« 
 »
18 03 2020

Παραδείγματα Ελεύθερης Πτώσης

Αναρτήθηκε από Παναγιώτης Κουτεντάκης στο Φυσική Α' Λυκείου

 

Επιστροφή στη θεωρία

 

Σε όλα τα παρακάτω παραδείγματα θεωρούμε ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας της Γης είναι ίση με: g=10m/s2

 

Παράδειγμα 1

Αφήνουμε ένα σώμα να πέσει από ύψος h και φτάνει στο έδαφος μετά από 6 δευτερόλεπτα.

  1. Με τι ταχύτητα θα φτάσει το σώμα στο έδαφος;
  2. Από τι ύψος αφήσαμε το σώμα;

 

Λύση

Από τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα (δηλαδή δεν έχει αρχική ταχύτητα) και η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω του είναι το βάρος, θα εκτελέσει ελεύθερη πτώση.

Οπότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για την ταχύτητα και την μετατόπιση του σώματος:

    \begin{align*} υ &= g\cdot t\\ \Delta y &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \end{align*}

1. Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα με την οποία θα φτάσει στο έδαφος χρησιμοποιούμε την σχέση για την ταχύτητα και αντικαθιστούμε:

    \begin{align*} υ &= g\cdot t\\ υ &= 10 \cdot 6\\ υ &= 60 m/s \end{align*}

2. Το ύψος από το οποίο αφήσαμε το σώμα θα είναι ίσιο με την μετατόπιση του σώματος όταν αυτό φτάσει στο έδαφος. Επομένως:

    \begin{align*} h &= \Delta y\\ h &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \\ h &= \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6^2\\ h &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 36\\ h&=\frac{360}{2}\\ h &= 180m \end{align*}

 

 

Παράδειγμα 2

Αφήνουμε ένα σώμα να πέσει από ύψος h=80m. 

  1. Μετά από πόσο χρόνο θα φτάσει στο έδαφος;
  2. Ποια είναι η ταχύτητα του σώματος όταν φτάσει στο έδαφος;
  3. Σε ποιο ύψος από το έδαφος θα βρίσκεται το σώμα 2 δευτερόλεπτα αφότου το αφήσαμε;
  4. Ποια είναι η μετατόπιση του σώματος κατά το 3ο δευτερόλεπτο της κίνησής του;

 

Λύση

Από τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα (δηλαδή δεν έχει αρχική ταχύτητα) και η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω του είναι το βάρος, θα εκτελέσει ελεύθερη πτώση.

Οπότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για την ταχύτητα και την μετατόπιση του σώματος:

    \begin{align*} υ &= g\cdot t\\ \Delta y &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \end{align*}

1.  Όταν το σώμα φτάσει στο έδαφος, η μετατόπισή του θα ισούται με το ύψος από το οποίο το αφήσαμε. Άρα:

    \begin{align*} \Delta y &= h\\ \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 &= h\\ \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot t^2 &= 80\\ 10\cdot t^2 &= 160\\ \frac{\cancel{10}\cdot t^2}{\cancel{10}} &=\frac{160}{10}\\ t^2 &= 16\\ t &= \sqrt{16}\\ t &=4s \end{align*}

Θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και τον τύπο για τον χρόνο που χρειάζεται το σώμα να φτάσει στο έδαφος αλλά επειδή δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο χρειάζεται πρώτα απόδειξη.

    \begin{align*} t_{εδ\acute{a}φους} &= \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}\\ t_{εδ\acute{a}φους} &= \sqrt{\frac{2\cdot 80}{10}}\\ t_{εδ\acute{a}φους} &= \sqrt{\frac{160}{10}}\\ t_{εδ\acute{a}φους} &= \sqrt{16}\\ t_{εδ\acute{a}φους} &= 4s\\ \end{align*}

2. Η ταχύτητα με την οποία θα φτάσει το σώμα στο έδαφος, δηλαδή η ταχύτητα που θα έχει μετά από 4s, θα είναι:

    \begin{align*} υ &= g\cdot t\\ υ &= 10\cdot 4\\ υ &= 40m/s\\ \end{align*}

3. Για να υπολογίσουμε το ύψος στο οποίο βρίσκεται το σώμα 2 δευτερόλεπτα μετά που το αφήσαμε, θα πρέπει να υπολογίσουμε πρώτα την μετατόπισή του για αυτό το χρονικό διάστημα.

