μετατόπιση των σωμάτων:

Σώμα Α

    \begin{align*} υ_α &= g\cdot t\\ \Delta y_α &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \end{align*}

Σώμα Β

    \begin{align*} υ_β &= g\cdot t\\ \Delta y_β &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \end{align*}

1.  Τα σώματα Α και Β ξεκίνησαν την κίνησή τους μαζί, οπότε κάθε χρονική στιγμή έχουν διανύσει την ίδια απόσταση και θα έχουν την ίδια ταχύτητα.
Η ταχύτητα λοιπόν του σώματος Α θα είναι:

    \[υ_α = υ_β = 20m/s\]

2. Από την σχέση της ταχύτητας, μπορούμε να υπολογίσουμε για πόσο χρόνο κινήθηκε το σώμα Α.

    \begin{align*} υ_α &= g \cdot t_1\\ 20 &= 10 \cdot t_1\\ \frac{20}{10} &= \frac{\cancel{10}\cdot t_1}{\cancel{10}}\\ t_1 &= 2s \end{align*}

Το ύψος από το οποίο έπεσε το σώμα Α θα ισούται με την μετατόπισή του, άρα:

    \begin{align*} h_α &= \Delta y_α\\ h_α &= \frac{1}{2}\cdot g \cdot t_1^2\\ h_α &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^2\\ h_α &= \frac{1}{\cancel{2}} \cdot 10 \cdot 2^\cancel{2}\\ h_α &= 20m \end{align*}

3. Καθώς τα δύο σώματα κινούνται ταυτόχρονα θα ισχύει:

    \[\Delta y_β = \Delta y_α = 20m\]

Οπότε το ύψος από το οποίο αφήσαμε το σώμα Β θα είναι:

    \begin{align*} h_β &= \Delta y_β + h_1 \\ h_β &= 20 + 25\\ h_β &= 45m \end{align*}

4. Όταν το σώμα Β φτάσει στο έδαφος, η μετατόπισή του θα είναι ίση με το ήψος από το οποίο το αφήσαμε. Άρα:

    \begin{align*} \Delta y_α &= h_β \\ \frac{1}{2}\cdot g \cdot t_2^2 &= h_β\\ \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot t_2^2 &= 45\\ 5 \cdot t_2^2 &= 45\\ \frac{\cancel{5} \cdot t_2^2}{\cancel{5}} &= \frac{45}{5}\\ t_2^2 &= 9\\ t_2 &= \sqrt{9}\\ t_2 &= 3s\\ \end{align*}

Η ταχύτητα με την οποία θα φτάσει το σώμα Β στο έδαφος θα είναι:

    \begin{align*} υ_{β_εδ.} &= g \cdot t_2\\ υ_{β_εδ.} &= 10 \cdot 3\\ υ_{β_εδ.} &= 30m/s\\ \end{align*}

 

 

Παράδειγμα 4

Από την κορυφή ενός ουρανοξύστη ύψους h=125m αφήνουμε να πέσει ένα σώμα Α. Μετά από 2 δευτερόλεπτα αφήνουμε να πέσει κι ένα σώμα Β.

  1. Σε ποιο ύψος από το έδαφος βρίσκεται το σώμα Α όταν αφήνουμε το σώμα Β;
  2. Πόσο απέχουν τα δύο σώματα και τι ταχύτητα έχουν 4 δευτερόλεπτα μετά από τη στιγμή που αφήσαμε το σώμα Α;
  3. Ποια είναι η απόσταση των δύο σωμάτων, όταν το σώμα Α θα φτάσει στο έδαφος;
  4. Πόσο χρόνο μετά από το σώμα Α θα φτάσει το σώμα Β στο έδαφος;

 

Λύση

Από τη στιγμή που αφήνουμε τα σώματα (δηλαδή δεν έχουν αρχική ταχύτητα) και η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω τους είναι το βάρος, θα εκτελούν ελεύθερη πτώση.

Οπότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για την ταχύτητα και την μετατόπιση των σωμάτων:

Σώμα Α Σώμα Β

    \begin{align*} υ_α &= g\cdot t_α\\ \Delta y_α &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot {t_α}^2 \end{align*}

    \begin{align*} υ_β &= g\cdot t_β\\ \Delta y_β &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot {t_β}^2 \end{align*}

 

Επειδή το σώμα Β αφήνεται να πέσει 2 δευτερόλεπτα μετά το σώμα Α θα ισχύει:

    \[t_β=t_α - 2\]

1. 

Rendered by QuickLaTeX.com

 Καθώς αφήνουμε το σώμα Β 2 δευτερόλεπτα μετά το Α, το σώμα Α θα έχει μετατοπιστεί κατά:

    \begin{align*} \Delta {y_α}_2 &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot {t_α}^2\\ \Delta {y_α}_2 &= \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2^2\\ \Delta {y_α}_2 &= \frac{1}{\cancel{2}}\cdot 10\cdot 2^\cancel{2}\\ \Delta {y_α}_2 &= 10\cdot 2\\ \Delta {y_α}_2 &= 20 m\\ \end{align*}

Άρα το ύψος στο οποίο βρίσκεται το σώμα Α θα είναι:

    \begin{align*} h_1 &= h - \Delta {y_α}_2 \\ h_1 &= 125 - 20 \\ h_1 &= 105 m \end{align*}

2. 

Rendered by QuickLaTeX.com

 Όταν έχουν περάσει 4 δευτερόλεπτα ισχύει ότι:

    \[t_α = 4s\]

και

    \[t_β = 2s\]

Άρα το σώμα Β βρίσκεται στην θέση που βρισκόταν το σώμα Α στα 2 δευτερόλεπτα της κίνησής του, ενώ το σώμα Α θα έχει μετατοπιστεί κατά:

    \begin{align*} \Delta {y_α}_4 &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot {t_α}^2\\ \Delta {y_α}_4 &= \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4^2\\ \Delta {y_α}_4 &= \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 16\\ \Delta {y_α}_4 &= \frac{160}{2}\\ \Delta {y_α}_4 &= 80 m\\ \end{align*}

Η απόσταση των δύο σωμάτων θα είναι λοιπόν:

    \begin{align*} d &= \Delta {y_α}_4 - \Delta {y_β}_2 \\ d &= 80 - 20\\ d &= 60 m \end{align*}

 

3. Όταν το σώμα Α φτάσει στο έδαφος, η μετατόπισή του θα ισούται με το ύψος από το οποίο έπεσε, άρα:

 

Rendered by QuickLaTeX.com

    \begin{align*} \Delta {y_α} &= h\\ \frac{1}{2}\cdot g\cdot {t_α}^2 &= h\\ \frac{1}{2}\cdot 10\cdot {t_α}^2 &= 125\\ 10\cdot {t_α}^2 &= 250\\ \frac{\cancel{10}\cdot {t_α}^2}{\cancel{10}} &= \frac{250}{10}\\ {t_α}^2 & = 25\\ t_α &= \sqrt{25}\\ t_α &=5 s \end{align*}

