Άρθρα: Παρουσιάσεις Καθηγητών

Στην τρίτη συνάντηση της λέσχης μας, παρουσιάσαμε το δευτερο μέρος απο μια σειρά παρουσιάσεων που ως κύριο θέμα θα έχουν την «Συμμετρία», θέμα με το οποίο ασχολείτε φέτος η λέσχη μας, με αφορμή το βιβλίο που διαβάζουμε  «Ο μέτοικος και η συμμετρία» του Τεύκρου Μιχαηλίδη.

Καλή  περιήγηση στον κόσμο της Συμμετρίας.

Στην δεύτερη συνάντηση της λέσχης μας, κάναμε την αρχή με μία σειρά παρουσιάσεων που ως κύριο θέμα θα έχουν την «Συμμετρία», μια και αυτό αποτέλεσε την αφορμή για να γραφτεί το βιβλίο που διαβάζει φέτος η λέσχη μας («Ο μέτοικος και η συμμετρία» του Τεύκρου Μιχαηλίδη)  και σ΄αυτήν έχει εντρυφήσει ο ήρωας  μας. Μέσα απο το blog μας και από μια σειρά παρουσιάσεων θα προσπαθήσουμε να περιγράψουμε και να αναδείξουμε ένα μεγάλο μέρος των ειδών της συμμετρίας  και πού τα συναντούμε στις διάφορες επιστήμες και την καθημερινότητά μας.

Καλή  περιήγηση στον κόσμο της Συμμετρίας.

Στο τρίτο και τελευταίο μέρος των παρουσιάσεων πάνω στην Λογική, μιλήσαμε για τις σχολές που διαμορφώθηκαν στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα και των κύριων εκπροσώπων τους. Τα παιδιά εισήχθησαν στο «κλίμα» που διαμορφώθηκε μεταξύ των σχολών και κατ΄επέκταση των ιδεών και σκέψεων που κυριαρχούσαν την εποχή εκείνη. Τέλος αφού άκουσαν τον Hilbert να αναφωνεί ότι στα Μαθηματικά δεν υπάρχει ignorabimus (ή «Πρέπει να ξέρουμε, θα μάθουμε») είδαν πως ο Kurt  Gödel κατέστρεψε το «πρόγραμμα Hilbert» και απέδειξε ότι υπάρχει ignorabimus, δηλ. θα υπάρχουν προτάσεις μέσα σε ένα καλός τεθειμένο συνεπές αξιωματικό σύστημα που δεν θα μπορούμε να απαντήσουμε α είναι σωστή ή λανθασμένη. (Να τονίσουμε ότι τους προηγούμενους 3ης μήνες τα παιδιά έλυναν Γρίφους λογικής από το υπέροχο βιβλίο «Ο Γρίφος της Σεχραζάντ και άλλα αινίγματα Μαθηματικής λογικής» του  Raymond Smullyan εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ, για να τους εισάγω με έναν ωραίο, διασκεδαστικό και παιγνιώδη τρόπο στα δύσκολα μονοπάτια της λογικής).

Συνεχίζοντας την «Σύντομη Ιστορία της Λογικής» στην τελευταία συνάντηση της λέσχης μας, είδαμε την δράση των Στωικών Φιλοσόφων, το ενδιαφέρον τους για τα Παράδοξα και την «Λογική Προτάσεων» φέρνοντας την σε αντιπαράθεση με την Αριστοτέλεια θεωρία περί λογικής, οι οποίες  μόλις μετά την Αναγέννηση έγινε σαφές ότι πρόκειται για συμπληρωματικές και όχι αλληλοσυγκρουόμενες θεωρίες. Τέλος αναφερθήκαμε στο Παράδοξο του Ράσελ (Το παράδοξο του Κουρέα) και τις Αυτό-αναφορικές, προτάσεις ως μέσο σύνδεσης με την Λογική στον εικοστό αιώνα (το τρίτο μέρος αυτών των παρουσιάσεων) και «την τραγική ιστορία της θεμελίωσης των Μαθηματικών» όπως αναφέρει σε μια παρουσίαση του ο Απόστολος Δοξιάδης.

Το παράδοξο του Ζήνωνα: «Ο Αχιλλέας και η Χελώνα»

Με αφορμή τις «περιπέτειες» του θείου Πέτρου στην προσπάθεια επίλυσης  της εικασίας του Γκόλντμπαχ,  ξεκινούμε μια σειρά παρουσιάσεων πάνω στην Λογική από την αρχαιότητα έως τα μέσα του προηγούμενου αιώνα.

 

Σ΄ αυτήν την πρώτη παρουσίαση, αναδεικνύουμε  τους λόγους που οι αρχαίοι Έλληνες έθεσαν τους πρώτους κανόνες της Λογικής και τι τους οδήγησε σ΄ αυτό. Στην πορεία αυτή παρουσιάζονται οι διάφορες σχολές (των Στωικών, των Μεγαριτών), οι Μαθηματικοί και οι Φιλόσοφοι που έπαιξαν σημαίνοντα ρόλο στην δημιουργία αυτού του κλάδου (της Λογικής) στα Μαθηματικά και τη Φιλοσοφία  με πρωτεργάτη και θεμελιωτή τον Αριστοτέλη.

Το επόμενο βήμα από την διατύπωση μιας  υπόθεσης στα μαθηματικά και το δυσκολότερο συνάμα, είναι η απόδειξή αυτής. Γι αυτό στην 3η μας  συνάντηση μιλήσαμε για την αξία της απόδειξης στα μαθηματικά, στις άλλες επιστήμες αλλά και στην καθημερινότητά μας, όπως στην προσπάθεια να επιχειρηματολογήσουμε για να πείσουμε τους συνομιλητές μας  πάνω σε κάποιο θέμα που συζητάμε. Με αφορμή αυτό διαβάσαμε έναν σχετικό διάλογο μεταξύ του Ρέι και της Λόλα, από το βιβλίο του Denis Guedj «Εξηγώντας τα μαθηματικά στις κόρες μου».

Μία από τις ευφυέστερες μεθόδους απόδειξης στα μαθηματικά είναι η «εις άτοπον απαγωγή». Μια μέθοδος που πολύ συχνά χρησιμοποιεί ο Σέρλοκ Χόλμς στις περιπέτειες του, για την εξιχνίαση των εγκλημάτων που καλείτε να επίλυση, όπως στην υπόθεση «Σπουδή στο κόκκινο» που μέρος αυτής διαβάσαμε. Στα παιδιά παρουσιάστηκε μια ιστορική αναδρομή της παραπάνω αποδεικτικής μεθόδου μέσο τριών προβλημάτων:

1. Της απειρίας των πρώτων αριθμών, που αποδείχθηκε από τον Ευκλείδη

2. Το πρόβλημα των γεφυρών του Kenigsberg, που λύθηκε από τον Euler και

3. Το τελευταίο Θεώρημα του Fermat (έγινε απλή αναφορά)

Τα παιδιά συμμετείχαν στην απόδειξη της απειρίας των πρώτων (φυλλάδιο 1) όπως και στο πρόβλημα των γεφυρών του Kenigsberg (φυλλάδιο 2) συσχετίζοντας το με ένα σχολικό παιχνίδι, την κατασκευή ενός σπιτιού με μονοκονδυλιά. Τέλος, έγινε αναφορά στην συμβολή αυτού του προβλήματος στην Θεωρία γράφων που σαν άμεσο αποτέλεσμα στην καθημερινότητά μας έχει την κατασκευή δικτύων, όπως του internet κ.α.

Στην 2η μας Συνάντηση παίρνοντας ως αφορμή τον τίτλο του βιβλίου μιλήσαμε με τα παιδιά περί εικασιών, την κινητήρια δύναμη των μαθηματικών. Γνωρίσαμε διάσημες εικασίες που «ταλαιπωρούσαν» και «ταλαιπωρούν» τους μαθηματικούς για αιώνες και κάποιες λύσεις αυτών αποτέλεσαν πεδίο έντονων συζητήσεων και αντεγκλήσεων στη μαθηματική κοινότητα αλλά και αφορμή ωστε να προκύψουν αποτελέσματα μεγαλύτερης σπουδαιότητας απο τις εικασίες αυτες καθ΄αυτες, όπως το Θεώρημα των Τεσσάρων χρωμάτων και το Τελευταίο Θεώρημα του Frermat αντίστοιχα. Κάναμε τις δικές μας εικασίας που δυστυχώς γρήγορα κατατρίφθηκαν, όμως σε πείσμα όλων τα παιδιά έλυσαν αρνητικά μια εικασία που τους δόθηκε (slide 22 της παραπάνω παρουσίασης).

Έπειτα, παρουσιάστηκε η βιογραφία του Christian Goldbach και  η «ασθενής» εικασία του Goldbach, που σύμφωνα με δημοσίευμα του American Sience ο βραβευμένος με το μετάλλιο Fields (βραβείο αντίστοιχης αξίας με το Nobel) μαθηματικός Τerence Tao βρίσκετε πολύ κοντά στην λύση του. Τέλος παρουσιάστηκε η «ισχυρή» εικασία του  Goldbach που ενώ δεν γνωρίζουμε αν κάποιος μαθηματικός βρίσκετε κοντά στην απόδειξή της, εμάς μας χάρισε ένα θαυμάσιο βιβλίο (Ο Θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ) το οποίο και διαβάζουμε.