llignou@yahoo.gr

Μην ξεχάσετε να επισκεφθείτε τις  ” Παθηματικές Αναρριχήσεις” μας..

Τα Μαθηματικά υδρεύουν την Σάμο

Το Ευπαλίνειο όρυγμα είναι μια σήραγγα  μήκους 1036 μέτρων κοντά στο Πυθαγόρειο της Σάμου, η οποία κατασκευάστηκε κατά τον 6ο αι. π.Χ, για να χρησιμεύσει σαν υδραγωγείο. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του ήταν ότι ανοίχθηκε ταυτόχρονα και από τις δυο πλευρές του βουνού: το όρυγμα αυτό ήταν αμφίστομον όπως το χαρακτήρισε ο Ηρόδοτος (η μοναδική πηγή που έχουμε για το Ευπαλίνιο όρυγμα), χάρις στον οποίον έγινε γνωστό. Οι δυο σήραγγες συναντήθηκαν περίπου στο μέσον με αξιοθαύμαστη ακρίβεια, κάτι που ήταν σημαντικό επίτευγμα για τα τεχνολογικά δεδομένα της εποχής. Ένα μέρος του ορύγματος είναι σήμερα επισκέψιμο.

Το άνοιγμα της σήραγγας είναι περίπου 1.80×1.80 μ. και το μήκος της 1036 μέτρα. Μερικά μέτρα κάτω από την κύρια σήραγγα έχει σκαφτεί μια μικρότερη, από την οποία περνούσε το νερό.

Εκτιμάται ότι ο σκοπός του ορύγματος ήταν όχι μόνο να μεταφερθεί νερό από την πηγή πίσω από το βουνό προς στην πρωτεύουσα της Σάμου (το σημερινό Πυθαγόρειο), αλλά αυτό να γίνει με τρόπο που δεν ήταν ανιχνεύσιμος από επιδρομείς, οι οποίοι θα μπορούσαν εύκολα, αν έβλεπαν τον επιφανειακό αγωγό, να τον καταστρέψουν και να στερήσουν την πόλη από τον βασικότερο πόρο της. Από το όρυγμα λοιπόν το νερό οδηγούνταν μέσα από το τείχος της πόλης.

Ο λόγος για τον οποίο υπάρχουν δυο παράλληλες σήραγγες, είναι ότι κατά το χρόνο σχεδιασμού και υλοποίησης του έργου η πηγή βρισκόταν σε  ορισμένο ύψος (υψηλότερο από το επίπεδο της στοάς), αλλά μετά την κατασκευή της κύριας στοάς, η πηγή άρχισε να αναβλύζει χαμηλότερα, συνεπώς δε μπορούσε πλέον με φυσική ροή να οδηγηθεί στη στοά αυτή. Για το λόγο αυτό έγινε αναγκαία η διάνοιξη μιας βοηθητικής, μικρότερης σήραγγας, σε χαμηλότερο επίπεδο. Η μικρότερη σήραγγα διανοίχτηκε μέσα από την κύρια στοά, με τη βοήθεια κάθετων ορυγμάτων.

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα συναντά την τέχνη

To 1847, ένας εκκεντρικός και μάλλον άγνωστος Βρετανός μαθηματικός ο Oliver Byrneδημοσιεύει “ Τα Στοιχεία ” του Ευκλείδη εμπλουτισμένα με χρωματιστά διαγράμματα και σύμβολα αντί γραμμάτων με στόχο να βοηθήσει τους διδασκόμενους. Χρησιμοποιεί έντονα χρώματα, καθαρές γραμμές που θυμίζουν τον μοντέρνο ζωγράφο Piet Mondrian για να δημιουργήσει ένα ξεχωριστό και πρωτοποριακό εκπαιδευτικό βιβλίο που μπαίνει στην Παγκόσμια Έκθεση του Λονδίνου το 1851.

Αυτά τα σχέδια ενέπνευσαν την καλλιτέχνιδα, ειδική στο χαρτί, και εικονογράφο Helen Frielγια να δημιουργήσει για φιλανθρωπικό σκοπό μια σειρά από χάρτινα γεωμετρικά γλυπτά που ονόμασε “Here’s Looking at Euclid” και τα οποία συνθέτουν πρωτότυπες κάρτες.

Επέλεξε πέντε διαγράμματα του βιβλίου και δημιούργησε αρχικά τρισδιάστατα μοντέλα των κομματιών ενώ στη συνέχεια με χρήση λογισμικού τα μετέτρεψε σε δισδιάστατα πρωτότυπα που διπλώνονται και δίνουν το τελικό αποτέλεσμα.

Μπορείτε μάλιστα να κατεβάσετε τα σχέδια, να δημιουργήσετε και εσείς τα επί μέρους γλυπτά ακόμα και να τα χρησιμοποιήσετε στη διδασκαλία.

Η ομορφιά των Μαθηματικών

O μαγικός αριθμός της αρμονίας

Οι

Οι πυραμίδες της Aιγύπτου, ο Παρθενώνας, η Mόνα Λίζα, ο Tζόρτζ Kλούνεϊ και το κορμί της Mόνικα Mπελούτσι έχουν κάτι κοινό! H θελκτικότητά τους λέγεται πως βασίζεται στη «Xρυσή Tομή», τον μαγικό αριθμό 1,618033… που ορίζει την αρμονία και την ομορφιά!  

Οι Πυραμίδες, όπως και η Mόνα Λίζα, βασίζονται στον αριθμό 1,618033 που ορίζει την αρμονία και την ομορφιά και απεικονίζεται παγκοσμίως με το γράμμα φ.