Το σώμα Α λοιπόν, φτάνει μετά από 5 δευτερόλεπτα στο έδαφος, οπότε ο χρόνος κίνησης του σώματος Β θα είναι:

    \[t_β = t_α - 2 = 3s\]

Το σώμα B θα έχει μετατοπιστεί κατά:

    \begin{align*} \Delta {y_β}_3 &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot {t_β}^2\\ \Delta {y_β}_3 &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot 3^2\\ \Delta {y_β}_3 &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot 9\\ \Delta {y_β}_3 &= \frac{90}{2}\\ \Delta {y_β}_3 &= 45m \end{align*}

Η απόσταση, λοιπόν, των δύο σωμάτων όταν το σώμα Α φτάσει στο έδαφος θα είναι:

    \begin{align*} s &= h - \Delta {y_β}_3 \\ s &= 125 - 45\\ s &= 80 m \end{align*}

 

4. Από τη στιγμή που το σώμα Β ξεκίνησε 2 δευτερόλεπτα μετά το σώμα Α, τότε θα φτάσει 2 δευτερόλεπτα μετά το σώμα Α στο έδαφος.

 

 

Παράδειγμα 5

Όταν οι αστροναύτες πήγαν στη Σελήνη, άφησαν ένα σώμα να πέσει από ύψος h=3,2m και παρατήρησαν ότι έφτασε στο έδαφος μετά από 2 δευτερόλεπτα.

  1. Ποια είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας τη Σελήνη;
  2. Με τι ταχύτητα έφτασε στο έδαφος της Σελήνης το σώμα;
  3. Από τι ύψος πρέπει να αφήσουμε ένα σώμα στη Γη για να φτάσει στο έδαφος στον ίδιο χρόνο (δηλαδή 2s);
  4. Από τι ύψος πρέπει να αφήσουμε ένα σώμα στη Γη ώστε να φτάσει στο έδαφος με την ίδια ταχύτητα;

 

Λύση

Από τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα (δηλαδή δεν έχει αρχική ταχύτητα) και η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω του είναι το βάρος, θα εκτελέσει ελεύθερη πτώση.

Οπότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για την ταχύτητα και την μετατόπιση του σώματος:

    \begin{align*} υ &= g\cdot t\\ \Delta y &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \end{align*}

μόνο που εδώ το g δεν το γνωρίζουμε καθώς βρισκόμαστε στη Σελήνη που  δεν έχει την ίδια βαρύτητα με την Γη.

1. Από τη στιγμή που ξέρουμε το ύψος από το οποίο αφήσαμε το σώμα και τον χρόνο που χρειάστηκε να πέσει, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της μετατόπισης:

    \begin{align*} \Delta y &= h\\ \frac{1}{2}\cdot g_Σ\cdot t^2 &= h\\ \frac{1}{2} \cdot g_Σ \cdot 2^2 &= 3.2\\ \frac{1}{\cancel{2}} \cdot g_Σ \cdot 2^\cancel{2} &= 3.2\\ 2\cdot g_Σ &= 3.2\\ \frac{\cancel{2}\cdot g_Σ}{\cancel{2} } &= \frac{3.2}{2}\\ g_Σ &= 1,6m/s^2 \end{align*}

2. Από τη στιγμή που βρήκαμε την επιτάχυνσης της βαρύτητας στη Σελήνη, μπορούμε να υπολογίσουμε και την ταχύτητα με την οποία φτάνει στο έδαφος:

    \begin{align*} υ &= g_Σ \cdot t \\ υ &= 1,6\cdot 2\\ υ &= 3,2 m/s \end{align*}

3. Για να φτάσει ένα σώμα στον ίδιο χρόνο στο έδαφος στη Γη, 

    \begin{align*} h &= \frac{1}{2}\cdot g_{Γης} \cdot t^2 \\ h &= \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 2^2 \\ h &= \frac{1}{\cancel{2}}\cdot 10 \cdot 2^\cancel{2} \\ h &= 10\cdot 2 \\ h &= 20m \end{align*}

4. Για να έχει το σώμα την ίδια ταχύτητα στο έδαφος, θα πρέπει να κινείται για χρόνο:

    \begin{align*} υ &= g_{Γης} \cdot t \\ 3,2 &= 10\cdot t\\ 10 \cdot t &= 3,2\\ \frac{\cancel{10}\cdot t}{\cancel{10}} &= \frac{3,2}{10}\\ t &= 0,32 s \end{align*}

Το ύψος από  το οποίο πρέπει να το αφήσουμε θα είναι:

    \begin{align*} h &= \frac{1}{2}\cdot g_{Γης} \cdot t^2 \\ h &= \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 0,32^2 \\ h &= 5 \cdot 0,1024\\ h &= 0,512m \end{align*}

 

Επιστροφή στη θεωρία

 

Comments Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Παραδείγματα Ελεύθερης Πτώσης

17 03 2020

Δυναμική σε μια διάσταση

Αναρτήθηκε από Παναγιώτης Κουτεντάκης στο Φυσική Α' Λυκείου

 

Η έννοια της δύναμης

 

Η δύναμη μπορεί να προκαλέσει:

  1. μεταβολή στην κινητική κατάσταση (ταχύτητα) ενός σώματος
  2. παραμόρφωση ενός σώματος

 

Η δύναμη είναι διανυσματικό φυσικό μέγεθος άρα για να την προσδιορίσουμε χρειαζόμαστε το μέτρο της και την κατεύθυνσή της (διεύθυνση και φορά)

Το σύνηθες σύμβολο για τη δύναμη είναι το F ενώ η μονάδα μέτρησής της, είναι το 1Ν(=Kg.m/s2) (Νιούτον – Newton)

 

Οι δυνάμεις πάντα εμφανίζονται στην φύση ανά δύο (κατά ζεύγη)

Όταν ένα σώμα Α ασκεί δύναμη σε ένα σώμα Β τότε και το Β ασκεί δύναμη στο σώμα Α. Τα σώματα λέμε τότε ότι αλληλεπιδρούν.

 

Οι δυνάμεις χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες, τις δυνάμεις:

  1.  από απόσταση (Βαρυτικές, Μαγνητικές, Ηλεκτρικές)
  2. από επαφή  (Τριβή, Άνωση, Ελατηρίου, τεντωμένου σχοινιού, σωμάτων που συγκρούονται κ.α.)

 

Νόμος του Hooke

“Η επιμήκυνση ενός ελατηρίου είναι ανάλογη της δύναμης που ασκείται σε αυτό”.

Στον νόμο του Hook στηρίζεται η κατασκευή των οργάνων μέτρησης των δυνάμεων που ονομάζονται δυναμόμετρα.