Rendered by QuickLaTeX.com

 Η μετατόπιση του σώματος μετά από 2 δευτερόλεπτα θα είναι:

    \begin{align*} \Delta y_2 &= \frac{1}{2}\cdot g \cdot t^2\\ \Delta y_2 &= \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 2^2\\ \Delta y_2 &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4\\ \Delta y_2 &= \frac{40}{2}\\ \Delta y_2 &= 20m \end{align*}

 

Το ύψος από το έδαφος λοιπόν θα είναι:

    \begin{align*} h_2 &= h - \Delta y_2 \\ h_2 &= 80 - 20\\ h_2 &= 60m \end{align*}

4. Μετατόπιση του σώματος κατά την διάρκεια του 3ου δευτερολέπτου σημαίνει πόσο μετατοπίστηκε το σώμα κατά το χρονικό διάστημα 2s ως 3s. Συνεπώς πρέπει να υπολογίσουμε την μετατόπιση στα 2 δευτερόλεπτα, την μετατόπιση στα 3 δευτερόλεπτα και μετά να τις αφαιρέσουμε (δείτε το παρακάτω σχήμα).

Rendered by QuickLaTeX.com

 Η μετατόπιση του σώματος μετά από 3 δευτερόλεπτα θα είναι:

    \begin{align*} \Delta y_3 &= \frac{1}{2}\cdot g \cdot t^2\\ \Delta y_3 &= \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 3^2\\ \Delta y_3 &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9\\ \Delta y_3 &= \frac{90}{2}\\ \Delta y_3 &= 45m \end{align*}

 

Η μετατόπιση λοιπόν του σώματος κατά την διάρκεια του 3ου δευτερολέπτου θα είναι:

    \begin{align*} s_3 &= \Delta y_3 - \Delta y_2 \\ s_3 &= 45 - 20\\ s_3 &= 25m \end{align*}

 

 

 

Παράδειγμα 3

Αφήνουμε 2 σώματα Α και Β να πέσουν ελεύθερα από τις ταράτσες δύο διαφορετικών πολυκατοικιών, ύψους hΑ κι hΒ αντίστοιχα. Όταν το σώμα Α φτάνει στο έδαφος, το σώμα Β έχει ταχύτητα υΒ=20m/s και βρίσκεται σε ύψος h1=25m από το έδαφος.

  1. Με τι ταχύτητα έφτασε το σώμα Α στο έδαφος;
  2. Από τι ύψος αφήσαμε το σώμα Α;
  3. Από τι ύψος αφήσαμε το σώμα Β;
  4. Πόσο χρόνο θα χρειαστεί το σώμα Β να φτάσει το έδαφος και με τι ταχύτητα;

 

Λύση

 

Rendered by QuickLaTeX.com

 Από τη στιγμή που αφήνουμε τα σώματα (δηλαδή δεν έχουν αρχική ταχύτητα) και η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω τους είναι το βάρος, θα εκτελούν ελεύθερη πτώση.

Οπότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για την ταχύτητα και την μετατόπιση των σωμάτων:

Σώμα Α

    \begin{align*} υ_α &= g\cdot t\\ \Delta y_α &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \end{align*}

Σώμα Β

    \begin{align*} υ_β &= g\cdot t\\ \Delta y_β &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \end{align*}

1.  Τα σώματα Α και Β ξεκίνησαν την κίνησή τους μαζί, οπότε κάθε χρονική στιγμή έχουν διανύσει την ίδια απόσταση και θα έχουν την ίδια ταχύτητα.
Η ταχύτητα λοιπόν του σώματος Α θα είναι:

    \[υ_α = υ_β = 20m/s\]