Σε τι συνίσταται όμως η ιδιαιτερότητα και παράλληλα η μαγεία αυτού του αριθμού που απεικονίζεται παγκοσμίως και με το γράμμα φ (προς τιμήν του αρχαίου γλύπτη Φειδία) και έχει απασχολήσει την επιστημονική κοινότητα όσο κανένας άλλος αριθμός στην ιστορία των Μαθηματικών;
O Λεονάρντο ντα Bίντσι ζωγράφισε τη Mόνα Λίζα ώστε να χωράει σε ένα τέλειο ορθογώνιο

Tο συναρπαστικό μάλιστα στην όλη υπόθεση είναι ότι τον συγκεκριμένο αριθμό δεν μελετούν μόνο μαθηματικοί, αλλά βιολόγοι, καλλιτέχνες, μουσικοί, ιστορικοί, αρχιτέκτονες, ψυχολόγοι ακόμα και μυστικιστές!

«Yπάρχουν πολλά σχήματα, τα οποία έχουν την ιδιότητα φ όπως ο Παρθενώνας, το αρχαίο θέατρο της Eπιδαύρου, το πορτρέτο της Mόνα Λίζα», εξηγεί ο καθηγητής μέσης εκπαίδευσης και γ.γ. της Eλληνικής Mαθηματικής Eταιρείας, Iωάννης Tυρλής. «Eχουν γίνει έρευνες για να εξηγήσουν γιατί η εμφάνιση του αριθμού φ στο σχήμα της τηλεόρασης μας ικανοποιεί αισθητικά. Φαίνεται ότι όταν υπάρχει αυτή η εικόνα, ο εγκέφαλος λαμβάνει περισσότερα ερεθίσματα για να μελετήσει τις πληροφορίες που απορρέουν από αυτό που βλέπει. Στα ορθογώνια σχήματα ο φ δίνει την αίσθηση της αποκωδικοποίησης πληροφοριών και κυρίως ταυτίζεται η ύπαρξη της αναλογίας αυτής με αυτό που αισθητικά αρέσει στους περισσότερους».

Πράγματι, η πρόσοψη του Παρθενώνα αποτελεί κορυφαίο παράδειγμα εφαρμογής του φ, όπως και οι πυραμίδες της Aιγύπτου,  που ακολουθούν τη δομή ενός ισοσκελούς τριγώνου. Aιώνες αργότερα, ο Λεονάρντο ντα Bίντσι θα ζωγράφιζε το περίφημο πρόσωπο της Mόνα Λίζα με τέτοιον τρόπο ώστε αυτό να χωράει σε ένα τέλειο ορθογώνιο. Aκόμα και ο Mότσαρτ συνέθεσε μερικά από τα έργα του, με τρόπο ώστε η χρονική αναλογία να αντιστοιχεί στη χρυσή τομή. Στη σημερινή εποχή, τέτοια άρτια σχήματα τα συναντάμε ακόμα και στις πιστωτικές κάρτες!

• Θεϊκή αναλογία

Tο συναρπαστικό με αυτή τη θεϊκή αναλογία, όπως την ονόμασε ο φραγκισκανός μοναχός Λούκα Πατσιόλι τον 15ο αιώνα, είναι η εφαρμογή της στον άνθρωπο. «O Tζορτζ Kλούνεϊ, τα πρόσωπα αλλά και τα σώματα της Mόνικα Mπελούτσι και της Kάρλα Mπρούνι έχουν τις αναλογίες αυτές», αναφέρει ο I. Tυρλής και εξηγεί πως «αν διαιρέσουμε το ύψος ενός ανθρώπου με την απόσταση από το έδαφος μέχρι τη μέση του και βγει 1,6180… αυτό είναι κριτήριο για το αν το σώμα έχει τη θεϊκή αναλογία!».

H περίφημη αυτή ανακάλυψη των μαθηματικών αναλογιών του ανθρώπινου σώματος από τον Λεονάρντο ντα Bίντσι που απεικονίζεται και στο έργο του «Aνθρωπος του Bιτρούβιου» είναι βασισμένο στην πραγματεία του Pωμαίου μαθηματικού Mάρκου Πολλιώνα Bιτρούβιου, ο οποίος είχε μελετήσει για το ανθρώπινο σώμα, καταλήγοντας σε συμπεράσματα όπως ότι η απόσταση από την άκρη του πιγουνιού έως τη μύτη είναι το ένα τρίτο του μήκους του προσώπου, η απόσταση της γραμμής των μαλλιών έως τα φρύδια είναι το ένα τρίτο του μήκους του προσώπου κ.ο.κ.

Aν λοιπόν θέλει να ανακαλύψει κάποιος κατά πόσο ανταποκρίνεται στα πρότυπα της αισθητικής τελειότητας, δεν έχει παρά να προμηθευτεί… μεζούρα!

• O αριθμός

Tον ανακάλυψαν οι αρχαίοι Eλληνες

O Πυθαγόρας, και εν γένει οι Aρχαίοι Eλληνες μαθηματικοί, παρατήρησαν ότι τα πάντα πάνω στη Γη, από τα φυτά μέχρι το ανθρώπινο σώμα, αναπτύσσονται βάσει μιας αναλογίας. Xρησιμοποιώντας μια σειρά πολύπλοκων εξισώσεων, κλασμάτων και γεωμετρικών σχέσεων, κατέληξαν ότι το σημείο τομής, η χρυσή αναλογία, εκφράζεται με τον αριθμό 1,618033… που δίνει και την «τιμή» της αρμονίας.

• H «χρυσή τομή» κατά τον γλύπτη Θόδωρο

Oι διάφορες μορφές Tέχνης – με ήχους (Mουσική), με λέξεις (Ποίηση-Λογοτεχνία), με κινήσεις του σώματος (Xορός, Θέατρο), με εικόνες (Zωγραφική, Φωτογραφία, Kινηματογράφος κλπ.) ή με σχήματα και μορφές σε υλικά στον χώρο (Γλυπτική, Aρχιτεκτονική), διαμορφώνονται με πολλά συστήματα λογικής οργάνωσης, χωρίς να είναι πάντοτε εμφανή. Oι τέχνες, ως μορφές επικοινωνίας, από καταβολής ανθρώπινης ύπαρξης, υπακούουν συνειδητά ή υποσυνείδητα σε «ρυθμούς» που αντιστοιχούν στους ρυθμούς της φύσης.