Το μέτρο της δύναμης συνδέεται με την επιμήκυνση του ελατηρίου με τη σχέση:

    \[\boxed{F = k\cdot x}\]

όπου:

F: η δύναμη που ασκεί το ελατήριο,

x: η επιμήκυνση του ελατηρίου και

k: ονομάζεται σταθερά του ελατηρίου που μας δείχνει πόσα Νιούτον χρειάζονται για να προκληθεί επιμήκυνση 1 μέτρου στο ελατήριο (είναι ο συντελεστής αναλογίας των δύο μεγεθών). Η μονάδα μέτρησης του k είναι Ν/m.

 

 

Σύνθεση συγγραμμικών δυνάμεων

 

Όταν σε ένα σώμα ασκούντα,στο ίδιο σημείο, δύο ή περισσότερες συγγραμμικές δυνάμεις, μπορούμε να τις αντικαταστήσουμε με μία που να προκαλεί το ίδιο αποτέλεσμα. Η συνολική αυτή δύναμη ονομάζεται συνισταμένη δύναμη ενώ οι δυνάμεις τις οποίες αντικαταστήσαμε ονομάζονται συνιστώσες της. Την συνισταμένη δύναμη της συμβολίζουμε συνήθως με ΣF ή Fολ..

Η διαδικασία με την οποία υπολογίζουμε την συνισταμένη δύναμη από τις συνιστώσες, ονομάζεται σύνθεση δυνάμεων.

Καλό είναι να θυμόμαστε πως σε κάθε περίπτωση η συνισταμένη δύναμη είναι το διανυσματικό άθροισμα των συνιστωσών της, δηλαδή:

    \[Σ\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \cdots\]

 

Σύνθεση δύο ομόρροπων δυνάμεων

Rendered by QuickLaTeX.com

 Όταν σε ένα σώμα ασκούνται δύο ομόρροπες δυνάμεις, τότε η συνισταμένη δύναμη έχει την κατεύθυνση των δυνάμεων και μέτρο ίσο με το άθροισμα των μέτρων των συνιστωσών. Δηλαδή:

    \[\boxed{ΣF = F_1 + F_2}\]

Το ίδιο κάνουμε αν στο σώμα ασκούνται περισσότερες από δύο ομόρροπες δυνάμεις. Δηλαδή:

    \[\boxed{ΣF = F_1 + F_2 + F_3 + \cdots}\]

 

Σύνθεση δύο αντίρροπων δυνάμεων

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 Όταν σε ένα σώμα ασκούνται δύο αντίρροπες δυνάμεις, τότε η συνισταμένη δύναμη έχει την κατεύθυνση της συνσιτώσας με το μεγαλύτερο μέτρο και μέτρο ίσο με διαφορά των μέτρων των συνιστωσών. Δηλαδή:

    \[\boxed{ΣF = F_1 - F_2}\]

 

Σύνθεση πολλών συγγραμμικών δυνάμεων

Όταν σε ένα σώμα ασκούνται περισσότερες από δύο συγγραμμικές δυνάμεις, τότε για να υπολογίσουμε την συνισταμένη δύναμη μπορούμε να εργαστούμε με δύο τρόπους.

1ος Τρόπος

Rendered by QuickLaTeX.com
  1. Ορίζουμε θετική φορά (όποια θέλουμε εμείς)
  2. Γράφουμε την διανυσματική σχέση για το άθροισμα της συνισταμένης δύναμης

        \[Σ\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 +\vec{F}_3 +\vec{F}_4\]

  3. Αντικαθιστούμε τα διανύσματα με τις αλγεβρικές τιμές των δυνάμεων ανάλογα με την κατεύθυνσή τους (όσες έχουν φορά ίδια με την θετική φορά τις βάζουμε θετικές ενώ τις άλλες αρνητικές)

        \[ΣF = F_1 + F_2 - F_3 - F_4\]

  4. Υπολογίζουμε την αλγεβρική τιμή της συνισταμένης δύναμης
  5. Σχεδιάζουμε την συνισταμένη δύναμη ανάλογα με το πρόσημό της.

 

2ος Τρόπος

Rendered by QuickLaTeX.com
  1. Βρίσκουμε την συνισταμένη των δυνάμεων που είναι προς την μία κατεύθυνση (π.χ. δεξιά ΣFδεξια) και την σχεδιάζουμε.

        \[ΣF_{δεξι\acute{α}} = F_1 + F_2\]

  2. Βρίσκουμε την συνισταμένη των δυνάμεων που είναι προς την άλλη κατεύθυνση (π.χ. αριστερά ΣFαριστερά) και την σχεδιάζουμε.

        \[ΣF_{αριστερ\acute{α}} = F_3 + F_4\]

  3. Βρίσκουμε την συνισταμένη δύναμη των δύο αντίρροπων δυνάμεων που βρήκαμε και την σχεδιάζουμε.

        \[\boxed{ΣF = ΣF_{δεξι\acute{α}} - ΣF_{αριστερ\acute{α}}}\]

Είναι καλύτερο σε αυτή τη φάση να χρησιμοποιούμε τον 1ο τρόπο καθώς η κατανόησή του θα μας βοηθήσει στο επόμενο κεφάλαιο.

 

1ος Νόμος του Νεύτωνα

 

Αδράνεια ονομάζουμε την ιδιότητα των σωμάτων να αντιστέκονται σε κάθε μεταβολή της κινητικής τους κατάστασης.

Στη φυσική, όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε παραμένει ακίνητο ή κινείται με σταθερή ταχύτητα. Δηλαδή:

    \[Ισορροπ\acute{ι}α \Longleftrightarrow \left . \begin{cases} \vec{υ} = 0 \hspace{5mm} (ακ\acute{ι}νητο)\\ \vec{υ} = σταθ. \hspace{5mm} (ΕΟΚ) \end{cases} \right .\]

Ο 1ος νόμος του Νεύτωνα περιγράφει τι συμβαίνει όταν σε ένα σώμα δεν ασκείται καμία δύναμη, ή αν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται πάνω στο σώμα είναι μηδέν. Σύμφωνα με τον 1ο νόμο του Νεύτωνα:

“Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα είναι μηδέν, τότε το σώμα ή ηρεμεί ή κινείται ευθύγραμμα και ομαλά”.

Ένα άλλος τρόπος που θα μπορούσε να διατυπωθεί ο 1ος νόμος του Νεύτωνα είναι:

“Αν η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα είναι μηδέν, τότε το σώμα ισορροπεί”.

Ο 1ος νόμος μπορεί να γραφεί με τη μορφή σχέσης ως εξής:

    \begin{align*} Σ\vec{F} = 0 &\Longleftrightarrow Ισορροπ\acute{ι}α \\ \acute{η}\\ Σ\vec{F} = 0 &\Longleftrightarrow \left . \begin{cases} \vec{υ} = 0 \hspace{5mm} (ακ\acute{ι}νητο)\\ \vec{υ} = σταθ. \hspace{5mm} (ΕΟΚ) \end{cases} \right . \end{align*}

 

2ος Νόμος του Νεύτωνα (Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής)

 

Ο 2ος νόμος του Νεύτωνα περιγράφει τι συμβαίνει όταν σε ένα σώμα  η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται πάνω του δεν είναι μηδέν.

