ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ

Με ιδιαίτερη χαρά σας προσκαλούμε στην Ημερίδα των Συμβούλων Εκπαίδευσης Μαθηματικών της Αττικής

«Παιδαγωγικές και Τεχνολογικές Διαστάσεις στη Διδασκαλία των Μαθηματικών»

που θα πραγματοποιηθεί το Σάββατο 17/1/2026 , από τις 10:00 έως τις 15:00, στο Αμφιθέατρο του Δημαρχείου Περιστερίου.

Η ημερίδα συνδιοργανώνεται από τους Συμβούλους Εκπαίδευσης Μαθηματικών Αττικής:

Δ. Αργύρη (Σ.Ε. Α΄ Αθήνας), Κ. Γιατρά (Σ.Ε. Γ’ Αθήνας) Ε. Καλογερία (Σ.Ε. Δ΄ Αθήνας) Ι. Καραγιάννη (Σ.Ε. Α΄ Αθήνας και  Επόπτη Ποιότητας Κυκλάδων), Μ. Κοκκαλιάρη (Σ.Ε. Δ΄ Αθήνας),  Κ. Κορρέ (Σ.Ε. Ανατολικής Αττικής), Γ. Κόσυβα (Σ.Ε. Β΄ Αθήνας και  Επόπτη Ποιότητας Β΄ Αθήνας), Α. Κουλούρη (Σ.Ε. Α΄ Αθήνας), Α. Πανταζή (Σ.Ε. Ανατολικής Αττικής), Σ. Πατσιομίτου (Σ.Ε. Γ΄ Αθήνας), Ι. Σταμπόλα (Σ.Ε. Β΄ Αθήνας και Δυτικής Αττικής), Δ. Τζούμπα (Σ.Ε. Πειραιά), Β. Τσίτσο (Σ.Ε. Πειραιά) και τον κο Ζ. Λυγάτσικα, π. Σύμβουλο Εκπαίδευσης Μαθηματικών Α΄ Αθήνας. Η ημερίδα διοργανώνεται στο πλαίσιο των επιμορφωτικών τους δράσεων προς υποστήριξη και ενδυνάμωση των εκπαιδευτικών που διδάσκουν Μαθηματικά στις σχολικές μονάδες επιστημονικής τους ευθύνης.

Για την πρόσκληση της ημερίδας: 1η ΠΑΝΑΤΤΙΚΗ ΗΜΕΡΙΔΑ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -17-1-2026

Για την έγκριση από τον Περιφερειακό Επόπτη Ποιότητας της Εκπαίδευσης : ΕΓΚΡΙΣΗ ΠΔΕ 17-1-2026

Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σύμβουλος Εκπαίδευσης Μαθηματικών, Γ΄ Αθήνας

«Εισαγωγικά σχόλια»

Ολοκληρώθηκε με εξαιρετική επιτυχία η ημερίδα μας με θέμα «Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες», μια συνάντηση αφιερωμένη στην ιστορία, τη φιλοσοφία και τη σύγχρονη απεικόνιση της γεωμετρικής γνώσης. Στη συνάντηση αυτή συνεισφέραμε στο διάλογο γύρω από τις γεωμετρικές έννοιες που διαμόρφωσαν –και συνεχίζουν να διαμορφώνουν– τον τρόπο με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τη μαθηματική πραγματικότητα. Η σημερινή μας εκδήλωση επιδιωξε ακόμα, όχι μόνο να αναδείξει τον πλούτο της ευκλείδειας παράδοσης, αλλά και να φωτίσει τον τρόπο με τον οποίο η γεωμετρία εξελίσσεται, αποκτώντας νέες μορφές και νέες παιδαγωγικές και ερευνητικές προοπτικές. Σκοπός της συνάντησης ήταν να ενισχύσει τον διάλογο μεταξύ πανεπιστημιακής γνώσης και σχολικής πράξης, αναδεικνύοντας τη διαχρονική αξία της Γεωμετρίας και τη σημασία της στη διαμόρφωση της μαθηματικής και επιστημονικής σκέψης.Ελπίζω οι εισηγήσεις όλων να αποτελέσουν αφορμή για συζήτηση, στοχασμό και δημιουργικές αντιπαραθέσεις, όπως αρμόζει σε μια γεωμετρία που εξακολουθεί να εξελίσσεται και να εμπνέει.

Σε ότι αφορά την δική μου παρουσίαση έκανα μια σύντομη αναδρομή στη δική μου πορεία στα Στοιχεία του Ευκλείδη, όπως την αποτύπωσα μέσα από δυναμικές κατασκευές στο λογισμικό Geometer’s Sketchpad.Η αφετηρία αυτής της ενασχόλησης ήταν ένας προσωπικός προβληματισμός: πώς οι Ευκλείδειες Προτάσεις, όταν «ανοίγουν» μέσα από συνδεόμενες, οπτικές, ενεργές αναπαραστάσεις, μπορούν να αποκαλύψουν νέες δομές και αριθμητικές ακολουθίες που δεν είναι φανερές στο στατικό κείμενο.Μέσα από πολλαπλά εργαλεία δείχνω πώς αναδύεται η έννοια των εργαλειακών μονοπατιών. Εν συντομία, αναφέρθηκα στην πρόσφατη έρευνά μου σχετικά με το ανακουφιστικό τρίγωνο του θόλου της Κλυταιμνήστρας. Σε σχετικό άρθρο επιχειρώ να δείξω, με σταδιακή συλλογιστική και αξιοποιώντας το δισκo του Poincaré, ότι το συγκεκριμένο τρίγωνο μπορεί να ιδωθεί ως υπερβολικό τρίγωνο, προσφέροντας ένα ενδιαφέρον παράδειγμα για το πώς αρχιτεκτονικές δομές μπορούν να μελετηθούν με όρους μη ευκλείδειας γεωμετρίας. Εύχομαι οι εισηγήσεις αυτές να αποτελέσουν πηγή έμπνευσης και δημιουργικής σκέψης για όλους μας.

Patsiomitou, S. (2019). A Trajectory for the Teaching and Learning of the Didactics of Mathematics [using ICT]: Linking Visual Active Representations. Monograph. Published by Global Journal Incorporated. United States. (September 5, 2019) . ISBN: 978-1-7340132-0-7. http://doi.org/10.34257/SPatTrajICT

https://globaljournals.org/eBooks/A_Trajectory_for_the_Teaching_and_Learning_of_the_Didactics_of_Mathematics_using_ICT.pdf (256 σελίδες) (ανοικτής πρόσβασης στο διαδίκτυο)

Με ιδιαίτερη χαρά ανακοινώνω τη διοργάνωση επιστημονικής ημερίδας στο Αμφιθέατρο του Δημαρχείου Περιστερίου με θέμα:

«Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες: Χειρόγραφα και Ψηφιακά Δημιουργήματα»

Η ημερίδα συγκεντρώνει διακεκριμένους πανεπιστημιακούς διδάσκοντες και ερευνητές, οι οποίοι θα αναδείξουν πτυχές της εξέλιξης της γεωμετρίας, από την αρχαιότητα μέχρι τη σύγχρονη ψηφιακή εποχή. Η συμμετοχή σε αυτή την επιστημονική συνάντηση αποτελεί μια εξαιρετική ευκαιρία για εκπαιδευτικούς, φοιτητές και όσους ενδιαφέρονται για την ιστορία και τη διδακτική των μαθηματικών, καθώς προσφέρει πρόσβαση σε εξειδικευμένη γνώση, σε σπάνια ιστορικά δεδομένα και σε σύγχρονες ερευνητικές προσεγγίσεις. Παράλληλα, δημιουργεί ένα γόνιμο πεδίο διαλόγου γύρω από τη σχέση της παραδοσιακής και της ψηφιακής μαθηματικής παιδείας.

ην εκδήλωση θα τιμήσουν με τις εισηγήσεις τους:

• Χριστίνα Φίλη [τ. Καθηγήτρια της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών (ΣΕΜΦΕ) ΕΜΠ- Μέλος της Διεθνούς Ακαδημίας  της Ιστορίας των Επιστημών]
• Μιχάλης Σιάλαρος [Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Ιστορίας και Φιλοσοφίας της Επιστήμης,  Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών]
• Στέλιος Νεγρεπόντης [Ομότιμος Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών]

Επιπλέον, δύο υποψήφιοι διδάκτορες του κ. Σιάλαρου θα παρουσιάσουν εργασίες τους: οι κ.κ. Νίκος Μαράκας  και Ηλίας Μπάρμπας

Στο πλαίσιο της ημερίδας, θα παρουσιάσω εισήγηση με θέμα: «Ευκλείδεια Γεωμετρία και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες με χρήση δυναμικών περιβαλλόντων».

Στην έναρξη της ημερίδας θα απευθύνει χαιρετισμό η Διευθύντρια της Διεύθυνσης Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Γ΄ Αθήνας, κ. Μακρή Δήμητρα,  η οποία στηρίζει θερμά την προσπάθεια διάχυσης επιστημονικού λόγου και καινοτόμων διδακτικών πρακτικών στο σχολικό περιβάλλον.

Με αφορμή την επικείμενη ημερίδα με θέμα «Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες: χειρόγραφα και ψηφιακά δημιουργήματα», επέλεξα ως εικαστικό πλαίσιο το έργο Η Σχολή των Αθηνών του Ραφαήλ [1509-1511, https://en.wikipedia.org/wiki/The_School_of_Athens]. Το εμβληματικό αυτό έργο, που αποτυπώνει τον διάλογο λόγου, φιλοσοφίας και μαθηματικής σκέψης, αντανακλά με συμβολικό τρόπο το πνεύμα της εκδήλωσης: τη συνάντηση της κλασικής μαθηματικής παράδοσης με τη σύγχρονη ερευνητική και διδακτική προσέγγιση.

Μπορείτε να κατεβάσετε ην πρόσκληση και το πρόγραμμα της ημερίδας: ΠΕ03_ΕΠΙΜ. ΗΜΕΡΙΔΑ 6-12-2025 [Πατσιομίτου] updated

Προσκαλώ όλους τους ενδιαφερόμενους να παρακολουθήσουν την εκδήλωση, η οποία υπόσχεται να προσφέρει ουσιαστικό επιστημονικό προβληματισμό , συμβάλλοντας στη διεύρυνση της παιδαγωγικής και επιστημονικής μας οπτικής.

“Διδακτική αξιοποίηση ψηφιακών περιβαλλόντων για τα Μαθηματικά στο Γυμνάσιο-Λύκειο” ήταν το θέμα της επιμορφωτικής συνάντησης που διεξήχθη την Τετάρτη 12/11/2025, 16:00-19:00, μέσω της πλατφόρμας Webex . Στη σημερινή εποχή, όπου η τεχνολογία διαπερνά όλες τις πτυχές της εκπαίδευσης, ο ρόλος του εκπαιδευτικού μεταμορφώνεται.  Η σημερινή μας συνάντηση είχε στόχο να αναδείξει τρόπους με τους οποίους αυτά τα περιβάλλοντα μπορούν να αξιοποιηθούν παιδαγωγικά και δημιουργικά, όχι μόνο ως τεχνολογικά μέσα, αλλά ως ευκαιρίες για βαθύτερη κατανόηση και ενεργή συμμετοχή των μαθητών. Ήταν μεγάλη χαρά και τιμή η συμμετοχή τόσων εκπαιδευτικών και στελεχών εκπαίδευσης, που μοιράζονται το ίδιο ενδιαφέρον για τον εμπλουτισμό της μαθησιακής διαδικασίας με σύγχρονα ψηφιακά εργαλεία.

Τα βίντεο είναι screenrecording, μέρους της παρουσίασης που έκανα κατά τη διάρκεια της επιμορφωτικής συνάντησης που διεξήχθη την 12/11/2025 και ώρα 4-7μμ με θέμα ««Διδακτική αξιοποίηση ψηφιακών περιβαλλόντων για τα Μαθηματικά στο Γυμνάσιο-Λύκειο». Η εφαρμογή των fractal κατασκευών στην τάξη είναι  πολύ σημαντική. Στη διάρκεια της ομιλίας μου, παρουσίασα βιωματικά τα ακόλουθα:

• κατασκευή ισοπλεύρου τριγώνου και διασύνδεση της έννοιας με τα Στοιχεία του Ευκλείδη [Βιβλίο Ι, Πρόταση 1^η]
• διαμόρφωση των δύο πρώτων βημάτων του τριγώνου Sierpinski -κατασκευή custom tool επανάληψης της διαδικασίας κατασκευής τριγώνου Sierpinski
• κατασκευή ακολουθίας όρων με εφαρμογή επαναληπτικής διαδικασίας -σύνδεση με τις έννοιες γεωμετρική πρόοδος, ακολουθία όρων, όριο , απειροελάχιστα
• εφαρμογή της διαδικασίας στην τάξη

Διοργάνωση και συντονισμός: Δρ. Σταυρούλα Πατσιομίτου

Επιμορφωτικές συναντήσεις 15/10/2025 & 29/10/2025 

Ολοκληρώθηκε με εξαιρετική επιτυχία η διαδικτυακή επιμορφωτική συνάντηση για τα νέα Προγράμματα Σπουδών των Μαθηματικών μέσω Webex. Περισσότεροι από 1000 Μαθηματικοί από διάφορα μέρη της Ελλάδος παρακολούθησαν την επιμόρφωση που είχε κύριο στόχο την ανταλλαγή καλών πρακτικών και την αναβάθμιση της διδασκαλίας των Μαθηματικών με κύριο θέμα: «Οι βασικοί προσανατολισμοί και το περιεχόμενο των Νέων Π.Σ. των Μαθηματικών». Ευχαριστούμε θερμά όλους τους συμμετέχοντες /συμμετέχουσες Μαθηματικούς. Εγκάρδιες ευχαριστίες στους εισηγητές/-ήτρια της επιμορφωτικής συνάντησης: κ. Θεοδόσιο Ζαχαριάδη (Ομότιμο Καθηγητή του τμήματος Μαθηματικών του ΕΚΠΑ), κ. Δέσποινα Πόταρη (Καθηγήτρια του τμήματος Μαθηματικών του ΕΚΠΑ) και κ Χαράλαμπο Σακονίδη (Καθηγητή του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης του Δημοκρίτειου Πανεπιστημίου Θράκης). Θερμές ευχαριστίες στους συνδιοργανωτές της συνάντησης.

Ολοκληρώθηκε με εξαιρετική επιτυχία χθες 29/10/2025 και ώρα 4-6μμ το σεμινάριο «Η μελέτη μαθήματος (Lesson Study) ως μέσο επαγγελματικής ανάπτυξης των εκπαιδευτικών που διδάσκουν μαθηματικά» και κεντρικό ομιλητή τον κ. Γιώργο Ψυχάρη, Αναπληρωτή Καθηγητή του τμήματος Μαθηματικών του ΕΚΠΑ. Στη συνάντηση παρουσιάστηκε η Ερευνητική Μελέτη Μαθήματος (Lesson Study), δηλαδή η μεθοδολογία σχεδιασμού, υλοποίησης και αποτίμησης διδασκαλιών και συνδιδασκαλιών στα Μαθηματικά. Ακολούθησε παρουσίαση του Προγράμματος “Κοινότητα Μάθησης και Πρακτικής στα Μαθηματικά μέσω της Μελέτης Μαθήματος” από ομάδες εκπαιδευτικών που την έχουν εφαρμόσει στην πράξη. Το σεμινάριο συνδιοργανώθηκε από πολλούς Συμβούλους Εκπαίδευσης και εκπαιδευτικούς και το παρακολούθησαν περισσότεροι από 800 Μαθηματικοί από όλη την Ελλάδα. Τους ευχαριστούμε θερμά για το αμείωτο ενδιαφέρον . Εγκάρδιες ευχαριστίες στον κ. Γιώργο Ψυχάρη, στις ομάδες εκπαιδευτικών που παρουσίασαν τις διδασκαλίες τους και στους συνδιοργανωτές της επιμορφωτικής συνάντησης. Για τη μελέτη του θεωρητικού υλικού μπορείτε να κατεβάσετε το αρχείο PDF

Οι επιμορφωτικές εσπερίδες, της 15/10/2025 και 29/10/2025, εγκεκριμένες από τον Περιφερειακό Επόπτη Ποιότητας της Εκπαίδευσης,  διοργανώθηκαν από τους  Συμβούλους Εκπαίδευσης Μαθηματικών: Ν. Ανταμπούφη (Σ.Ε. Καβάλας & Έβρου, Επόπτη Ποιότητας Εκπ/σης Δ.Δ.Ε. Ξάνθης), Δ. Αργύρη (Α΄ Αθήνας), Κ. Γιατρά (Γ΄ Αθήνας), Ε. Καλογερία (Δ΄ Αθήνας) Δ. Καλυκάκη (Σ.Ε. Ηρακλείου και Επόπτη Ποιότητας Δ.Δ.Ε. Ηρακλείου), Γ. Καραβασίλη (Σερρών), Μ. Κοκκαλιάρη ((Δ΄ Αθήνας), Κ. Κορρέ (Ανατολικής Αττικής), Α. Κουλούρη (Α΄ Αθήνας), Α. Μπαλωμένου (Σ.Ε. Αχαΐας και Επόπτρια Ποιότητας Περιφερειακής Διεύθυνσης Εκπαίδευσης Δυτικής Ελλάδας), Ν. Ξαρχάκου (Κορινθίας & Αργολίδας), Φ. Οικονόμου (Ηλείας), Α. Πανταζή (Ανατολικής Αττικής), Σταυρούλα  Πατσιομίτου (Γ΄Αθήνας) Ι. Σταμπόλα (Δυτικής Αττικής), Β. Τσίτσο (Πειραιά), Δ. Τζούμπα (Πειραιά), Ν. Φωτιάδη (Ξάνθης)

και τους εκπαιδευτικούς κλ. ΠΕ03: Χ. Μάλλιαρη (Υποδιευθυντή Πρότυπου ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής), Μ. Σπάθη (Υποδιευθυντή Πρότυπου ΓΕΛ Αγίων Αναργύρων), Κ. Στουραΐτη (4ο ΓΕΛ Γαλατσίου, πρώην Σύμβουλο Α΄ ΙΕΠ) και Ν. Τάσο (Διευθυντή 2ου ΓΕΛ Πειραιά, πρώην Σύμβουλο Β΄ ΙΕΠ).

Η ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΗΣ κ. ΠΟΤΑΡΗ ΔΕΣΠΟΙΝΑΣ

ομιλία ΠΣ (Δέσποινα Ποταρη)_15_10_25

Ολοκληρώθηκε με εξαιρετική επιτυχία η ημερίδα μας με θέμα: «Γέφυρες Μαθηματικών με την Τέχνη, την Τεχνολογία και την Τεχνητή Νοημοσύνη: Προκλήσεις και Καινοτομίες στο Γυμνάσιο και το Λύκειο» που διεξήχθη χθες 3/9/2025 στο Καλλιτεχνικό Γυμνάσιο Περιστερίου με ΛΤ, με  έμφαση στη διεπιστημονική διάσταση της μάθησης. Ευχαριστώ πολύ την κ. Δήμητρα Μακρή, Διευθύντρια Β/θμιας Εκπαίδευσης Γ΄Αθήνας, για την τιμή και χαρά να προλογίσει την ημερίδα μας, όπως και την κ. Τσαρούχη που την αντιπροσώπευσε. Εκφράζω τις θερμές μου ευχαριστίες προς τον Διευθυντή του 4ου Ε.Κ. κο Κωνσταντίνο Τριανταφύλλου, τον Διευθυντή του 1ου ΕΠΑΛ Περιστερίου κο Αναστάσιο Δροσάτο και την νέα Διευθύντρια του Καλλιτεχνικού Γυμνασίου κα Ευφροσύνη Μπαλιάμη, για την εξαιρετικά φιλόξενη υποδοχή και τη θερμή φιλοξενία στον χώρο του σχολείου τους, καθώς και για την τιμή να προλογίσουν την εκδήλωση, εμπλουτίζοντας την ημερίδα με τις σκέψεις και τον παιδαγωγικό τους προβληματισμό. Θα ήταν σημαντική παράλειψη, αν δεν ευχαριστούσα από καρδιάς τον κ. Μαργαρίτη, καθηγητή στο 4 Ε.Κ. Περιστερίου, ο οποίος φρόντισε για την άψογη λειτουργία των οπτικοακουστικών μέσων στον χώρο. Στην ημερίδα συμμετείχαν με εξαιρετικές διεπιστημονικές δράσεις πολλά σχολεία Παιδαγωγικής μου ευθύνης. Θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες προς τους εξαιρετικούς εισηγητές και εισηγήτριες της ημερίδας, όπως αναφέρεται στο πρόγραμμα. Οι εισηγήσεις τους ανέδειξαν τη δύναμη της συνεργασίας και της ανταλλαγής ιδεών, αλλά και το σπουδαίο έργο που επιτελείται καθημερινά στις σχολικές αίθουσες. Θερμά συγχαρητήρια!

Η πρόσκληση και το πρόγραμμα της ημερίδας

……………………………………………………………………………………

«Ψηφιδωτό και συμμετρία: Όταν η Τέχνη συναντά την Γεωμετρία» 

http://linoit.com/users//olgakostiri/canvases/ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΨΗΦΙΔΩΤΟ

……………………………………………………………………………………

Δώρα Καραγκούνη¹, Γεωργία Κολλινιάτη², Δημήτριος Αναστασίου³

¹Εκπαιδευτικός κλ. ΠΕ08,² Εκπαιδευτικός κλ. ΠΕ03 , ³Εκπαιδευτικός κλ. ΠΕ04,

^{1, 3}Καλλιτεχνικό Γυμνάσιο Περιστερίου, ²Ωνάσειο Λύκειο

 «Το Μαθηματικό παιχνίδι της Τέχνης: ένα σκάκι εμπνευσμένο από τις tessellations του Escher»

……………………………………………………………………………………

Κωνσταντίνα Καττή¹, Ιωάννης Βέλης²

¹Εκπαιδευτικός κλ. ΠΕ04, ²Εκπαιδευτικός κλ. ΠΕ03

Ιδιωτικό Γυμνάσιο ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ

 «Μαθηματικά που ζωντανεύουν: Στατιστική και Ομοιόσταση»

Περίληψη εισήγησης  κ. Καττή & κ. Βέλη:

Η στατιστική συνδέεται με τη βιολογία, κάνοντας τα δεδομένα ζωντανά και ουσιαστικά. Οι μαθητές διερευνούν την ομοιόσταση μέσα από πειράματα και ανάλυση πραγματικών μετρήσεων. Η χρήση ΤΠΕ και προσομοιώσεων μετατρέπει τη μάθηση σε ενεργή και βιωματική εμπειρία. Η συνεργατική προσέγγιση καλλιεργεί επιστημονική σκέψη και κριτική ανάλυση.
Το σενάριο ανταποκρίνεται στις αρχές του ΑΠΣ, προάγοντας δεξιότητες του 21ου αιώνα.

……………………………………………………………………………………

Ιωάννα Λέκκα

Εκπαιδευτικός κλ. ΠΕ03, 15^ο Γυμνάσιο Περιστερίου

 « Level up … στα Μαθηματικά: προκλήσεις & δυσκολίες στη μετάβαση

από το Δημοτικό στο Γυμνάσιο »

……………………………………………………………………………………

Βιωματική μάθηση 

Η συμμετοχή των μαθητών σε ερευνητικές διαδικασίες, και προσομοιώσεις, άπτεται των αρχών της βιωματικής μάθησης.  Ενδεικτικά αναφέρεται η μέθοδος project, η οποία θεωρείται ότι συνδέει το βιωματικό χαρακτήρα της μάθησης με την «παιδοκεντρικότητα, την αυτενέργεια, την εποπτεία, την εργασία κατά ομάδες, τη σύνδεση του σχολείου με τη ζωή, τη διαθεματικότητα, την καλλιέργεια διαπροσωπικών σχέσεων δασκάλου-μαθητών και μαθητών μεταξύ τους» (Κόπτσης, 2009). Η θεωρία βιωματικής μάθησης (Experiential Learning: Experience as the Source of Learning and Development) αναπτύχθηκε από τον Kolb (1984) και επισημαίνει μεταξύ άλλων, τα ακόλουθα:

• “Η μάθηση είναι μια διαδικασία και όχι ένα αποτέλεσμα. Για να βελτιώσουμε τη μάθηση στην εκπαίδευση, πρωταρχικός στόχος είναι να εμπλέξουμε τα παιδιά σε μια διαδικασία που ενδυναμώνει τη μάθηση και περιλαμβάνει ανατροφοδότηση και «συνεχή ανακατασκευή της εμπειρίας» (Dewey 1897, p.79)·
• Η μάθηση διευκολύνεται από μια διαδικασία […] ώστε να ενσωματωθούν νέες, αποσαφηνισμένες ιδέες·
• Η μάθηση οδηγεί στην υπέρβαση των [γνωστικών] συγκρούσεων […] κινούμενη μεταξύ […] αναστοχασμού και δράσης, συναισθημάτων και σκέψης·
• Η μάθηση είναι μια ολιστική διαδικασία προσαρμογής στον κόσμο. Δεν είναι μόνο το αποτέλεσμα της γνώσης, αλλά περιλαμβάνει τη συνολική λειτουργία του ατόμου αναφορικά με τη σκέψη, την αντίληψη, τη ενσυναίσθηση και τη συμπεριφορά·
• Η μάθηση προκύπτει με συνεργατικές συναλλαγές μεταξύ ατόμου και περιβάλλοντος. Κατά τον Piaget η μάθηση προκύπτει μέσω της αφομοίωσης και προσαρμογής της νέας γνώσης στις ήδη υπάρχουσες·
• Η μάθηση είναι μια διαδικασία δημιουργίας της γνώσης. Το μοντέλο βασίζεται στην κονστρουκτιβιστική θεωρία μάθησης, όπου η κοινωνική γνώση δημιουργείται και αναδημιουργείται στην προσωπική γνώση του μαθητή. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τη μετάδοση γνώσης (transmission model)” (Kolb et al., 2005) (ιστοσελίδα [2])

Σύμφωνα με τους Kolb et al. (2005, 2009) τα μαθησιακά στάδια από τα οποία διέρχεται ένα άτομο, κατά τη διάρκεια της διαδικασίας μάθησης είναι τέσσερα:

• το στάδιο της συγκεκριμένης εμπειρίας (concrete experience) στο οποίο ο μαθητής αποκτά την αίσθηση του γεγονότος∙
• το στάδιο αναστοχασμού (reflective observation), όπου ο μαθητής αναστοχάζεται και προσπαθεί να εξηγήσει με λόγια, διαμορφώνοντας κατανόηση για το τι συμβαίνει∙
• το στάδιο αφαιρετικής εννοιολόγησης (abstract conceptualization) ή διαμόρφωσης αφηρημένων εννοιών και γενικεύσεων, όπου ο μαθητής σκέφτεται το γεγονός και κατασκευάζει ένα νοητικό μοντέλο∙
• το στάδιο της ενεργούς συμμετοχής και πειραματισμού (active experimentation), όπου ο μαθητής αναλαμβάνει δράση.

Αναφορικά με τη «δυναμική της ομάδας» επισημαίνεται από τους Kolb et al. (2005, 2009), ότι παίζει σημαντικό ρόλο η κοινωνική διαμεσολάβηση στην κατάκτηση γνώσεων των παιδιών. Οι αφηρημένες έννοιες και η διαμόρφωση γενικεύσεων ενεργοποιεί τους φλοιούς του εγκεφάλου (Zull, 2002, ό.α.  στο Kolb et al., 2005). […].

……………………………………………………………………………………………………………..

Αναφορά στη μονογραφία

Πατσιομίτου, Σ. (2020b). Διδακτική, Διδασκαλία και Αξιολόγηση των Μαθηματικών: Μαθησιακά μονοπάτια και Πρόγραμμα Σπουδών. Μονογραφία. Ανατολικός. ISBN: 978-618-5136-49-9. https://www.academia.edu/43702210/

Διεξήχθη στις 26/6/2025 με εξαιρετική επιτυχία στην Αίθουσα Παιδαγωγικών Συνεδριάσεων της ΔΔΕ Γ΄ Αθήνας η ημερίδα μας με θέμα: «Γεωμετρία: Διδακτική και Διδασκαλία στο Επίπεδο και στο Χώρο». Με μεγάλη συγκίνηση και βαθύ σεβασμό υποδέχθηκα έναν Πανεπιστημιακό Δάσκαλο, τον κο Παναγιώτη Σπύρου (π. Αναπληρωτή Καθηγητή του Μαθηματικού Τμήματος, ΕΚΠΑ), Δάσκαλο και των δικών μου Μεταπτυχιακών χρόνων στο ΕΚΠΑ, που μας οδήγησε μέσα από την διάλεξή του να συνδέσουμε τη Γεωμετρία με τη Φιλοσοφία, την Ιστορία, την Ανθρωπολογία και το πολιτισμικό γίγνεσθαι. Ευχαριστώ θερμά τους προσκεκλημένους ομιλητές και ομιλήτριες κ. Κατσά Μαρία (Διευθύντρια 16ου Γυμνασίου Περιστερίου), κ. Παπαδοπούλου Ευτυχία (Διευθύντρια 6ου Γυμνασίου Περιστερίου), κ. Ρέγκλη Δημήτριο (Διευθυντή 2ου ΓΕΛ Αγίων Αναργύρων), κ. Σπυροπούλου Ιωάννα (Διευθύντρια 3ου Γυμνασίου Αγίων Αναργύρων), κ. Τζώρτζου Βασιλική (Διευθύντρια 4ου Γυμνασίου Πετρούπολης) και κ. Χασάπη Σωτήριο (Διευθυντή Προτύπου ΓΕΛ Αγίων Αναργύρων) – φίλους και εκλεκτούς συνεργάτες, που αποδέχτηκαν την πρόσκλησή μου και μοιράστηκαν μαζί μας πολύτιμες σκέψεις, ιδέες και εμπειρίες σε εξαιρετικές εισηγήσεις, όλες τους πηγή έμπνευσης για μελλοντικές δράσεις. Ευχαριστώ από καρδιάς τους/τις αγαπημένους/ες συναδέλφους, Καθηγητές Μαθηματικών των σχολείων επιστημονικής ευθύνης μου στο Περιστέρι, Πετρούπολη και Αγίους Αναργύρους, που παρά τον καύσωνα, έμειναν μέχρι τέλους, παρακολουθώντας όλες τις ομιλίες με αμείωτο ενδιαφέρον. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία δεν είναι απλώς ένα μαθηματικό οικοδόμημα, αλλά ένας τρόπος σκέψης, ένα παράδειγμα επιστημονικής και πολιτισμικής συμπεριφοράς που διαμόρφωσε τη Δύση – και που σήμερα καλούμαστε να ξαναπιάσουμε το νήμα της, με επίγνωση του παρόντος και των ραγδαίων αλλαγών που φέρνουν η τεχνητή νοημοσύνη και οι νέες τεχνολογίες στην εκπαιδευτική διαδικασία. Καλό καλοκαίρι σε όλους και όλες! Ραντεβού το Σεπτέμβριο με νέες ιδέες και δράσεις!

και η πρόσκληση ππυ εστάλη στα σχολεία ΠΕ03_ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΗ ΗΜΕΡΙΔΑ_26-6-2025

Η επιμορφωτική ημερίδα με θέμα: «Γεωμετρία: Διδακτική και Διδασκαλία στο Επίπεδο και στο Χώρο» είχε ως στόχο να εμβαθύνουμε στη διδασκαλία της Γεωμετρίας, αλλά και στη Διδακτική της Γεωμετρίας μέσα από διαφορετικές θεωρίες (ενδεικτικά ανέφερα των van Hiele, Duval, Tall, Presmeg, Peirce). Αποτελεί θεμελιώδης κλάδος των Μαθηματικών για την κατανόηση του χώρου και των σχημάτων γύρω μας. Επικεντρώθηκα στην ομιλία μου στη διδακτική προσέγγιση με χρήση διαφορετικών εργαλείων ψηφιακών, δυναμικών, ΑΙ ώστε να αξιοποιηθούν για την κατανόηση σχημάτων και των υποσχημάτων στα σχήματα, τόσο στο επίπεδο όσο και στο χώρο. Κύριος στόχος να εξερευνήσουμε και να ανταλλάξουμε πρακτικές, εργαλεία και εμπειρίες που θα καταστήσουν τη Γεωμετρία πιο προσιτή, ενδιαφέρουσα και βιωματική για τους μαθητές μας. Με τη συμμετοχή όλων και την ενεργή συνεργασία μας, πιστεύω ότι θα καταφέρουμε να δημιουργήσουμε ένα γόνιμο πεδίο συζήτησης, καινοτομίας και κοινής δράσης, που θα υποστηρίξει το έργο μας σε ότι αφορά τη διδασκαλία στην τάξη και θα συμβάλει στην αναβάθμιση της μαθησιακής εμπειρίας.

Πειραματικά Μαθηματικά και Fractals

(απόσπασμα του άρθρου Μοντελοποιήσεις fractals σε περιβάλλον δυναμικού χειρισμού μαθηματικών αντικειμένων: κατανόηση των εννοιών ακολουθία και όριο
που περιέχεται στη μονογραφία μου ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ: ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ)

“Γκρίζα αγαπητέ μου φίλε είναι κάθε θεωρία, και πράσινο της ζωής το χρυσό δέντρο” («Grau, teuer Freund, ist alle Theorie und grün des Lebens goldner Baum») «Faust»,Goethe (1749-1832)

Ερωτήματα που αφορούν το ρόλο των εικόνων στην οπτικοποίηση των φαινομένων, αλλά και την κατανόηση των πειραματικών διαδικασιών έχουν διερευνηθεί από πολλούς ερευνητές, εξετάζοντας τα από διαφορετική οπτική γωνία: ψυχολογική, κοινωνικοπολιτισμική, σε σχέση με θεωρίες μάθησης κ.λπ. Ο Mandelbrot (1991) στην εισαγωγή του άρθρου του «Fractals and the Rebirth of Experimental Mathematics», αναφέρεται στη «δύναμη» που έχουν οι εικόνες για την ανάπτυξη αφαιρετικών διαδικασιών σκέψης:

«Θα ξεκινήσουμε με την παρατήρηση ότι τα πειραματικά μαθηματικά δεν συνεπάγονται την κατάργηση των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Τα εφαρμοσμένα μαθηματικά έχουν ήδη διαχωριστεί από τις επιστήμες και ως εκ τούτου από το πείραμα. […]  τα πειραματικά μαθηματικά τοποθετούν το πείραμα στον πυρήνα των μαθηματικών […] Πολλοί εξαιρετικοί μαθηματικοί επιμένουν να ξεκινούν με την απόδειξη. […] Κάτι που απεύχομαι είναι η αντικατάσταση της απόδειξης με απλές εικόνες. […] Αυτές οι εικόνες, ήδη έχουν καταδείξει εκπληκτική δύναμη να βοηθήσουν τα πρωταρχικά στάδια τόσο της μαθηματικής απόδειξης, όσο και της φυσικής επιστήμης. […] οι πειραματικοί και θεωρητικοί φυσικοί, σπανίως ζουν σε τέλεια αρμονία, αλλά γνωρίζουν ότι συνυπάρχουν, μόνον όταν ο ένας ακούει τον άλλον ή με άλλα λόγια όταν αλληλεπιδρούν. Στα μαθηματικά η κατάσταση είναι πολύ διαφορετική: πειραματικά και αυστηρά μαθηματικά βιώνουν μία μακροχρόνια ιστορία σύγκρουσης, όπως όμορφα εκφράζεται στις ακόλουθες γραμμές από τον ποιητή: “Γκρίζα αγαπητέ μου φίλε είναι κάθε θεωρία, και πράσινο της ζωής το χρυσό δέντρο” («Grau, teuer Freund, ist alle Theorie und grün des Lebens goldner Baum»)

Με αυτά τα λόγια, ο Μεφιστοφελής, φορώντας την τήβεννο του καθηγητή Faust [«Faust»,Goethe (1749-1832)], περιγράφει τα διάφορα ακαδημαϊκά προγράμματα, σε διερχόμενο φοιτητή [απόσπασμα από την εισαγωγή του άρθρου «Fractals and the Rebirth of Experimental Mathematics» (Mandelbrot, 1991)].

Η θεωρία των μαθηματικών και οι φορμαλιστικές διαδικασίες που χρησιμοποιούνται για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, καθώς και οι αφαιρετικές διαδικασίες σκέψης που απαιτούνται για τη διερεύνηση σύνθετων αποδεικτικών διαδικασιών έχουν αναλυθεί από πολλούς ερευνητές. Ερευνητές ακόμα, έχουν προσπαθήσει να απαντήσουν σε κύρια ερωτήματα που τίθενται και τα οποία απασχολούν κάθε έναν που εμπλέκεται στη μαθησιακή και διδακτική διαδικασία: (α) κατά πόσο οι μαθητές ανταποκρίνονται στην εισαγωγή μαθηματικών εννοιών, μέσω φορμαλιστικών διαδικασιών και (β) αν η διαπίστωση της ύπαρξης διδακτικών εμποδίων στη χρήση μοντέλων παραδοσιακής διδασκαλίας, μας οδηγεί στην ανεύρεση μεθόδων με σκοπό την αναίρεση τους. Αν θεωρήσουμε δεδομένο, ότι η μελλοντική πρακτική του σχολείου θα περιλαμβάνει πειραματικές εφαρμογές των μαθηματικών σε υπολογιστές, γίνεται όλο και περισσότερο αναγκαίο να προσδιορίσουμε, πώς και κατά πόσο αυτές οι εφαρμογές πρόκειται να επηρεάσουν την εκπαίδευση και τη διδασκαλία των μαθηματικών του μέλλοντος. Ποιες μεθόδους επομένως, μπορούμε να εφαρμόσουμε που θα οδηγήσουν τα παιδιά να ανακαλύψουν τα μαθηματικά, να τα επανεφεύρουν, να τα «ζωντανέψουν»;

Η εξέλιξη των τεχνολογιών έχει υποκινήσει μία πληθώρα ερευνητικών μελετών που προσπάθησαν να δώσουν απαντήσεις σε ερωτήσεις σχετικές με την αλληλεπίδραση του χρήστη με τον υπολογιστή, τις συνέπειες αυτής της αλληλεπίδρασης, πώς διαμορφώνεται η γνωστική ανάπτυξη η σχετική με τη μαθηματική εκπαίδευση, πώς λειτουργούν γνωστικά τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά γνωρίσματα του περιβάλλοντος των υπολογιστών και πώς συσχετίζονται με τη σχολική πρακτική. Είναι απαραίτητο να απαντηθούν αυτές οι ερωτήσεις, προκειμένου να διαμορφώσουμε τα κατάλληλα μαθησιακά περιβάλλοντα και τις καταστάσεις που «εκμεταλλεύονται» αυτά τα περιβάλλοντα (Kaput, 1991, p. 55). Σύμφωνα με τον Goldenberg (1999), κάθε δραστηριότητα θα πρέπει να βασίζεται στη γεωμετρία. Έχοντας επιλέξει τη γεωμετρία ως «βατήρα» για το πρόγραμμα σπουδών μας, και ως στόχο, τη σύνδεσής της με τα υπόλοιπα πεδία των μαθηματικών, είναι φυσικό να αναζητήσουμε και να επιλέξουμε «συντάκτες ιδεών» που να υποστηρίξουν αυτές τις συνδέσεις. Εργαλεία, όπως το Geometer’s Sketchpad (Jackiw, 2001) ή το Cabri (Laborde, Baulac, & Bellemain, 1988) […], αποτελούν μια εξαιρετική γέφυρα, μεταξύ της γεωμετρίας και της ανάλυσης.

Γεωμετρία των Fractals 

Η Γεωμετρία ασχολείται με τη μελέτη των σχημάτων στο επίπεδο και το χώρο. Τα γεωμετρικά σχήματα κατασκευάζονται με γραμμές –ευθείες και καμπύλες– και ως εκ τούτου δεν έχουν γεωμετρικό νόημα φυσικά φαινόμενα ή διαμορφώσεις, όπως οι διακλαδώσεις του κεραυνού ή των ακτογραμμών. Χαρακτηριστικά, γράφει ο Benoît Mandelbrot (1983) “τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτές δεν είναι κύκλοι, και ο φλοιός του δέντρου δεν είναι ομαλός, ούτε η αστραπή ταξιδεύει σε μια ευθεία γραμμή”. Αν θέλουμε να μελετήσουμε τον περιβάλλοντα χώρο θα πρέπει να βρούμε διαδικασίες να προσεγγίσουμε όλα αυτά τα φυσικά φαινόμενα.

Λέξη κλειδί για την κατανόηση των φαινομένων που παρατηρούνται στον κόσμο που μας περιβάλλει (ή που υπάρχει στο εσωτερικό κάθε έμβιου όντος, π.χ. του πνεύμονα, ή των αιμοφόρων αγγείων), είναι το «άπειρο». Η συνειδητοποίηση της μεγάλης σημασίας της γεωμετρίας των fractals και των εφαρμογών της ανήκει στον B. Mandelbrot (1924-2010). Ο B. Mandelbrot με τη συγγραφή των βιβλίων του Fractals: Forms, Chance and Dimension (Φράκταλ: Μορφές, τυχαιότητα, και διάσταση) το 1975 και Fractal Geometry of Nature (Η fractal γεωμετρία της φύσης) το 1983, αποκάλυψε την ομορφιά και χρησιμότητα των fractals, ξεκινώντας μια επανάσταση στο χώρο όλων των επιστημών που συνεχίζεται μέχρι σήμερα. Ο Mandelbrot εισήγαγε τη λέξη Fractal το 1975. Η ετυμολογία της λέξης fractal προέρχεται από την λατινική λέξη frangere ή το λατινικό fractus (που σημαίνει σπάζω, θρυμματίζω, δημιουργώ ακανόνιστα κομμάτια) και όχι από τη λέξη κλασματική (fractional), όπως θεωρείται συνήθως. Ο όρος «μορφοκλασματική καμπύλη» είναι η απόδοση του όρου fractal στην ελληνική γλώσσα από τους Καθηγητές Στ. Πνευματικό και Ι. Νίκολη, ενώ ο Ακαδημαϊκός Νικόλαος Αρτεμιάδης, προτείνει τον όρο “Θρύμμα”. Ο όρος αυτός εκφράζει την «πολυπλοκότητα» και το «αυτοόμοιο» των αντικειμένων της φύσης. Με την έννοια της πολυπλοκότητας εννοούμε «Όλα αυτά που χαρακτηρίζουν ένα σύστημα το οποίο αν και συχνά περιγράφεται από απλούς κανόνες, έχει χωρική δομή που δεν εξαντλείται από συνεχείς μεγεθύνσεις και χρονική εξέλιξη που μπορεί να διαλέξει ανάμεσα σε πολλές διαδρομές, πρακτικά απρόβλεπτη!» (Μπούντης, 2004, σελ. 10). Η έννοια της αυτοομοιότητας περιγράφει ένα αντικείμενο, όταν καθένα από τα μέρη που το συνιστούν είναι και σμίκρυνσή ή μεγέθυνσή του, δηλαδή αντίγραφο του. Πώς ορίζονται όμως τα fractals; Ένα fractal, όπως εστιάζουμε στο εσωτερικό του αποκαλύπτει όλο και μεγαλύτερη πολυπλοκότητα. Κατά συνέπεια τα fractals μας δίνουν τη δυνατότητα να οπτικοποίησουμε την έννοια “των κόσμων μέσα στους κόσμους“. Ένα fractal μοντελοποιημένο στο επίπεδο θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι αναπαριστά ένα γεωμετρικό σχήμα που μπορεί να υποδιαιρεθεί σε μικρότερα άπειρα αυτοόμοια σχήματα, κάθε ένα από τα οποία είναι μια σμίκρυνση του όλου, ανεξάρτητα από την κλίμακα. Βασικές ιδιότητες των fractals είναι (Μπούντης,  2004, σελ.65):

• δομή μέσα στην δομή (δηλαδή, νέες λεπτομέρειες σε κάθε κλίμακα μεγέθυνσης)
• επιμέρους τμήματα που είναι παρόμοια με άλλα τμήματα του συνόλου σε διαφορετική κλίμακα (αυτό-ομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας)
• κατασκευάζονται μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας που σε κάθε βήμα επαναλαμβάνει τους ίδιους μαθηματικούς μετασχηματισμούς (αλλαγή κλίμακας, μετάθεση και στροφή)
• H αυτοομοιότητα ενός Fractal δεν είναι απαραίτητα ακριβής και μπορεί να περιγράφεται από μια άπειρη ακολουθία κλιμάκων η δε αυτοομοιότητα του μπορεί να είναι και στατιστική ιδιότητα του συνόλου.

Η Fractal γεωμετρία, επομένως, χρησιμοποιείται για να περιγράψει την «πολυπλοκότητα» της φύσης ή ότι προσομοιάζει στη φύση. Αντικείμενα που σήμερα ονομάζουμε fractals, ήταν γνωστά σε  μαθηματικούς, όμως δεν υπήρχαν τα μέσα για να τα παρατηρήσουν [ή τα μέσα για να τα μελετήσουν δεν ήταν κατάλληλα].

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ ΓΙΑ  FRACTAL 

Στις ιστοσελίδες

https://mathigon.org/course/fractals/introduction

https://polypad.amplify.com/lesson/fractals

https://think-maths.co.uk/resources/building-3d-fractals/

https://www.alaska.edu/k12task/docs/fractals-2-5-math.pdf

θα βρείτε πολλές δραστηριότητες για κατασκευές fractal αντικειμένων.

Επίσης, στην ακόλουθη ιστοσελίδα https://gauss.math.yale.edu/fractals/FracAndDim/SimDim/KochDims.html

του Πανεπιστημίου Yale παρουσιάζονται παραδείγματα για την διάσταση ομοιότητας της Καμπύλης Koch.

Ομοίως, στην ιστοσελίδα https://gauss.math.yale.edu/fractals/FracAndDim/SimDim/SimDimExerc.html  

και εδώ https://gauss.math.yale.edu/fractals/FracAndDim/BoxDim/Prxs/BoxDimPrxs.html

Σχετικό άρθρο του κ. Φουναριωτάκη εδώ: https://users.sch.gr/thafounar/Fractal/Koch/kochFractal.html

και εδώ, για το τρίγωνο Sierpinski http://users.sch.gr/thafounar/Fractal/Sierpinski/sierpinskiFractal.php

Κατασκευές fractals με χρήση της Logo, αλλά και της version 3 του Geometer’s Sketchpad περιλαμβάνονται  στον επόμενο

σύνδεσμο :http://users.uoa.gr/~ldalla/fractals/sff_part2.pdf

και εδώ http://users.uoa.gr/~ldalla/fractals/sff_part1.pdf

Ακόμα, ένα ενδιαφέρον άρθρο μπορείτε να βρείτε  στο σύνδεσμο https://mag.e-diktyo.eu/wp-content/uploads/2016/10/2math_cult_deuter.pdf

Αλλά, και  μια εξαιρετικά συνοπτική και περιεκτική παρουσίαση στο σύνδεσμο https://math.uoi.gr/images/pdf/lectures/Fractals.pdf

Για την έννοια της κλασματικής διάστασης θα σας πρότεινα να διαβάσετε το άρθρο στον ακόλουθο σύνδεσμο:

http://www.islab.demokritos.gr/gr/html/parousiaseis/fractals/index.html

Ερευνητική διαδικασία με μοντελοποιήσεις fractal στο επίπεδο περιέχονται στη διπλωματική μου εργασία http://me.math.uoa.gr/dipl/dipl_patsiomitou.pdf

Πολλές περιγραφές κατασκευών fractal σε διάφορα άρθρα μου, αλλά και στις μονογραφίες μου.

Education just ahead!!