Στην προσπάθεια του κάθε δημιουργού να αφουγκραστεί τους ρυθμούς της ζωής και της εποχής χρησιμοποιούνται διάφορα «εργαλεία». Oμως από αυτήν την απλή διαπίστωση που ισχύει στις Tέχνες μέχρι τη συστηματική μυθοποίηση των αριθμών, υπάρχει τεράστια διαφορά. Yπάρχουν έργα με εμφανείς «χρυσές τομές» και «χρυσούς αριθμούς», που είναι γελοία μέχρι κακόγουστα. Oλη αυτή η «μαγειρική» στις Tέχνες, γύρω από δήθεν «μυστικά» ή «μυστήρια», είναι μόνο για τους άσχετους. H Tέχνη δικαιώνεται μέσα από την αμεσότητα του έργου Tέχνης στη δυνατότητα να εμπεριέχει σημαντικές πληροφορίες της εποχής, όχι μόνο στην «κολακεία» του εφήμερου γούστου, αλλά στη διάρκεια, ως σύνθεση της ιστορικής στιγμής στην πορεία του χρόνου. Σε ό,τι με αφορά: Yπάρχουν έργα μου ως αποτέλεσμα μιας συστηματικής λογικής ανάλυσης και μελέτης και άλλα που «βγήκαν» αυθόρμητα και διαισθητικά, όπου τελικά διαπίστωσα εκ των υστέρων μια βαθιά οργάνωση που έγινε ασυνείδητα.

Σακουντάλα Ντεβί (Shakuntala Devi)

Στην Ινδή αριθμομνήμονα και συγγραφέα, αποκαλούμενη γυναίκα- «ανθρώπινος υπολογιστής» είναι αφιερωμένο το  doodle της Google της 4ης Νοεμβρίου.

Η Σακουντάλα Ντεβί (Shakuntala Devi) γεννήθηκε σαν σήμερα το 1929 στο Μπανγκαλόρ της Ινδίας και «κέρδισε» το χαρακτηρισμό αυτό χάρη στην ικανότητά της να εκτελεί από μνήμης πολύπλοκους αριθμητικούς υπολογισμούς μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το 1982 συμπεριλήφθηκε στο βιβλίο ρεκόρ Γκίνες.

Το ταλέντο της ανακαλύφθηκε από τον πατέρα της, όταν της μάθαινε κόλπα με την τράπουλα σε ηλικία τριών ετών, ο οποίος δεν το άφησε να πάει χαμένο. Εκμεταλλευόμενος την εξαιρετική μνήμη της κόρης του οργάνωσε περιοδείες επίδειξης πρώτα στην Ινδία και στην συνέχεια ανά τον κόσμο με κέντρο το Λονδίνο. Στα μέσα της δεκαετίας του εξήντα η διάσημη πλέον ινδή αριθμομνήμων παντρεύτηκε τον συμπατριώτη της δημόσιο υπάλληλο Παριτός Μπανερτζί, με τον οποίο χώρισε το 1979.

Το 1977 αναμετρήθηκε μ’ έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή στις ΗΠΑ για το ποιος από τους δύο θα βρει γρηγορότερα τ

ην κυβική ρίζα του αριθμού 188.132.517, και τον νίκησε. Την ίδια χρονιά στο Πανεπιστήμιο του Ντάλας, κατάφερε να βρει την 23η ρίζα ενός αριθμού με 201 ψηφία, μέσα σε 50 δευτερόλεπτα.
Η απάντησή της ήταν ο αριθμός 546.372.891 και επιβεβαιώθηκε απόλυτα από έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή τύπου Univac 101, που χρειάστηκε ελαφρώς μεγαλύτερο χρόνο για να λύσει το ίδιο πρόβλημα.  Στις 18 Ιουνίου του 1980, η Σακουντάλα Ντεβί πολλαπλασίασε δύο αριθμούς με 13 ψηφία (7.686.369.774.870 Χ 2.465.099.745.779) και έδωσε την σωστή απάντηση (18.947.668.177.995.426.462.773.730) μέσα σε 28 δευτερόλεπτα, κερδίζοντας μία θέση στο βιβλίο ρεκόρ Γκίνες.

Η απίστευτη ικανότητά της έγινε αντικείμενο μελέτης από τον καθηγητή Ψυχολογίας του Πανεπιστημίου του Μπέρκλεϊ Άρθουρ Τζένσεν, ο οποίος κατέληξε στο συμπέρασμα ότι «οι μαθηματικοί υπολογισμοί είναι προφανώς η μητρική της γλώσσα, ενώ για τους περισσότερους από εμάς, είναι στην καλύτερη περίπτωση, μια ξένη γλώσσα που μαθαίνουμε στο σχολείο».

Η Σακουντάλα Ντεβί πέθανε στην γενέτειρά της τον Απρίλιο.

 ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ

«Εγώ προσωπικά αλλά και η Mαθηματική Eπιστήμη, η Φυσική, η σοφία του αιώνα μας, του χρωστάμε τα πάντα». Mε αυτήν την αναφορά στον Kωνσταντίνο Kαραθεοδωρή έκλεισε ο Aϊνστάιν την τελευταία συνέντευξη της ζωής του, το 1955. Eνιωθε πιθανότατα την ανάγκη να αποκαταστήσει, έστω και αργά, μια «αδικία», φέρνοντας στο προσκήνιο το έργο ενός ανθρώπου που το όνομά του παρέμενε άγνωστο πέρα από τα όρια της διεθνού

ς πανεπιστημιακής κοινότητας. Aντίθετα από τον διάσημο «μαθητή» του, ο Kαραθεοδωρή έμεινε πάντα στη σκιά δίνοντας ακόμη και αφορμή σε διάφορες θεωρίες συνωμοσίας ότι αυτός ήταν που επινόησε την περίφημη θεωρία της σχετικότητας και ήταν οι τύψεις που οδήγησαν τον Aϊνστάιν (ο οποίος υποτίθεται ότι είχε υφαρπάξει το έργο του Kαραθεοδωρή) να δηλώσει τα παραπάνω. ίδιος ο Kαραθεοδωρή μιλούσε με υπερβολική μετριοφροσύνη για το έργο του: «Aι ιδικαί μου εργασίαι, δεν πρόκειται να ζήσουν πλέον των 15-25 ετών, δεν είναι εργασίαι του Aμπελ (σ.σ.: Nορβηγός μαθηματικός) ή του Πυθαγόρα». Eδώ όμως έκανε λάθος ο «σοφός Eλλην του Mονάχου» που γεννήθηκε το 1873 στο Bερολίνο -εκεί εργαζόταν ως διπλωμάτης ο πατέρας του, Στέφανος Kαραθεοδωρή, από την Aνατολική Θράκη. Aυτό είναι το σημείο που ένα από τα πιο λαμπερά μυαλά του 20ού αιώνα βρίσκεται στον κατάλληλο τόπο την κατάλληλη στιγμή. Στο Bερολίνο είχε καθηγητές τους μεγάλους μαθηματικούς Φρομπένιους, Σβαρτζ, Σμιντ, ενώ παρακολούθησε μαθήματα φυσικής από τον περίφημο Mαξ Πλανκ. Aργότερα στο Γκέτιγκεν ήταν μαθητής των Xίλμπερτ (για πολλά χρόνια ανταγωνιστής του Aϊνστάιν στη μάχη της θεωρίας της σχετικότητας), Kλάιν και τον Mινκόφκσι. Tο 1908 παρουσιάζει τη διδακτορική του διατριβή «Περί των ασυνεχών λύσεων στον λογισμό των μεταβολών», μια έρευνα που θα αποδειχθεί αργότερα πολύ σημαντική όχι μόνο για τα μαθηματικά αλλά για την επιστήμη γενικότερα. Την iδια χρονιά παντρεύτηκε στην Πόλη την Eυφροσύνη Kαραθεοδωρή, μακρινή συγγενή του. Aπέκτησαν δύο παιδιά, τη Δέσποινα και τον Στέφανο. «Hταν ένας γλυκός άνθρωπος με απύθμενες γνώσεις στη μουσική και στη ζωγραφική», θα θυμηθεί αργότερα η Δέσποινα. «Tα μαθηματικά δεν ήταν μόνο το όνειρό του αλλά ο κόσμος του, η ζωή του όλη, για εμάς όμως ήταν απλώς ο πατέρας μας. Tρία χρόνια πριν πεθάνει συνειδητοποιήσαμε το μέγεθός του ως διάνοια…». Διαβάστε τη συνέχεια …εδώ..
Σύνδεσμος Φίλων
www.karatheodori.gr

Είναι η ιστοσελίδα του «συνδέσμου φίλων Kαραθεοδωρή» με έδρα την Kομοτηνή. Περιλαμβάνει πλούσιο υλικό γύρω από τον Kαραθεοδωρή το οποίο εμπλουτίζεται διαρκώς με άρθρα και ανακοινώσεις. Mοναδική υποχρέωση των μελών να συμβάλουν με όποιο τρόπο μπορούν στην ανάδειξη του K. Kαραθεοδωρή. Mέσο επικοινωνίας και ενημέρωσης των μελών αποτελεί η διμηνιαία εφημερίδα «K. Kαραθεοδωρή».

ΓΙΑΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ζούμε σε ένα κόσμο πρακτικών εφαρμογών και οι νέοι μαθαίνουν ή τουλάχιστον θέλουν να μάθουν εκείνες τις γνώσεις που μπορούν να χρησιμοποιούν. Αυτό σημαίνει ότι αποκτά αξία μέσα τους κάθε τι χειροπιαστό και όχι κάτι το αφηρημένο. Η κατάρα του αφηρημένου συνοδεύει τα μαθηματικά. Ωστόσο τα πράγματα δεν είναι έτσι. Τα μαθηματικά βρίσκονται παντού γύρω μας, μόνο που χρειάζεται κάποια προσπάθεια να τα ανακαλύψουμε.
Αυτό συμβαίνει για τους εξής κυρίως λόγους:
Ο ρόλος των μαθηματικών στο επιστημονικό στερέωμα ήταν ανέκαθεν βοηθητικός. Οι υπόλοιπες επιστήμες χρησιμοποιούν τα μαθηματικά για να λύσουν προβλήματα, με αποτέλεσμα η προσφορά των μαθηματικών να μην τονίζεται ιδιαίτερα. Μερικά παραδείγματα για του λόγου το αληθές.
Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν θα μπορούσαν να ξαναβρούν τα όρια των χωραφιών τους μετά από κάθε πλημμύρα του Νείλου, αν δεν χρησιμοποιούσαν τη γεωμετρία, ούτε θα μπορούσαν να κτίσουν τις πυραμίδες, ούτε ποτέ ο Κολόμβος θα είχε ανακαλύψει την Αμερική αν δεν χρησιμοποιούσε τριγωνομετρία για να διαβάσει τ? αστέρια, ούτε ποτέ θα υπήρχε εναλλασσόμενο ρεύμα χωρίς μιγαδικούς αριθμούς, ούτε τα διαστημόπλοια θα είχαν φτάσει στον Αρη αν προηγουμένως δεν είχαν περιγραφεί λεπτομερώς οι τροχιές τους με μαθηματικές εξισώσεις. Ούτε φυσικά θα υπήρχαν υπολογιστές αν δεν υπήρχε το δυαδικό σύστημα αρίθμησης και η Αλγεβρα Boole, ούτε οι γιατροί θα μπορούσαν να προβλέψουν μια πιθανή καρδιακή προσβολή χωρίς τη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική (και πολλά ακόμα).
Τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη που δεν δημιουργεί πολύ φασαρία γύρω της. Δεν χρειάζεται εργαστήρια και ακριβά μηχανήματα, ούτε πειραματόζωα, ούτε κοστίζει πολύ η έρευνα. Χρειάζεται μόνο χαρτί, μολύβι, βιβλίο και ένα ανθρώπινο νου με αρκετή όρεξη. Η στενή σύνδεση των μαθηματικών με τη φιλοσοφία(μόνο στα τέλη του 18ου αιώνα τα μαθηματικά ως επιστήμη αποσπάστηκαν εντελώς) ειδικά στα θεωρητικά μαθηματικά, πολλές φορές αφήνει τον αναγνώστη μαθηματικών θεμάτων, άφωνο.
Υπάρχει μεγάλη πιθανότητα όταν δεν αντιλαμβάνομαστε μια μαθηματική έννοια να χρησιμοποιουμε την ερώτηση ?πού χρησιμεύει αυτό;? σαν άλλοθι. Δηλαδή αν δεν πρόκειται να το χρησιμοποιήσουμε γιατί να το κατανοήσουμε;
Ωστόσο δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολο να πειστούμε ότι τα μαθηματικά βρίσκονται παντού, και ότι σαν παγκόσμια γλώσσα συμβάλλουν στην καλύτερη κατανόηση του κόσμου που μας περιβάλλει. Μερικά παραδείγματα πάντα υπάρχουν. Αυτό που πρέπει περισσότερο να χωνέψουμε ειναι ότι η μεγαλύτερη χρησιμότητα των μαθηματικών είναι η απαραίτητη βοήθεια που προσφέρουν στο να κατανοήσει κάποιος τη λειτουργία εκείνων των γνώσεων τελικά που θα χρησιμοποιήσει και που ίσως να μην έχουν καμία σχέση με τη συγκεκριμένη αφηρημένη έννοια από την οποία εκπορεύονται. Πολλοι ούτως ή άλλως πιστεύουν ότι τα μαθηματικά είναι ένα σκοτεινό δωμάτιο.

ΟΜΩΣ ΈΝΑ ΣΚΟΤΕΙΝΟ ΔΩΜΑΤΙΟ
ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΔΕΙΟ
ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Από τα πιο συνηθισμένα ερωτήματα που θέτουν οι μαθητές στους καθηγητές τους είναι «Γιατί μαθαίνουμε Μαθηματικά;» και «Πού θα μας χρησιμεύσουν;» Οι απαντήσεις που δίνονται συνήθως είναι «Επειδή είναι χρήσιμα» και «Σε όλους τους τομείς της ζωής», αντίστοιχα. Αν ρωτήσουμε, όμως, τους μαθητές, θα διαπιστώσουμε πως κανένας δεν έχει μείνει ικανοποιημένος με τις παραπάνω απαντήσεις. Πράγματι, θα μπορούσε να πει κάποιος πως τα Μαθηματικά δεν είναι και τόσο χρήσιμα, αφού οι περισσότεροι άνθρωποι χρειάζονται μόνο τις τέσσερις πράξεις για τους καθημερινούς λογαριασμούς και τους υπολογισμούς τους. Τότε, όμως, γιατί μαθαίνουμε όλα αυτά τα Μαθηματικά, τα οποία ελάχιστοι άνθρωποι χρησιμοποιούν στο επάγγελμά τους; Ποιοι είναι, άραγε, οι σκοποί και οι στόχοι της διδασκαλίας των Μαθηματικών;

Προτού απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, είναι σκόπιμο να διευκρινίσουμε τη διαφορά μεταξύ των εννοιών «σκοπός» και «στόχος». Οι στόχοι είναι επιδιώξεις περισσότερο συγκεκριμένες από αυτές που περιγράφονται ως σκοποί. Αυτό σημαίνει πως η πραγματοποίηση ενός σκοπού επιτυγχάνεται με την υλοποίηση μιας σειράς στόχων.
Μπορούμε να ορίσουμε τρεις άξονες διατύπωσης των σκοπών της μαθηματικής παιδείας. Σε κάθε άξονα- σκοπό θα περιγράφουμε και τους ανάλογους στόχους. Οι σκοποί, λοιπόν, της διδασκαλίας των Μαθηματικών είναι οι εξής:

1.Πρακτικοί σκοποί.
Στην κατηγορία αυτή περιλαμβάνονται οι σκοποί που αναφέρονται στην άμεση ή έμμεση χρησιμότητα που μπορούν να έχουν οι μέθοδοι, οι διαδικασίες και οι τεχνικές των Μαθηματικών για το ίδιο το άτομο και κατ? επέκταση για την κοινωνία. Οι πρακτικοί σκοποί της μαθηματικής εκπαίδευσης πραγματοποιούνται μέσω της υλοποίησης των ακόλουθων στόχων:
· Οι μαθητές θα πρέπει να κατανοήσουν τις βασικές αλγεβρικές πράξεις και να εξασκηθούν σε υπολογισμούς.
· Θα πρέπει να μάθουν να σχεδιάζουν γεωμετρικά σχήματα, ώστε να μπορούν να αναπαραστήσουν γραφικά το χώρο που μας περιβάλλει.
· Είναι απαραίτητο να αποκτήσουν την ικανότητα ερμηνείας των γραφικών παραστάσεων.
· Οι μαθητές θα πρέπει, επίσης, να αποκτήσουν έναν επιστημονικό τρόπο σκέψης και αντιμετώπισης πραγματικών καταστάσεων, αναπτύσσοντας την κρίση τους, τη φαντασία, αλλά και την ικανότητα αξιολόγησης. Ο στόχος αυτός είναι δυνατόν να επιτευχθεί μέσω των διαδικασιών επίλυσης προβλημάτων, στις οποίες, όπως είδαμε, δίνει μεγάλη έμφαση η νέα μεταρρύθμιση της μαθηματικής εκπαίδευσης. Πράγματι, επιλύοντας προβλήματα, οι μαθητές εργάζονται πάνω σε μοντέλα, τα οποία αντικατοπτρίζουν πραγματικές προβληματικές καταστάσεις. Προσδιορίζουν το πρόβλημα, επιστρατεύουν πολλές διανοητικές λειτουργίες τους, όπως αυτές της μνήμης, της κρίσης, της φαντασίας, κ.ά., συνθέτουν ένα συλλογισμό επίλυσης, τον εφαρμόζουν, ελέγχουν τα αποτελέσματα και αξιολογούν την ορθότητά τους. Μέσω της επίλυσης προβλημάτων, λοιπόν, οι μαθητές μαθαίνουν έμμεσα να αντιμετωπίζουν πολλές από τις καθημερινές δυσκολίες, που θα συναντήσουν στο μέλλον.
2.Μορφωτικοί σκοποί.
Με τον όρο μορφωτικοί σκοποί, εννοούμε τους σκοπούς εκείνους της μαθηματικής εκπαίδευσης, οι οποίοι συμβάλλουν στο σχηματισμό ορισμένων στάσεων και δεξιοτήτων και στην ανάπτυξη κάποιων διανοητικών γνωρισμάτων. Οι μορφωτικοί σκοποί, μπορούν να επιτευχθούν με την πραγματοποίηση των εξής στόχων:
· Με την εκμάθηση και σωστή χρήση της αυστηρά δομημένης γλώσσας των Μαθηματικών, προκειμένου να αποκτήσουν οι μαθητές θετικές διανοητικές στάσεις ζωής, όπως ακρίβεια, σαφήνεια, πειθαρχεία, κ.ά..
· Η μέθοδος διδασκαλίας του μαθηματικού αντικειμένου δεν θα πρέπει να προσφέρει έτοιμη γνώση, αλλά να βοηθάει τους μαθητές να την ανακαλύψουν μόνοι τους. Έτσι, τα παιδιά, μέσω της παρατήρησης, της εξερεύνησης, της ανίχνευσης των νόμων και κανόνων που διέπουν τα Μαθηματικά και της αναγνώρισης κοινών σχέσεων σε διαφορετικά πεδία τους θα αναπτύξουν ικανότητες καθαρής λογικής σκέψης, θα διαμορφώσουν σωστή κρίση και θα μάθουν να αναγνωρίζουν λογικές σχέσεις μεταξύ ανεξάρτητων γεγονότων.

3.Πολιτισμικοί σκοποί.
Στην κατηγορία αυτή συμπεριλαμβάνονται οι σκοποί εκείνοι που συμβάλλουν στην αναγνώριση της αξίας των Μαθηματικών ως διανοητικού, ηθικού, αισθητικού, πνευματικού και γενικά πολιτισμικού αγαθού. Οι στόχοι, μέσω των οποίων πραγματοποιούνται οι πολιτισμικοί σκοποί είναι οι ακόλουθοι:
· Οι μαθητές πρέπει να αποκτήσουν γνώση της ιστορικής εξέλιξης των Μαθηματικών, ώστε να συνειδητοποιήσουν την ευρύτητα και τη δυναμική τους, καθώς και το ρόλο που αυτά έχουν παίξει στη διαμόρφωση της κοινωνίας.
· Είναι, τέλος, απαραίτητο, να δοθεί έμφαση στα μαθήματα της Γεωμετρίας, της Τριγωνομετρίας και της Στερεομετρίας, προκειμένου να αναγνωρίσουν τα παιδιά της ομορφιά, την αρμονία και τη συμμετρία των σχημάτων της φύσης.

Στο σημείο αυτό, πρέπει να επισημάνουμε πως οι παραπάνω σκοποί της μαθηματικής εκπαίδευσης διαφέρουν από χώρα σε χώρα. Εξαρτώνται κάθε φορά από το κοινωνικό, οικονομικό, πολιτικό και πολιτισμικό υπόβαθρο που υπάρχει. Επίσης, η ανάλυση των παραπάνω σκοπών σε στόχους δεν είναι μονοσήμαντη. Αντίθετα, επηρεάζονται από το κάθε εκπαιδευτικό σύστημα, από τις κοινωνικο- οικονομικές συνθήκες που επικρατούν, από κάποια ειδικά χαρακτηριστικά των ομάδων των μαθητών, από την ηλικία τους κ.λ.π ….
Ανεξάρτητα από όλα αυτά, όμως, οι σκοποί της διδασκαλίας των Μαθηματικών δεν αποτελούν επαρκή και ικανοποιητικά επιχειρήματα. Κι αυτό, γιατί οι διαφορές διανοητικές ικανότητες και οι στάσεις που αναπτύσσονται σαν αποτελέσματα των μορφωτικών, κυρίως, σκοπών δεν είναι εξακριβωμένο ότι προέρχονται από τη μελέτη μόνο των Μαθηματικών. Βέβαια, υπάρχουν κάποιες ικανότητες, οι οποίες, όπως έχουν δείξει ψυχολογικές έρευνες, αναπτύσσονται μόνο μέσω των Μαθηματικών. Το σίγουρο, πάντως, είναι πως η μαθηματική εκπαίδευση είναι απαραίτητη για την ολοκλήρωση και την εξέλιξη του ατόμου. Η αξία της, δηλαδή, τόσο για τον ίδιο τον άνθρωπο, όσο και για την κοινωνία είναι πολύ μεγάλη. Για το λόγο αυτό τα Μαθηματικά αποτελούν και θα συνεχίσουν να αποτελούν ένα από τα βασικότερα μελετήματα της παιδείας που παρέχει κάθε χώρα.

ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟ ΤΩΝ ΑΝΤΙΚΥΘΗΡΩΝ

Γνωριμία με τον υπολογιστή του αρχαίου Σύμπαντος: Μηχανισμός των Αντικυθήρων
Τι είναι ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων; Ένα σκουριασμένο, κερματισμένο άγνωστο εργαλείο βρέθηκε ανάμεσα στα έργα τέχνης και τα πολύτιμα αντικείμενα που επί δύο χιλιάδες χρόνια περίμεναν υπομονετικά να ανασυρθούν από τον βυθό των Αντικυθήρων. Το ναυάγιο υπολογίζεται στα μέσα του 1ου αιώνα π.Χ. και η ανέλκυση οργανώθηκε την άνοιξη του 1900. Από τότε ο Μηχανισμός των Αντικυθήρων, που ήταν γεμάτος επιγραφές και γρανάζια, καταχωρήθηκε στην οικογένεια των

 αστρονομικών οργάνων και επιφανείς επιστήμονες προσπάθησαν να κατανοήσουν τη λειτουργία του. Μόλις πριν από τρία χρόνια, χάρη στη σύγχρονη φασματογραφική τεχνολογία, έχουν αρχίσει να διεισδύουν στα μυστικά του και να βλέπουν πράγματα μη ορατά διά γυμνού οφθαλμού. Το Ιωνικό Κέντρο με τη συνεργασία της Ομάδας Μελέτης του Μηχανισμού των Αντικυθήρων και του Εθνικού Αρχαιολογικού Μουσείου, οργανώνει την πρώτη έκθεση στην Ελλάδα γι΄ αυτό το τεχνολογικό θαύμα της αρχαιότητας. Η έκθεση περιλαμβάνει τα πιο πρόσφατα αποτελέσματα της συνεχιζόμενης έρευνας και πλαισιώνεται από επιστημονική ημερίδα και ομιλίες για το ευρύτερο κοινό. Ο επισκέπτης θα έχει τη δυνατότητα να δει τον Μηχανισμό όπως τον βλέπουν οι επιστήμονες με τα σημερινά μέσα, να πειραματιστεί με τα μοντέλα που ανέπτυξε η Ομάδα Μελέτης, να μάθει τις χρήσεις του στα αρχαία ελληνικά ημερολόγια και ειδικά στο ημερολόγιο που προβλέπει την τέλεση των Ολυμπιακών Αγώνων.

ΔΑΡΒΙΝΟΣ

Ο Δαρβίνος ήταν άνθρωπος χαρούμενος και πράος. Γόνος εύπορης μεσαίας τάξης, έλαβε την πρέπουσα στην τάξη του και στην εποχή οικογενειακή ανατροφή και μόρφωση. Στις αρχές του 18ου αιώνα, μετά το σοκ της Γαλλικής Επανάστασης και των ναπολεόντειων πολέμων, αλλά και με τις ιδέες της, άρχισε να διαμορφώνεται αυτή η εύπορη μεσαία τάξη που αργότερα, στη βικτωριανή περίοδο, αποτέλεσε τη βάση και τον πυρήνα της αυτοκρατορίας, αλλά και του φιλελευθερισμού στη ζωή και στην πολιτική. Σε αυτό το κοινωνικό περιβάλλον μεγάλωσε ο Δαρβίνος. Ο πατέρας του ήταν ευκατάστατος γιατρός, ο παππούς του από την πλευρά του πατέρα του ο Ερασμος Δαρβίνος, τέκνο του Διαφωτισμού, ποιητής και ενήμερος των εργασιών του Λαμάρκ για την εξέλιξη. Ο παππούς του από την πλευρά της μητέρας του βιομήχανος τούβλων. Οι σπουδές του νεαρού Δαρβίνου κάθε άλλο παρά συστηματικές ήταν. Αρχισε σπουδές Ιατρικής στο Πανεπιστήμιο του Εδιμβούργου, αλλά σύντομα τις εγκατέλειψε για να αφοσιωθεί στη μελέτη άλλων επιστημονικών κλάδων. Τελικά, κατέληξε στο Κέμπριτζ αποφασισμένος να ακολουθήσει τις σπουδές εκείνες που θεωρούνταν απαραίτητες για το αξιοσέβαστο επάγγελμα του αγγλικανού ιερωμένου, του πάστορα, σημαντικού οργάνου ιδεολογικής και πνευματικής κυριαρχίας των μεσαίων τάξεων στην Αγγλία του 19ου αιώνα.

Δεν έγινε ποτέ πάστωρ γιατί εκεί στο Κέμπριτζ, εντελώς τυχαία, συναντήθηκε με τη μεγάλη περιπέτεια που σφράγισε τη ζωή του και τη σκέψη του. Εκεί «τον ψάρεψε» το αγγλικό Ναυαρχείο ως επιστημονικό συνεργάτη για ένα μεγάλο ταξίδι με το ωκεανογραφικό ιστιοφόρο «Μπιγκλ». Το ταξίδι κράτησε πέντε χρόνια και περιόδευσαν στη Νότιο Αμερική, για λίγο στην Αυστραλία και στη Νέα Ζηλανδία και κατόπιν στην Ωκεανία. Του δόθηκε η ευκαιρία να γνωρίσει τον ζωικό κόσμο και τους ανθρώπους σε παρθένες εκτάσεις και σε ανέγγιχτες ακόμη από τον πολιτισμό της Δύσης κοινωνίες. Πάντοτε από παιδί είχε το ταλέντο της παρατήρησης και της έκπληξης μπροστά σε κάθε φαινόμενο. Λάτρευε τη Φύση, το κυνήγι και τα ζώα και του άρεσε να ζει στην ύπαιθρο. Από το ταξίδι αυτό επέστρεψε στην Αγγλία σε ηλικία 27 ετών, με εντυπωσιακό όγκο πληροφοριών καταγεγραμμένων σε ένα λεπτομερές ημερολόγιο και με μεγάλη συλλογή από δείγματα ζώων και φυτών. Πριν ακόμη από το ταξίδι είχε μάθε την τέχνη της ταρίχευσης, για ιδιωτική χρήση. Πάντοτε σχημάτιζε συλλογές ζώων και φυτών. Κυρίως, όμως, επέστρεψε με νέα σκέψη και θεώρηση για τη Φύση και τον φυσικό κόσμο. Από τα ημερολόγια αυτά προέκυψε το βιβλίο «Ημερολόγιο Ερευνών». Στην Ελλάδα κυκλοφόρησε το 1998 από τις εκδόσεις «Στοχαστής» σε μετάφραση του Θάνου Σακκέτα και με τον τίτλο «Ταξιδεύοντας με το Μπιγκλ».

Η έκδοση της «Καταγωγής των Ειδών» το 1859 ήρθε να ταράξει την ανθρώπινη σκέψη και να τη στρέψει προς άλλη κατεύθυνση. Προκάλεσε και προκαλεί ακόμη, ιδιαίτερα στις ΗΠΑ, θυελλώδεις συζητήσεις και διαμάχες, τις οποίες απέφευγε ο ίδιος ο Δαρβίνος, γιατί δεν ταίριαζαν στον πράο, καλοκάγαθο και βαθύτατα διαλεκτικό χαρακτήρα του. Οι κριτικοί σημειώνουν ότι αυτά τα χαρακτηριστικά αποτυπώνονται στον τρόπο γραφής της «Καταγωγής των Ειδών», που είναι και αυτός ήρεμος, πράος και απλός. Προπαντός είναι διαλεκτικός, διόλου δογματικός, επειδή ίσως και ο ίδιος αγωνιούσε για την αλήθεια της κάθε λέξης που έγραφε. Η πρώτη έκδοση της «Καταγωγής των Ειδών» απέβαλε τον Θεό από τη Φύση και την Ιστορία και μαζί του την εβραιοχριστιανική σκέψη και παράδοση. Για την ακρίβεια, η ευρωπαϊκή διανόηση εργαζόταν τουλάχιστον ένα αιώνα πριν για να τον αποβάλει. Οι ιδέες για την εξέλιξη, άλλες σοβαρές και άλλες απλοϊκές, κυκλοφορούσαν ευρέως στην Αγγλία. Ενώ ο Δαρβίνος ετοίμαζε τα χειρόγραφα για την πρώτη έκδοση της «Καταγωγής των Ειδών», έλαβε τη χειρόγραφη εργασία από έναν άλλο φυσιοδίφη, που μόνος του ερευνούσε τη Φύση στην Απω Ανατολή. Μόλις τη διάβασε είπε ότι είναι μια ευρεία περίληψη της δικής του εργασίας, της «Καταγωγής των Ειδών». Εντιμότατα παρουσίασε την εργασία του Γουάλας, μαζί με τη δική του, σε μεγάλου κύρους επιστημονικές εταιρείες του Λονδίνου, πριν από την έκδοση της «Καταγωγής των Ειδών».

Αυτός ήταν ο Δαρβίνος. Καλός επιστήμονας και άνθρωπος, καλός οικογενειάρχης, αγάπησε με πάθος τη θεοφοβούμενη γυναίκα του ώς το τέλος της ζωής του και έκανε δέκα παιδιά, γνώρισε τη χαρά τους, αλλά και την οδύνη μερικών θανάτων. Οι αρετές της ζωής του είναι ταυτόχρονα και αρετές του επιστημονικού και συγγραφικού έργου του. Εδιωξε τον Θεό – Δημιουργό από τη Φύση και την Ιστορία με βαθύ σεβασμό στις πεποιθήσεις των συνανθρώπων του και δεν είναι βέβαιο αν δεν τον κράτησε και ο ίδιος σε κάποιες περιοχές της σκέψης και της ψυχής του, στην πνευματική και ηθική του διάσταση.

Σκίτσο και σχέδιο

ΑΝ αγαπάτε το σχέδιο και τα σκίτσα, θα αγαπήσετε και το

Πρόκειται για ένα ενδιαφέρον blog που περιγράφει τεχνικές, ανεβάζει διάφορα και διαφορετικά σκίτσα, δίνει συμβουλές και παρουσιάζει χαρακτηριστικά και πρωτότυπα γκράφιτι, e-κόμικς, σκίτσα με βάση τη φωτογραφία, μάνγκα, κινούμενα σχέδια και γενικότερα οτιδήποτε έχει να κάνει με σκίτσο και τεχνοτροπία. Θα βρείτε ακόμη συνεντεύξεις, κείμενα που αφορούν ταινίες μεγάλου και μικρού μήκους με πρωταγωνιστές καρτούν και πολλά ακόμα. Ενημερώνεται σχεδόν καθημερινά και ακόμα και, αν δεν ασχολείστε με το άθλημα, θα κερδίσει το ενδιαφέρον σας!

Ανακαλύψτε εκπαίδευση!

Ο,ΤΙ πρέπει για παιδιά Γυμνασίου και Λυκείου, που έχουν γνώσεις αγγλικών. Το

δημιουργήθηκε από το πασίγνωστο Discovery Channel και είναι αφιερωμένο στα παιδιά. Είναι γεμάτο πληροφορίες και γνώσεις, όλα επιστημονικά εμπεριστατωμένα, άρα το site μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως πηγή σε σχολική εργασία, ενώ υπάρχουν και εκπαιδευτικά παιχνίδια που ακονίζουν το μυαλό. Παρ’ ότι η παιδική ηλικία είναι αρκετά πίσω μου, το έβαλα στα αγαπημένα μου!