Σύμφωνα με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα, όταν σε ένα σώμα η συνισταμένη δύναμη δεν είναι μηδέν, τότε το σώμα αποκτά επιτάχυνση η οποία είναι ανάλογη της συνισταμένης δύναμης και αντιστρόφως ανάλογη της μάζας του σώματος.

Ο 2ος νόμος μπορεί να γραφεί πολύ απλά με τη μορφή σχέσης ως εξής:

    \[\boxed{ Σ\vec{F} = m\cdot \vec{α}}\]

Παρατηρώντας την παραπάνω σχέση, μπορούμε να ξεχωρίσουμε 3 περιπτώσεις:

  1. Αν η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν (ΣF=0), τότε και η επιτάχυνση του σώματος θα είναι μηδέν, άρα το σώμα ή θα παραμένει ακίνητο ή θα κινείται ευθύγραμμα και ομαλά (1ος Νόμος Νεύτωνα).
  2. Αν η συνισταμένη δύναμη είναι σταθερή (ΣF= σταθ.), τότε και η επιτάχυνση του σώματος θα είναι σταθερή, άρα το σώμα θα εκτελεί Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση.
  3. Αν η συνισταμένη δύναμη δεν είναι σταθερή, τότε και η επιτάχυνση δεν θα είναι σταθερή, άρα το σώμα θα εκτελεί μια πιο σύνθετη κίνηση.

Βάρος – Μάζα

 

Βάρος (Β ή w)

Βάρος ονομάζουμε την βαρυτική δύναμη που ασκεί η Γη (ή κάποιο άλλο σώμα με μεγάλη μάζα) σε κάθε σώμα που βρίσκεται κοντά της. Καθώς είναι δύναμη, το Βάρος είναι διάνυσμα με κατεύθυνση προς το κέντρο της Γης και η μονάδα μέτρησής του είναι το Νιούτον (N).

Το βάρος αλλάζει από τόπο σε τόπο, και μειώνεται όσο αυξάνεται η απόσταση του σώματος από το κέντρο της Γης.

Για μικρά ύψη από την επιφάνεια της Γης, το βάρος συνδέεται με την μάζα με της σχέση:

    \[ \vec{B} = m\cdot \vec{g}\]

όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειας της Γης.

 

Μάζα (m)

Η μάζα είναι θεμελιώδες μονόμετρο φυσικό μέγεθος και είναι το μέτρο της αδράνειας ενός σώματος (αδρανειακή μάζα).

Η μάζα ενός σώματος παραμένει σταθερή και δεν μεταβάλλεται από τόπο σε τόπο.

 

Διαφορές μάζας – βάρους

Μάζα Βάρος
Σύμβολο

    \[ m\]

    \[\vec{B} \hspace{5mm}\acute{η} \hspace{5mm}\vec{w}\]
Ορισμός Το μέτρο της αδράνειας ενός σώματος Η βαρυτική δύναμη που ασκεί η Γη
Μονάδα μέτρησης kg (Χιλιόγραμμο) Ν (Νιούτον)
Είδος Μονόμετρο Διανυσματικό
Όργανο μέτρησης Ζυγός Δυναμόμετρο
  Παραμένει σταθερή σε κάθε τόπο Αλλάζει από τόπο σε τόπο
Σχέση

    \[Β = m\cdot g \]

 

 

Ελεύθερη πτώση

Ελεύθερη πτώση ονομάζουμε την κίνηση που κάνει ένα σώμα αν το αφήσουμε από κάποιο ύψος και πάνω του επιδρά μόνο η δύναμη του βάρους.

Rendered by QuickLaTeX.com

Σύμφωνα με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα θα ισχύει (Θεωρούμε θετική φορά προς τα κάτω):

    \begin{align*} ΣF &=m\cdot α &\Longleftrightarrow\\ B &= m\cdot a & \Longleftrightarrow \\ m\cdot g &= m\cdot α & \Longrightarrow\\ \frac{\cancel{m} \cdot a}{\cancel{m}} &= \frac{\cancel{m}\cdot g}{\cancel{m}} &\Longleftrightarrow \end{align*}

(1)   \begin{equation*} \boxed{α = g} \end{equation*}

Το σώμα λοιπόν, εκτελεί Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση, χωρίς αρχική ταχύτητα, με επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας (g).

Επομένως, οι εξισώσεις που θα περιγράφουν την κίνηση του σώματος θα είναι:

Ταχύτητα: 

(2)   \begin{equation*} \boxed{υ = g\cdot t} \end{Equation}
Μετατόπιση: 

(3)   \begin{equation*} \boxed{\Delta y = \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2} \end{Equation}

 

Μετά από πόσο χρόνο θα πέσει το σώμα στο έδαφος;

Όταν το σώμα φτάσει στο έδαφος θα έχει διανύσει απόσταση h άρα η μετατόπισή του θα είναι:

    \begin{align*} \Delta y &= h & \Longrightarrow\\ \frac{1}{2}\cdot g \cdot t_{εδ\acute{a}φους}^2 &= h &\Longrightarrow\\ g\cdot t_{εδ\acute{a}φους}^2 &= 2\cdot h & \Longrightarrow\\ \frac{\cancel{g}\cdot t_{εδ\acute{a}φους}^2}{\cancel{g}} &= \frac{2\cdot h}{g} &\Longrightarrow\\ t_εδ\acute{a}φους^2 &= \frac{2\cdot h}{g} &\Longrightarrow\\ \end{align*}

(4)   \begin{equation*} \boxed{t_{εδ\acute{a}φους} = \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}} \end{equation*}

Με τι ταχύτητα θα φτάσει το σώμα στο έδαφος;

Αφού το σώμα χρειάζεται χρόνο tεδάφους να φτάσει στο έδαφος, η ταχύτητα που θα έχει όταν φτάσει στο έδαφος θα είναι:

    \begin{align*} υ_{εδ\acute{a}φους} &= g\cdot t_{εδ\acute{a}φους} &\Longrightarrow\\ υ_{εδ\acute{a}φους} &= g\cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}& \Longrightarrow\\ υ_{εδ\acute{a}φους} &= \sqrt{\frac{g^2\cdot 2\cdot h}{g}}& \Longrightarrow\\ υ_{εδ\acute{a}φους} &= \sqrt{\frac{ g^{\cancel{2}} \cdot 2 \cdot h }{\cancel{g}}} &\Longrightarrow\\ \end{align*}

(5)   \begin{equation*} \boxed{υ_{εδ\acute{a}φους} &= \sqrt{2 \cdot g\cdot h}} \end{equation*}

Εδώ θα βρείτε μερικά παραδείγματα ασκήσεων στην Ελεύθερη Πτώση.