2. Από την σχέση της ταχύτητας, μπορούμε να υπολογίσουμε για πόσο χρόνο κινήθηκε το σώμα Α.

    \begin{align*} υ_α &= g \cdot t_1\\ 20 &= 10 \cdot t_1\\ \frac{20}{10} &= \frac{\cancel{10}\cdot t_1}{\cancel{10}}\\ t_1 &= 2s \end{align*}

Το ύψος από το οποίο έπεσε το σώμα Α θα ισούται με την μετατόπισή του, άρα:

    \begin{align*} h_α &= \Delta y_α\\ h_α &= \frac{1}{2}\cdot g \cdot t_1^2\\ h_α &= \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^2\\ h_α &= \frac{1}{\cancel{2}} \cdot 10 \cdot 2^\cancel{2}\\ h_α &= 20m \end{align*}

3. Καθώς τα δύο σώματα κινούνται ταυτόχρονα θα ισχύει:

    \[\Delta y_β = \Delta y_α = 20m\]

Οπότε το ύψος από το οποίο αφήσαμε το σώμα Β θα είναι:

    \begin{align*} h_β &= \Delta y_β + h_1 \\ h_β &= 20 + 25\\ h_β &= 45m \end{align*}

4. Όταν το σώμα Β φτάσει στο έδαφος, η μετατόπισή του θα είναι ίση με το ήψος από το οποίο το αφήσαμε. Άρα:

    \begin{align*} \Delta y_α &= h_β \\ \frac{1}{2}\cdot g \cdot t_2^2 &= h_β\\ \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot t_2^2 &= 45\\ 5 \cdot t_2^2 &= 45\\ \frac{\cancel{5} \cdot t_2^2}{\cancel{5}} &= \frac{45}{5}\\ t_2^2 &= 9\\ t_2 &= \sqrt{9}\\ t_2 &= 3s\\ \end{align*}

Η ταχύτητα με την οποία θα φτάσει το σώμα Β στο έδαφος θα είναι:

    \begin{align*} υ_{β_εδ.} &= g \cdot t_2\\ υ_{β_εδ.} &= 10 \cdot 3\\ υ_{β_εδ.} &= 30m/s\\ \end{align*}

 

 

Παράδειγμα 4

Από την κορυφή ενός ουρανοξύστη ύψους h=125m αφήνουμε να πέσει ένα σώμα Α. Μετά από 2 δευτερόλεπτα αφήνουμε να πέσει κι ένα σώμα Β.

  1. Σε ποιο ύψος από το έδαφος βρίσκεται το σώμα Α όταν αφήνουμε το σώμα Β;
  2. Πόσο απέχουν τα δύο σώματα και τι ταχύτητα έχουν 4 δευτερόλεπτα μετά από τη στιγμή που αφήσαμε το σώμα Α;
  3. Ποια είναι η απόσταση των δύο σωμάτων, όταν το σώμα Α θα φτάσει στο έδαφος;
  4. Πόσο χρόνο μετά από το σώμα Α θα φτάσει το σώμα Β στο έδαφος;

 

Λύση

Από τη στιγμή που αφήνουμε τα σώματα (δηλαδή δεν έχουν αρχική ταχύτητα) και η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω τους είναι το βάρος, θα εκτελούν ελεύθερη πτώση.

Οπότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για την ταχύτητα και την μετατόπιση των σωμάτων:

Σώμα Α Σώμα Β

    \begin{align*} υ_α &= g\cdot t_α\\ \Delta y_α &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot {t_α}^2 \end{align*}

    \begin{align*} υ_β &= g\cdot t_β\\ \Delta y_β &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot {t_β}^2 \end{align*}

 

Επειδή το σώμα Β αφήνεται να πέσει 2 δευτερόλεπτα μετά το σώμα Α θα ισχύει:

    \[t_β=t_α - 2\]

1. 

