Μήνας: Αύγουστος 2013

34. Το πλάτος μιας φθίνουσας αρμονικής ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση . Σε χρονικό διάστημα , όπου  η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης, το πλάτος ελαττώνεται κατά %. Να υπολογίσετε:

α) την περίοδο  της φθίνουσας ταλάντωσης.

β) τον αριθμό των ταλαντώσεων  που πρέπει να πραγματοποιηθούν ώστε το πλάτος να μειωθεί από  σε .

γ) Το κλάσμα της αρχικής ενέργειας που έχασε ο ταλαντωτής στο χρονικό διάστημα που πέρασε για να ελαττωθεί το πλάτος της ταλάντωσης από  σε .

Λύση

31. Στο παρακάτω κύκλωμα η ηλεκτρική πηγή έχει ΗΕΔ  και εσωτερική αντίσταση , οι αντιστάτες έχουν αντίσταση  και , ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα  και το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής . Αρχικά ο μεταγωγός διακόπτης δ είναι στη θέση (1) και οι αντιστάτες διαρρέονται από ρεύμα σταθερής έντασης.

Τη χρονική στιγμή  μετακινούμε το διακόπτη στη θέση (2), χωρίς να δημιουργηθεί σπινθήρας, οπότε το ιδανικό κύκλωμα αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις.

α) Να βρείτε την ένταση  του ρεύματος, που διαρρέει την πηγή καθώς και το φορτίο, που έχει αποθηκευτεί στον πυκνωτή όταν οι αντιστάτες διαρρέονται από σταθερό ρεύμα.

β) Να βρείτε το λόγο της έντασης του ρεύματος , που διέρρεε αρχικά την πηγή προς τη μέγιστη ένταση  του ρεύματος, που διαρρέει το κύκλωμα  της ηλεκτρικής ταλάντωσης.

γ) Να γράψετε τις εξισώσεις, που δίνουν τις ενέργειες του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και του μαγνητικού πεδίου του πηνίου σε συνάρτηση με το χρόνο.

δ) Να βρείτε τις χρονικές στιγμές στις οποίες οι ενέργειες ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου είναι ίσες στη διάρκεια της πρώτης περιόδου της ταλάντωσης.

 Λύση

25. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα μάζας  ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο του αβαρούς νήματος το πάνω άκρο του οποίου είναι δεμένο στο κάτω άκρο του κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς .

α) Σχεδιάστε τις δυνάμεις, που ασκούνται στο σώμα και αιτιολογήστε γιατί η δύναμη ελατηρίου στο νήμα είναι ίση με την τάση του νήματος στο σώμα.
β) Υπολογίστε την επιμήκυνση  του ελατηρίου. Θεωρήστε ότι .
Τραβάμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω από τη Θ.Ι. του, μεταφέροντας ενέργεια στο σύστημα  και το αφήνουμε να ταλαντωθεί.
γ) Να αποδείξετε ότι θα εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση και να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης.
δ) Γράψτε την εξίσωση της τάσης του νήματος στο σώμα σε συνάρτηση με την απομάκρυνση  απ’ τη Θέση Ισορροπίας και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της τάσης του νήματος  σε συνάρτηση με την απομάκρυνση χ, σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες.
ε) Να βρείτε το σημείο της ταλάντωσης στο οποίο η τάση του νήματος θα μηδενισθεί.

 Λύση