 

Κατακόρυφη Βολή προς τα Κάτω

Κατακόρυφη Βολή προς τα κάτω ονομάζουμε την κίνηση που κάνει ένα σώμα αν το εκτοξεύσουμε με μία αρχική ταχύτητα (προς τα κάτω) από κάποιο ύψος και πάνω του επιδρά μόνο η δύναμη του βάρους.

Rendered by QuickLaTeX.com

Σύμφωνα με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα θα ισχύει (Θεωρούμε θετική φορά προς τα κάτω):

    \begin{align*} ΣF &=m\cdot α &\Longleftrightarrow\\ B &= m\cdot a & \Longleftrightarrow \\ m\cdot g &= m\cdot α & \Longrightarrow\\ \frac{\cancel{m} \cdot a}{\cancel{m}} &= \frac{\cancel{m}\cdot g}{\cancel{m}} &\Longleftrightarrow \end{align*}

(6)   \begin{equation*} \boxed{α = g} \end{equation*}

Το σώμα λοιπόν, εκτελεί Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση, με αρχική ταχύτητα και επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας (g).

Επομένως, οι εξισώσεις που θα περιγράφουν την κίνηση του σώματος θα είναι:

Ταχύτητα: 

(7)   \begin{equation*} \boxed{υ =υ_{ο} + g\cdot t} \end{Equation}
Μετατόπιση: 

(8)   \begin{equation*} \boxed{\Delta y = υ_{ο}\cdot t + \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2} \end{Equation}

 

Εδώ θα βρείτε μερικά παραδείγματα ασκήσεων στην Κατακόρυφη βολή προς τα κάτω.

 

 

Κατακόρυφη Βολή προς τα Πάνω

Κατακόρυφη Βολή προς τα πάνω ονομάζουμε την κίνηση που κάνει ένα σώμα αν το εκτοξεύσουμε με μία αρχική ταχύτητα (προς τα πάνω), είτε από το έδαφος είτε από κάποιο ύψος, και πάνω του επιδρά μόνο η δύναμη του βάρους.

Rendered by QuickLaTeX.com

Σύμφωνα με τον 2ο νόμο του Νεύτωνα θα ισχύει (Θεωρούμε θετική φορά προς τα πάνω):

    \begin{align*} ΣF &=m\cdot α &\Longleftrightarrow\\ -B &= m\cdot a & \Longleftrightarrow \\ -m\cdot g &= m\cdot α & \Longrightarrow\\ \cancel{-}\frac{\cancel{m} \cdot a}{\cancel{-m}} &= \frac{\cancel{m}\cdot g}{-\cancel{m}} &\Longleftrightarrow \end{align*}

(9)   \begin{equation*} \boxed{α = -g} \end{equation*}

Το σώμα λοιπόν, εκτελεί Ευθύγραμμη Ομαλά Επιβραδυνόμενη Κίνηση, με αρχική ταχύτητα και επιτάχυνση ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας (g).

Επομένως, οι εξισώσεις που θα περιγράφουν την κίνηση του σώματος θα είναι:

Ταχύτητα: 

(10)   \begin{equation*} \boxed{υ =υ_{ο} - g\cdot t} \end{Equation}
Μετατόπιση: 

(11)   \begin{equation*} \boxed{\Delta y = υ_{ο}\cdot t - \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2} \end{Equation}

 

Εδώ θα βρείτε μερικά παραδείγματα ασκήσεων στην Κατακόρυφη βολή προς τα πάνω.

 

Comments Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Δυναμική σε μια διάσταση

01 11 2017

Παραδείγματα ασκήσεων στην Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση

Αναρτήθηκε από Παναγιώτης Κουτεντάκης στο Φυσική Α' Λυκείου

 

Επιστροφή στην θεωρία

 

Παράδειγμα 1

Ένα αρχικά ακίνητο σώμα ξεκινά να επιταχύνει σταθερά και μετά από 3 δευτερόλεπτα έχει αναπτύξει ταχύτητα 12m/s.

  1. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος.
  2. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος μετά από 10 δευτερόλεπτα.
  3. Να υπολογίσετε το διάστημα που διένυσε το σώμα στο 10ο δευτερόλεπτο της κίνησής του.
  4. Να γίνουν τα διαγράμματα επιτάχυνσης – χρόνου, ταχύτητας – χρόνου και μετατόπισης χρόνου για τα 10 πρώτα δευτερόλεπτα της κίνησης του σώματος.

Λύση

1. Από την εκφώνηση της άσκησης βλέπουμε ότι η αρχική ταχύτητα του σώματος θα είναι μηδέν, δηλαδή:

    \[\upsilon_0 = 0\]

Η επιτάχυνση του σώματος μπορεί να υπολογιστεί από τον ορισμό της. Δηλαδή:

    \[\alpha = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = \frac{\upsilon_2 - \upsilon_1}{t_2 - t_1} = \frac{12 - 0}{3-0} = \frac{12}{3} \Longrightarrow \boxed{\alpha= 4 m/s}\]

 

Οι εξισώσεις, λοιπόν, που θα περιγράφουν την κίνηση του σώματος θα είναι:

 

\upsilon = \upsilon_0 +\alpha \cdot t \stackrel [\alpha = 4]{\upsilon_0=0}{\Longrightarrow} \boxed{\upsilon = 4\cdot t}
\Delta x= \upsilon_0 \cdot t+\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot t^2 \stackrel [\alpha = 4]{\upsilon_0=0}{\Longrightarrow} \boxed{\Delta x = 2\cdot t^2}

 

2. Η ταχύτητα του σώματος μετά από 10 δευτερόλεπτα θα είναι:

    \[\upsilon = 4\cdot t = 4 \cdot 10 \Longrightarrow \boxed{\upsilon= 40m/s}\]

3. Το 10ο δευτερόλεπτο της κίνησης του σώματος είναι μεταξύ 9 και 10 s. Το διάστημα που θα διανύσει το σώμα κατά τότε θα είναι η διαφορά της μετατόπισής του στα 10s μείον την μετατόπιση στα 9s. Άρα:

    \[\Delta x_9 = 2\cdot t^2 = 2\cdot 9^2 = 2\cdot 81 = 162m\]

    \[\Delta x_{10} = 2\cdot t^2 = 2\cdot 10^2 = 2\cdot 100 =200m\]

Άρα:

    \[\Delta x_{(9-10)} = \Delta x_{10} - \Delta x_9 = 200-162 \Longrightarrow \boxed{\Delta x_{(9-10)} =38m}\]

4. 