Rendered by QuickLaTeX.com

 Καθώς αφήνουμε το σώμα Β 2 δευτερόλεπτα μετά το Α, το σώμα Α θα έχει μετατοπιστεί κατά:

    \begin{align*} \Delta {y_α}_2 &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot {t_α}^2\\ \Delta {y_α}_2 &= \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2^2\\ \Delta {y_α}_2 &= \frac{1}{\cancel{2}}\cdot 10\cdot 2^\cancel{2}\\ \Delta {y_α}_2 &= 10\cdot 2\\ \Delta {y_α}_2 &= 20 m\\ \end{align*}

Άρα το ύψος στο οποίο βρίσκεται το σώμα Α θα είναι:

    \begin{align*} h_1 &= h - \Delta {y_α}_2 \\ h_1 &= 125 - 20 \\ h_1 &= 105 m \end{align*}

2. 

Rendered by QuickLaTeX.com

 Όταν έχουν περάσει 4 δευτερόλεπτα ισχύει ότι:

    \[t_α = 4s\]

και

    \[t_β = 2s\]

Άρα το σώμα Β βρίσκεται στην θέση που βρισκόταν το σώμα Α στα 2 δευτερόλεπτα της κίνησής του, ενώ το σώμα Α θα έχει μετατοπιστεί κατά:

    \begin{align*} \Delta {y_α}_4 &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot {t_α}^2\\ \Delta {y_α}_4 &= \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4^2\\ \Delta {y_α}_4 &= \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 16\\ \Delta {y_α}_4 &= \frac{160}{2}\\ \Delta {y_α}_4 &= 80 m\\ \end{align*}

Η απόσταση των δύο σωμάτων θα είναι λοιπόν:

    \begin{align*} d &= \Delta {y_α}_4 - \Delta {y_β}_2 \\ d &= 80 - 20\\ d &= 60 m \end{align*}

 

3. Όταν το σώμα Α φτάσει στο έδαφος, η μετατόπισή του θα ισούται με το ύψος από το οποίο έπεσε, άρα:

 

Rendered by QuickLaTeX.com

    \begin{align*} \Delta {y_α} &= h\\ \frac{1}{2}\cdot g\cdot {t_α}^2 &= h\\ \frac{1}{2}\cdot 10\cdot {t_α}^2 &= 125\\ 10\cdot {t_α}^2 &= 250\\ \frac{\cancel{10}\cdot {t_α}^2}{\cancel{10}} &= \frac{250}{10}\\ {t_α}^2 & = 25\\ t_α &= \sqrt{25}\\ t_α &=5 s \end{align*}

Το σώμα Α λοιπόν, φτάνει μετά από 5 δευτερόλεπτα στο έδαφος, οπότε ο χρόνος κίνησης του σώματος Β θα είναι:

    \[t_β = t_α - 2 = 3s\]

Το σώμα B θα έχει μετατοπιστεί κατά:

    \begin{align*} \Delta {y_β}_3 &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot {t_β}^2\\ \Delta {y_β}_3 &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot 3^2\\ \Delta {y_β}_3 &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot 9\\ \Delta {y_β}_3 &= \frac{90}{2}\\ \Delta {y_β}_3 &= 45m \end{align*}

Η απόσταση, λοιπόν, των δύο σωμάτων όταν το σώμα Α φτάσει στο έδαφος θα είναι:

    \begin{align*} s &= h - \Delta {y_β}_3 \\ s &= 125 - 45\\ s &= 80 m \end{align*}

 

4. Από τη στιγμή που το σώμα Β ξεκίνησε 2 δευτερόλεπτα μετά το σώμα Α, τότε θα φτάσει 2 δευτερόλεπτα μετά το σώμα Α στο έδαφος.

 

 

Παράδειγμα 5

Όταν οι αστροναύτες πήγαν στη Σελήνη, άφησαν ένα σώμα να πέσει από ύψος h=3,2m και παρατήρησαν ότι έφτασε στο έδαφος μετά από 2 δευτερόλεπτα.

  1. Ποια είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας τη Σελήνη;
  2. Με τι ταχύτητα έφτασε στο έδαφος της Σελήνης το σώμα;
  3. Από τι ύψος πρέπει να αφήσουμε ένα σώμα στη Γη για να φτάσει στο έδαφος στον ίδιο χρόνο (δηλαδή 2s);
  4. Από τι ύψος πρέπει να αφήσουμε ένα σώμα στη Γη ώστε να φτάσει στο έδαφος με την ίδια ταχύτητα;

 

Λύση

Από τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα (δηλαδή δεν έχει αρχική ταχύτητα) και η μόνη δύναμη που ασκείται πάνω του είναι το βάρος, θα εκτελέσει ελεύθερη πτώση.

Οπότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για την ταχύτητα και την μετατόπιση του σώματος:

    \begin{align*} υ &= g\cdot t\\ \Delta y &= \frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2 \end{align*}

μόνο που εδώ το g δεν το γνωρίζουμε καθώς βρισκόμαστε στη Σελήνη που  δεν έχει την ίδια βαρύτητα με την Γη.

1. Από τη στιγμή που ξέρουμε το ύψος από το οποίο αφήσαμε το σώμα και τον χρόνο που χρειάστηκε να πέσει, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της μετατόπισης:

    \begin{align*} \Delta y &= h\\ \frac{1}{2}\cdot g_Σ\cdot t^2 &= h\\ \frac{1}{2} \cdot g_Σ \cdot 2^2 &= 3.2\\ \frac{1}{\cancel{2}} \cdot g_Σ \cdot 2^\cancel{2} &= 3.2\\ 2\cdot g_Σ &= 3.2\\ \frac{\cancel{2}\cdot g_Σ}{\cancel{2} } &= \frac{3.2}{2}\\ g_Σ &= 1,6m/s^2 \end{align*}

2. Από τη στιγμή που βρήκαμε την επιτάχυνσης της βαρύτητας στη Σελήνη, μπορούμε να υπολογίσουμε και την ταχύτητα με την οποία φτάνει στο έδαφος:

    \begin{align*} υ &= g_Σ \cdot t \\ υ &= 1,6\cdot 2\\ υ &= 3,2 m/s \end{align*}

3. Για να φτάσει ένα σώμα στον ίδιο χρόνο στο έδαφος στη Γη, 

    \begin{align*} h &= \frac{1}{2}\cdot g_{Γης} \cdot t^2 \\ h &= \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 2^2 \\ h &= \frac{1}{\cancel{2}}\cdot 10 \cdot 2^\cancel{2} \\ h &= 10\cdot 2 \\ h &= 20m \end{align*}

4. Για να έχει το σώμα την ίδια ταχύτητα στο έδαφος, θα πρέπει να κινείται για χρόνο:

    \begin{align*} υ &= g_{Γης} \cdot t \\ 3,2 &= 10\cdot t\\ 10 \cdot t &= 3,2\\ \frac{\cancel{10}\cdot t}{\cancel{10}} &= \frac{3,2}{10}\\ t &= 0,32 s \end{align*}

Το ύψος από  το οποίο πρέπει να το αφήσουμε θα είναι:

    \begin{align*} h &= \frac{1}{2}\cdot g_{Γης} \cdot t^2 \\ h &= \frac{1}{2}\cdot 10 \cdot 0,32^2 \\ h &= 5 \cdot 0,1024\\ h &= 0,512m \end{align*}

 

Επιστροφή στη θεωρία

 

CC BY-NC-SA 4.0 Αυτή η εργασία έχει άδεια χρήσης Creative Commons -Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή4.0.

Το άρθρο δημοσιεύτηκε Τετάρτη 18 Μαρτίου 2020 στις 13:42 στην κατηγορία Φυσική Α' Λυκείου. Μπορείς να παρακολουθείς τα σχόλια χρησιμοποιώντας το RSS 2.0 feed. Τα σχόλια και τα pings δεν επιτρέπονται.

Τα σχόλια είναι κλειστά.
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Accessibility by WAH
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων