Μήνας: Ιούλιος 2013

Για να κατεβάσετε το διαγώνισμα πατήστε εδώ.

Για τις απαντήσεις στείλτε e-mail στην διεύθυνση nmandoulidis@sch.gr

21. Το σύστημα των δύο σωμάτων Σ1 και Σ2, ίσων μαζών , ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς .Tα σώματα έχουν αμελητέες διαστάσεις. Το Σ1 είναι δεμένο στο ελατήριο, ενώ αβαρές νήμα μικρού μήκους συνδέει τα Σ1 και Σ2. Τη χρονική στιγμή  κόβουμε το νήμα που συνδέει τα δύο σώματα, οπότε το Σ1 αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.

α) Να προσδιορίσετε τη θέση ισορροπίας του συστήματος των Σ1-Σ2 και στη συνέχεια τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης του Σ1 μετά το κόψιμο του νήματος.
β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης  καθώς και την ολική της ενέργεια .
γ) Θεωρώντας θετική φορά την προς τα πάνω, να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης  – χρόνου . Στη συνέχεια να την παραστήσετε γραφικά σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες, στη διάρκεια της 1ης περιόδου. Θεωρήστε ότι: .

δ) Αν το σώμα Σ2 έχει ως προς το δάπεδο, που βρίσκεται κάτω του, στη θέση ισορροπίας του συστήματος, βαρυτική δυναμική ενέργεια , να βρείτε ποιο απ’ τα δύο θα φτάσει πρώτο: το Σ2 στο έδαφος ή το Σ1 στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του. Δίνεται .

Λύση

23. Το αριστερό άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς  στερεώνεται ακλόνητα και στο δεξιό άκρο του προσδένεται σώμα Σ1 μάζας , το οποίο μπορεί να κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Πάνω στο Σ1 τοποθετείται δεύτερο σώμα Σ2 μάζας . Εκτοξεύουμε προς τα δεξιά το σύστημα από τη θέση ισορροπίας του, με ταχύτητα μέτρου  και παράλληλη με το οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα, οπότε το σύστημα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. Τα δυο σώματα διατηρούν την επαφή στη διάρκεια της ταλάντωσης.

α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης καθώς και τις σταθερές ταλάντωσης ,  και  του συστήματος και των σωμάτων Σ1 και Σ2 αντίστοιχα.
β) Να τοποθετήσετε το σύστημα σε μια τυχαία θέση της ταλάντωσής του, να σχεδιάσετε και να περιγράψετε σε τρία κατάλληλα σχήματα τις δυνάμεις, που δέχονται: i) το σύστημα Σ1 – Σ2, ii) το Σ1 και iii) το Σ2.
γ) Να παραστήσετε γραφικά την αλγεβρική τιμή της στατικής τριβής από το Σ1 στο Σ2 σε συνάρτηση με την απομάκρυνση  από τη θέση ισορροπίας του, για πλάτος ταλάντωσης .
δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης , του συστήματος των Σ1, Σ2 ώστε το σώμα Σ2 να μην ολισθήσει πάνω στο σώμα Σ1. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας  και ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων Σ1 και Σ2 είναι .

 Λύση

19. Μικρή μεταλλική σφαίρα μάζας  είναι δεμένη στο δεξιό ελεύθερο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς , του οποίου το αριστερό άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Η σφαίρα δέχεται σταθερή δύναμη μέτρου , της οποίας η διεύθυνση είναι παράλληλη με τον άξονα του ελατηρίου και η φορά προς τ’ αριστερά, οπότε η σφαίρα ισορροπεί με το ελατήριο συσπειρωμένο. Εκτρέπουμε τη σφαίρα από τη θέση ισορροπίας της κατά  προς τ’ αριστερά και τη χρονική στιγμή  την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί.
α) Να υπολογίσετε την απόσταση  της θέσης ισορροπίας της σφαίρας από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου.
β) Να αποδείξετε ότι η σφαίρα θα εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα καθώς και την ολική ενέργεια της ταλάντωσης.
γ) Σε ποιο σημείο της τροχιάς έχει ταυτόχρονα μέγιστο μέτρο δύναμης επαναφοράς και δύναμης ελατηρίου; Βρείτε τότε το λόγο των μέτρων της μέγιστης δύναμης επαναφοράς προς τη μέγιστη δύναμη ελατηρίου.
δ) Τη στιγμή που η σφαίρα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της, καταργείται ακαριαία η δύναμη . Βρείτε το λόγο της ολικής ενέργειας της νέας ταλάντωσης προς την ολική ενέργεια  της αρχικής ταλάντωσης.

 Λύση

18. Ένα σώμα, αμελητέων διαστάσεων, μάζας  ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς , το πάνω άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Στη Θέση Ισορροπίας το ελατήριο ασκεί στο μικρό σώμα δύναμη μέτρου . Ανεβάζουμε το σώμα από τη Θέση Ισορροπίας του κατακόρυφα προς τα πάνω έως τη Θέση Φυσικού Μήκους του ελατηρίου και τη χρονική στιγμή , το εκτοξεύουμε με κατακόρυφη προς τα κάτω ταχύτητα μέτρου . Το σώμα μετά την εκτόξευσή του εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Tο διάστημα που διανύει μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων απ’ τη Θέση Ισορροπίας του είναι σε χρόνο .

α) Να υπολογίσετε το πλάτος  και τη σταθερά  του ελατηρίου. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας .

β) Να βρείτε τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στη θέση, που η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι μηδέν.
γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της αρχικής ταχύτητας .
δ) Να υπολογίσετε τo ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη χρονική στιγμή . Θεωρήστε θετική φορά την προς τα πάνω.

 Λύση