Διάγραμμα επιτάχυνσης – χρόνου

Rendered by QuickLaTeX.com

Διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου

Rendered by QuickLaTeX.com

Διάγραμμα μετατόπισης – χρόνου

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Παράδειγμα 2

Η θέση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από την παρακάτω σχέση:

    \[x = 80\cdot t - 2\cdot t^2\]

  1. Να βρεθεί η επιτάχυνση και η αρχική ταχύτητα του σώματος και να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας.
  2. Να υπολογίσετε ποια χρονική στιγμή θα σταματήσει στιγμιαία το σώμα.
  3. Να υπολογίσετε το διάστημα που θα διανύσει το σώμα μέχρι να σταματήσει.
  4. Να γίνουν τα διαγράμματα επιτάχυνσης – χρόνου, ταχύτητας – χρόνου και θέσης χρόνου μέχρι να σταματήσει το σώμα.

 

Λύση

1. Παρατηρούμε ότι η σχέση που μας δίνεται για τη θέση του σώματος είναι της μορφής

    \[x= \upsilon_0 \cdot t-\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot t^2\]

Άρα το σώμα κάνει ευθύγραμμα ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.

Συγκρίνοντας τη σχέση που μας δίνεται με την σχέση της θέσης για την επιβραδυνόμενη κίνηση βγάζουμε ότι:

    \[\boxed{\upsilon_0 = 80m/s}\]

και

    \[\frac{1}{2}\cdot \alpha = 2 \Longrightarrow \boxed{\alpha = 4m/s^2}\]

Συνεπώς η εξίσωση που θα δίνει την ταχύτητα του σώματος θα είναι:

    \[\upsilon = \upsilon_0 - \alpha\cdot t \Longrightarrow \boxed{\upsilon = 80 - 4\cdot t}\]

2. Όταν το σώμα σταματήσει, η ταχύτητά του θα είναι μηδέν. Άρα:

    \[0 = 80 - 4\cdot t \Longleftrightarrow 4\cdot t = 80 \Longrightarrow \frac{\cancel{4}\cdot t}{\cancel{4} }=\frac{80}{4}\Longrightarrow \boxed{t = 20s}\]

3. Το διάστημα που θα διανύσει το σώμα μέχρι να σταματήσει (t=20s) θα είναι το ίδιο με την θέση του εκείνη την στιγμή (καθώς η αρχική του θέση είναι μηδέν). Άρα:

    \[s = x = 80\cdot t - 2\cdot t^2 = 80\cdot 20 - 2\cdot 20^2 =1600 - 800 \Longrightarrow \boxed{s = 800m}\]

4.

Διάγραμμα επιτάχυνσης – χρόνου

Rendered by QuickLaTeX.com

Διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου

Rendered by QuickLaTeX.com

Διάγραμμα θέσης – χρόνου

Rendered by QuickLaTeX.com

 

 

 

Παράδειγμα 3

Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και η ταχύτητά του δίνεται από το παρακάτω διάγραμμα.

Rendered by QuickLaTeX.com
  1. Να προσδιορίσετε το είδος των κινήσεων του σώματος.
  2. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση και την μετατόπιση του σώματος σε κάθε κίνηση.
  3. Να υπολογίσετε την συνολική του μετατόπιση καθώς και το διάστημα το οποίο διένυσε.
  4. Να υπολογίσετε την μέση ταχύτητα του σώματος.
  5. Να γίνουν τα διαγράμματα επιτάχυνσης – χρόνου, διαστήματος – χρόνου και θέσης – χρόνου.

 

Λύση

1. και 2. Για κάθε κίνηση μπορούμε να υπολογίσουμε την επιτάχυνση από την κλίση της ευθείας ενώ την μετατόπιση από το εμβαδόν του διαγράμματος με τον άξονα των χρόνων.

(0s – 2s): Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση 

    \[\alpha_1 = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = \frac{\upsilon_2 - \upsilon_0}{t_2-t_0}=\frac{10-0}{2-0}=\frac{10}{2} \Longrightarrow \boxed{\alpha_1 = 5m/s^2}\]

    \[\Delta x_1 = E_{\tau \rho \iota \gamma .} = \frac{1}{2}\cdot \beta \cdot \upsilon = \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 10 \Longrightarrow \boxed{\Delta x_1 = 10m}\]

 

(2s – 5s): Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση 

    \[\alpha_2 = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = \frac{\upsilon_5 - \upsilon_2}{t_5-t_2}=\frac{10-10}{5-2}=\frac{0}{3} \Longrightarrow \boxed{\alpha_2 = 0m/s^2}\]

    \[\Delta x_2 = E_{\pi \alpha \rho .} = \beta \cdot \upsilon = (5-2)\cdot 10 = 3\cdot 10 \Longrightarrow \boxed{\Delta x_2 = 30m}\]

 

(5s – 7s): Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση

    \[\alpha_3 = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = \frac{\upsilon_7 - \upsilon_5}{t_7-t_5}=\frac{30-10}{7-5} =\frac{20}{2} \Longrightarrow \boxed{\alpha_3 = 10m/s^2}\]

    \[\Delta x_3 = E_{\tau \rho \alpha \pi .} = \frac{(B + \beta)\cdot \upsilon}{2} = \frac{(30+10)\cdot (7-5)}{2} = \frac{40\cdot 2}{2} \Longrightarrow \boxed{\Delta x_3 = 40m}\]

 

(7s – 10s): Ευθύγραμμη Ομαλά Επιβραδυνόμενη Κίνηση (μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του)

    \[\alpha_4 = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = \frac{\upsilon_{10} - \upsilon_7}{t_{10}-t_7}=\frac{0-30}{10-7-0}=\frac{-30}{3} \Longrightarrow \boxed{\alpha_4 = -10m/s^2}\]

    \[\Delta x_4 = E_{\tau \rho \iota \gamma .} = \frac{1}{2}\cdot \beta \cdot \upsilon = \frac{1}{2}\cdot (10-7) \cdot 30 = \frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 30 \Longrightarrow \boxed{\Delta x_4 = 45m}\]

 

(10s – 12s): Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση (με αρνητική φορά)

 

Από τη στιγμή που η ταχύτητα του σώματος έχει μηδενιστεί, δεν γίνεται να επιβραδύνει άλλο. Άρα επιταχύνεται προς την αρνητική φορά.

    \[\alpha_5 = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = \frac{\upsilon_{12} - \upsilon_{10}}{t_{12}-t_{10}}=\frac{-20-0}{12-10} = \frac{-20}{2} \Longrightarrow \boxed{\alpha_5 = -10m/s^2}\]

    \[\Delta x_5 = E_{\tau \rho \iota \gamma .} = \frac{1}{2}\cdot \beta \cdot \upsilon = \frac{1}{2}\cdot (12-10) \cdot (-20) = \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot (-20) \Longrightarrow \boxed{\Delta x_5 = -20m}\]

 

(12s – 14s): Ευθύγραμμη Ομαλά Επιβραδυνόμενη Κίνηση (με αρνητική φορά) 

    \[\alpha_6 = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = \frac{\upsilon_{14} - \upsilon_{12}}{t_{14}-t_{12}}=\frac{0-(-20)}{14-12} =\frac{20}{2}\Longrightarrow \boxed{\alpha_6 = 10m/s^2}\]

    \[\Delta x_6 = E_{\tau \rho \iota \gamma .} = \frac{1}{2}\cdot \beta \cdot \upsilon = \frac{1}{2}\cdot (14-12) \cdot (-20) = \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot (-20) \Longrightarrow \boxed{\Delta x_6 = -20m}\]

 

3. Η συνολική μετατόπιση του σώματος θα ισούται με το άθροισμα των επιμέρους μετατοπίσεων. δηλαδή:

    \[\Delta x_{o \lambda .} = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 +\Delta x_4 + \Delta x_5 +\Delta x_6 \Longrightarrow\]

    \[\Delta x_{o \lambda .}= 10+30+40+45+(-20)+(-20) \Longrightarrow \boxed{\Delta x_{o \lambda .} = 85m}\]

 

Το συνολικό διάστημα που θα διένυσε το σώμα θα ισούται με το άθροισμα των απολύτων τιμών των επιμέρους μετατοπίσεων. δηλαδή:

    \[s = |\Delta x_1| + |\Delta x_2| + |\Delta x_3| +|\Delta x_4| + |\Delta x_5| +|\Delta x_6| \Longrightarrow\]

    \[s= 10+30+40+45+20+20 \Longrightarrow \boxed{s = 165m}\]

 

4. Η μέση ταχύτητα του σώματος θα είναι:

    \[\upsilon_{\mu} = \frac{s}{t} = \frac{165}{14} \Longrightarrow \boxed{\upsilon_{\mu} \simeq 11.79m/s}\]

 

5. Το διάγραμμα επιτάχυνσης – χρόνου θα είναι:

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Το διάγραμμα διαστήματος – χρόνου θα είναι:

Rendered by QuickLaTeX.com

 

 

Το διάγραμμα θέσης – χρόνου θα είναι:

Rendered by QuickLaTeX.com

Παρατηρούμε ότι τα δύο διαγράμματα διαφέρουν μετά τα 10s γιατί το σώμα κινείται προς τα πίσω οπότε η θέση του μειώνεται ενώ το διάστημα συνεχίζει να αυξάνει.

 

 

Παράδειγμα 4

Ένα αυτοκίνητο και μία μηχανή κινούνται σε ευθύγραμμο δρόμο. Τη χρονική στιγμή μηδέν, η μηχανή βρίσκεται σε απόσταση d=200m πίσω από το αυτοκίνητο και κινείται με ταχύτητα 50m/s, πατάει φρένο κι αρχίζει να επιβραδύνει με επιβράδυνση αμ=  2m/s2. Το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα 20m/s.

  1. Ποια χρονική στιγμή τα δύο οχήματα έχουν την ίδια ταχύτητα;
  2. Να δειχθεί ότι τα οχήματα θα συναντηθούν δύο φορές.
  3. Ποια θα είναι η ταχύτητα της μηχανής όταν συναντήσει το αυτοκίνητο;
  4. Ποια η μετατόπιση των δύο οχημάτων όταν συναντιούνται;
  5. Να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας – χρόνου, μετατόπισης – χρόνου και θέσης – χρόνου για τα δύο οχήματα σε κοινό σύστημα αξόνων.

 

Λύση

Γράφουμε τις σχέσεις που περιγράφουν την κίνηση των σωμάτων:

  Αυτοκίνητο Μηχανή
Είδος κίνησης Ε.Ο.Κ. Ε.Ο.Επιβ.Κ.
Ταχύτητα \upsilon_\alpha = 20m/s \upsilon_\mu = 50 -2\cdot t
Μετατόπιση \Delta x_\alpha = 20\cdot t \Delta x_\mu = 50\cdot t - t^2

 

Στη συνέχεια κάνουμε σχήμα με τα σώματα στην αρχική και τελική τους θέση και σημειώνουμε τις μετατοπίσεις τους και τις αποστάσεις που δίνονται και ζητούνται.

 

Rendered by QuickLaTeX.com

1. Όταν τα  σώματα έχουν την ίδια ταχύτητα ισχύει:

    \[\upsilon_{\alpha} = \upsilon_{\mu} \Rightarrow\]

    \[20 = 50 - 2 \cdot t \Longleftrightarrow 2 \cdto t = 50-20 \Rightarrow\]

    \[2 \cdot t = 30 \Longrightarrow \frac{\cancel{2}\cdot t}{\cancel{2}} = \frac{30}{2} \Longrightarrow \boxed{t=15s}\]

 

2. Όταν τα  σώματα συναντιούνται ισχύει (από το σχήμα):

    \[\Delta x_{\mu} = d+\Delta x_{\alpha} \Rightarrow\]

    \[50\cdot t - t^2 = 200 + 20\cdot t \Longleftrightarrow t^2 +20\cdot t - 50 \cdot t + 200 =0 \Longrightarrow\]

    \[t^2 -30\cdot t +200 = 0\]

 

Λύνουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση:

    \[\Delta = \beta^2 - 4\cdot \alpha \cdot \gamma = (-30)^2 -4\cdot 1 \cdot 200 = 900-800 = 100 > 0\]

 

Άρα έχουμε δύο λύσεις:

    \[t_{1,2} = \frac{-\beta\pm \sqrt{\Delta}}{2\cdot \alpha} = \frac{-(-30)\pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{30\pm 10}{2} = \left . \begin{cases} t_1 =\frac{20}{2} \Rightarrow \boxed{t_1=10s}\\ t_2 =\frac{40}{2} \Rightarrow \boxed{t_2=20s} \end{cases} \right .\]

 

Επειδή και οι δύο λύσεις είναι θετικές τις δεχόμαστε, άρα τα οχήματα θα συναντηθούν δύο φορές μία τη χρονική στιγμή t1 = 10s και ξανά μετά τη χρονική στιγμή t2 = 20s.

 

3. Η ταχύτητα της μηχανής όταν συναντήσει το αυτοκίνητο θα είναι:

  •     \[\underline{t_1 = 10s:} \upsilon_{\mu_1} = 50 -2\cdot t = 50 - 2 \cdot 10 = 50 -20 \Rightarrow \boxed{\upsilon_{\mu_1}=30m/s}\]

  •     \[\underline{t_2 = 20s:} \upsilon_{\mu_2} = 50 -2\cdot t = 50 - 2 \cdot 20 = 50 -40 \Rightarrow \boxed{\upsilon_{\mu_2}=10m/s}\]

 

4. Οι μετατοπίσεις των οχημάτων όταν συναντιούνται θα είναι:

  •     \[\underline{t_1 = 10s:}\]

    •     \[\Delta x_{\alpha_1} = 20\cdot t = 20 \cdot 10 \Rightarrow \boxed{\Delta x_{\alpha_1} = 200m}\]

    •     \[\Delta x_{\mu_1} = 50\cdot t - t^2 = 50 \cdot 10 - 10^2 = 500-100 \Rightarrow \boxed{\Delta x_{\mu_1}= 400m}\]

  •     \[\underline{t_2 = 20s:}\]

    •     \[\Delta x_{\alpha_2} = 20\cdot t = 20 \cdot 20 \Rightarrow \boxed{\Delta x_{\alpha_2} = 400m}\]

    •     \[\Delta x_{\mu_2} = 50\cdot t - t^2 = 50 \cdot 20 - 20^2 = 1000-400 \Rightarrow \boxed{\Delta x_{\mu_2}= 600m}\]

 

5. 

Διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου

Rendered by QuickLaTeX.com

Διάγραμμα μετατόπισης – χρόνου

Rendered by QuickLaTeX.com

Διάγραμμα θέσης – χρόνου

Rendered by QuickLaTeX.com

Στο διάγραμμα θέσης – χρόνου φαίνεται καθαρά ότι τα δύο σώματα συναντιούνται δύο φορές (στα σημεία τομής των δύο γραμμών).

 

Επιστροφή στην θεωρία

 

Comments Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Παραδείγματα ασκήσεων στην Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση

26 10 2017

Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

Αναρτήθηκε από Παναγιώτης Κουτεντάκης στο Φυσική Α' Λυκείου

Επιτάχυνση

Επιτάχυνση ονομάζουμε το διανυσματικό φυσικό μέγεθος που ορίζεται ως ο το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας προς τον χρόνο που γίνεται αυτή η μεταβολή (ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας). Δηλαδή:

    \[\vec{\alpha} = \frac{\Delta \vec{\upsilon}}{\Delta t}\]

 

Από τον ορισμό βλέπουμε ότι η κατεύθυνσης της ταχύτητας θα είναι πάντα ίδια με την κατεύθυνσης της μεταβολής της ταχύτητας.

Μονάδα μέτρησης της επιτάχυνσης στο S.I. είναι το

    \[1 \frac{m/s}{s} = 1m/s^2\]

.

 

 

 

Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, ονομάζουμε την κίνηση όπου η τροχιά του σώματος είναι ευθεία γραμμή και η ταχύτητά του μεταβάλλεται ομαλά. Δηλαδή έχει σταθερή επιτάχυνση.

Όταν η ταχύτητα το σώματος αυξάνεται η κίνηση ονομάζεται επιταχυνόμενη ενώ όταν η ταχύτητα του σώματος μειώνεται η κίνηση ονομάζεται επιβραδυνόμενη.

 

Σχέσεις στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

Η επιτάχυνση του σώματος βρίσκεται από τον ορισμό της επιτάχυνσης, δηλαδή:

 

    \[\alpha = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\]

 

Από τον ορισμό της επιτάχυνσης λύνοντας ως προς

    \[\Delta \vec{\upsilon}\]

και θεωρώντας αρχική χρονική στιγμή μηδέν, έχουμε :

    \begin{align*} \Delta \vec{\upsilon} &= \vec{\alpha} \cdot \Delta t \Longleftrightarrow\\ \vec{\upsilon} - \vec{\upsilon}_o &= \vec{\alpha} \cdot (t-t_o) \stackrel{t_o=0}{\Longrightarrow}\\ \vec{\upsilon} &=\vec{\upsilon}_o + \vec{\alpha} \cdot t \\ \end{align*}

Ανάλογα με το αν η κίνηση είναι επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη, η παραπάνω σχέση γίνεται:

Επιταχυνόμενη:  \upsilon =\upsilon_o + |\alpha| \cdot t
Επιβραδυνόμενη: \upsilon =\upsilon_o - |\alpha| \cdot t

 

Αποδεικνύεται ότι η μετατόπιση ενός σώματος που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις ανάλογα το είδος της κίνησης:

Επιταχυνόμενη:  \Delta x = \upsilon_o \cdot t + \frac{1}{2}\cdot |\alpha| \cdot t^2
Επιβραδυνόμενη:  \Delta x = \upsilon_o \cdot t - \frac{1}{2}\cdot |\alpha| \cdot t^2

 

Διαγράμματα στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

Διάγραμμα επιτάχυνσης – χρόνου [α=f(t)]

Η επιτάχυνση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση παραμένει συνεχώς σταθερή άρα το διάγραμμά της θα είναι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα των χρόνων. Θετική στην επιταχυνόμενη και αρνητική στην επιβραδυνόμενη.

Rendered by QuickLaTeX.com

Από το εμβαδόν της γραφικής παράστασης με τον άξονα των χρόνος μπορούμε να υπολογίσουμε την μεταβολή της ταχύτητας Δυ του σώματος.

    \[E = \beta \cdot \upsilon = t_o \cdot \alpha = \Delta \upsilon\]

 

 

Διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου [υ=f(t)]

Rendered by QuickLaTeX.com

Το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου, μας δίνει τις περισσότερες πληροφορίες.

Από το εμβαδόν του διαγράμματος με τον άξονα των χρόνων, όπως ξέρουμε ήδη, μπορούμε να βρούμε την μετατόπιση Δx του σώματος.

Αν υπολογίσουμε την κλίση του διαγράμματος έχουμε:

\kappa \lambda \acute{\iota} \sigma \eta = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t} = \alpha

 

Η κλίση λοιπόν μας δίνει την επιτάχυνση του σώματος.

 

Διάγραμμα μετατόπισης – χρόνου [Δx=f(t)]

Rendered by QuickLaTeX.com

Όπως ξέρουμε, η κλίση του διαγράμματος μετατόπισης – χρόνου μας δίνει την ταχύτητα.

Παρατηρούμε ότι στην επιταχυνόμενη κίνηση η κλίση (άρα η ταχύτητα) του διαγράμματος αυξάνεται όσο περνάει ο χρόνος, ενώ στην επιβραδυνόμενη μειώνεται, όπως είναι αναμενόμενο.

Μεθοδολογία Ασκήσεων

Δείτε εδώ συνολικά τη μεθοδολογία για την επίλυση των ασκήσεων του κεφαλαίου των κινήσεων.

 

Παραδείγματα ασκήσεων

Δείτε εδώ απλά παραδείγματα ασκήσεων στην Ευθύγραμμη Ομαλά Επιταχυνόμενη Κίνηση καθώς και συνδυαστικές ασκήσεις.

 

Comments Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Ευθύγραμμη Ομαλά Μεταβαλλόμενη Κίνηση

26 10 2017

Παραδείγματα Ασκήσεων στις Κινήσεις

Αναρτήθηκε από Παναγιώτης Κουτεντάκης στο Φυσική Α' Λυκείου

Comments Δεν επιτρέπεται σχολιασμός στο Παραδείγματα Ασκήσεων στις Κινήσεις

« Παλιότερα άρθρα
Επόμενα άρθρα »
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Accessibility by WAH
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων