« 
 »
23 11 2017

Ασκήσεις Ορμή – Κρούση

Αναρτήθηκε από Παναγιώτης Κουτεντάκης στο Φυσική Β' Λυκείου (Θετικής-Τεχνολογικής Κατευθυνσης)

Άσκηση 1

Σώμα μάζας m1=4kg, που είναι δεμένο με νήμα μήκους l=2m αφήνεται να πέσει από ύψος h=0,2m όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το νήμα είναι κατακόρυφο συγκρούεται με ακίνητο σώμα μάζας m2=2kg. Μετά την κρούση το σώμα μάζας m1 κινείται με ταχύτητα ίδιας κατεύθυνσης με πριν και μέτρο ίσο με το μισό της ταχύτητας που είχε πριν την κρούση. Το σώμα μάζας m2 σταματάει αφού έχει διανύσει απόσταση x=10m πάνω στο επίπεδο.

Rendered by QuickLaTeX.com

Να υπολογίσετε:

  1. Την ταχύτητα του σώματος m1 λίγο πριν την κρούση.
  2. Την δύναμη που δέχεται το σώμα m1 κατά την κρούση αν η διάρκειά της είναι Δt = 0,01s.
  3. Την τάση του νήματος τη στιγμή της κρούσης.
  4. Το έργο της δύναμης που δέχεται το σώμα m2 κατά την κρούση.
  5. Τον συντελεστή τριβής του m2 με το οριζόντιο επίπεδο.

(Δίνεται g=10m/s2)

 

Λύση

1. Εφαρμόζουμε Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας από την αρχική θέση του σώματος m1 μέχρι τη στιγμή που το νήμα γίνεται κατακόρυφο κι έχουμε:

    \begin{align*} Ε_{αρχ.} &= Ε_{τελ.} \\ \cancelto{0}{Κ_{αρχ.}} + U_{αρχ.} &= Κ_{τελ.} + \cancelto{0}{U_{τελ.}} \\ \cancel{m_1}\cdot g \cdot h &= \frac{1}{2} \cdot \cancel{m_1}\cdot υ_1^2 \\ υ_1^2 &= 2\cdot g \cdot h \\ υ_1 &= \sqrt{2\cdot g\cdot h} \\ υ_1 &= \sqrt{2\cdot10\cdot 0,2}\\ υ_1 &= \sqrt{4}\Longrightarrow \boxed{υ_1=2m/s} \end{align*}

2. Τη δύναμη που δέχεται το σώμα m1 κατά την κρούση θα το βρούμε εφαρμόζοντας τη γενίκευση του 2^{ου} Νόμου του Νεύτωνα, δηλαδή:

(1)   \begin{equation*} ΣF = \frac{Δp}{Δt} \end{equation*}

Γνωρίζουμε επίσης ότι μετά την κρούση το σώμα m1 έχει ταχύτητα ίδιας κατεύθυνσης με την αρχική και μέτρου ίσου με το μισό της αρχικής, δηλαδή:

    \begin{equation*} υ_1^{\prime} = \frac{υ_1}{2} \Longrightarrow \boxed{υ_1^{\prime} = 1m/s} \end{equation*}

Αντικαθιστώντας τις ορμές στην 1, έχουμε:

    \begin{equation*} \begin{split} ΣF &= \frac{p_{τελ.}-p_{αρχ.}}{Δt}\\ ΣF &= \frac{m_1 \cdot υ_1^{\prime} - m_1 \cdot υ_1}{Δt}\\ ΣF &= \frac{4 \cdot 1 - 4 \cdot 2}{0,01}\\ ΣF &= \frac{4 - 8}{0,01}\\ ΣF &= \frac{-4}{0,01} \Longrightarrow \boxed{ΣF=-400N} \end{split} \end{equation*}

3. Την στιγμή της κρούσης, το σώμα m1 είναι κατακόρυφο και οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω του είναι η Τάση του νήματος (προς τα πάνω) και το βάρος (προς τα κάτω).

Η συνισταμένη των δύο αυτών δυνάμεων θα πρέπει να παίζει τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης που αναγκάζει το σώμα να εκτελεί κυκλική κίνηση. Άρα θα πρέπει:

    \begin{equation*} \begin{split} ΣF &= F_κ\\ T - B &= \frac{m_1 \cdot υ_1^2}{\ell}\\ T &=B+\frac{m_1 \cdot υ_1^2}{\ell}\\ T &= m_1\cdot g + \frac{m_1 \cdot υ_1^2}{\ell}\\ T &= 4\cdot 10 + \frac{4 \cdot 2^{\cancel{2}}}{\cancel{2}}\\ T &= 40 + 4 \cdot 2\\ T &= 40 + 8 \Longrightarrow \boxed{T=48N} \end{split} \end{equation*}

4. Επειδή η δύναμη δεν είναι σταθερή ούτε γνωρίζουμε την μετατόπιση κατά την κρούση, ο μόνος τρόπος για να υπολογίσουμε το έργο της δύναμης που δέχεται το σώμα m2 κατά την κρούση είναι με Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας. Έχουμε λοιπόν:

    \begin{equation*} \begin{split} ΔK &= ΣW_F \\ K_{τελ.} - \cancelto{0}{Κ_{αρχ.}} &= \cancelto{0}{W_B} + \cancelto{0}{W_N} + W_{F_2}\\ \frac{1}{2}\cdot m_2 \cdot υ_2^2 &= W_{F_2}\\ \end{split} \end{equation*}

Άρα:

(2)   \begin{equation*} \begin{split} W_{F_2} &=\frac{1}{2}\cdot m_2 \cdot υ_2^2\\ \end{split} \end{equation*}

Για να βρούμε την ταχύτητα του m2 μετά την κρούση, θα εφαρμόσουμε την Αρχή Διατήρησης της Ορμής για την κρούση οπότε θα έχουμε:

    \begin{equation*} \begin{split} p_{αρχ.} &= p_{τελ.}\\ p_1 &= p_1^\prime + p_2^\prime\\ m_1\cdot υ_1 &= m_1 \cdot υ_1^\prime + m_2\cdot υ_2\\ 4\cdot 2 &= 4\cdot 1 + 2 \cdot υ_2\\ 8 &= 4 + 2 \cdot υ_2\\ 2 \cdot υ_2 &= 8 - 4\\ \frac{\cancel{2} \cdot υ_2} {\cancel{2}}&= \frac{4}{2} \Longrightarrow \boxed{υ_2 = 2m/s} \end{split} \end{equation*}

Αντικαθιστώντας τώρα στην 2 έχουμε:

    \begin{equation*} \begin{split} W_{F_2} &=\frac{1}{2}\cdot m_2 \cdot υ_2^2\\ W_{F_2} &=\frac{1}{\cancel{2}}\cdot \cancel{2} \cdot 2^2 \Longrightarrow \boxed{W_{F_2} = 4J} \end{split} \end{equation*}

5. Όπως γνωρίζουμε

    \[Τ = μ\cdot N\]

,

άρα μπορούμε να υπολογίσουμε τον συντελεστή τριβής αν γνωρίζουμε την Τριβή (Τ)και την Κάθετη αντίδραση του επιπέδου (Ν). Δηλαδή:

(3)   \begin{equation*} μ = \frac{T}{N} \end{equation*}

Επειδή το σώμα ισορροπεί στον κατακόρυφο άξονα ισχύει ότι:

N=w= m_2\cdot g =2\cdot 10 \Longrightarrow \boxed{N=20N}.

Την τριβή μπορούμε να την υπολογίσουμε εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας από τη θέση της κρούσης μέχρι τη θέση που σταματάει το σώμα m2. Έχουμε λοιπόν:

    \begin{equation*} \begin{split} ΔK &= ΣW_F \\ \cancelto{0}{K_{τελ.}} - Κ_{αρχ.} &= \cancelto{0}{W_B} + \cancelto{0}{W_N} + W_T\\ -\frac{1}{2}\cdot m_2 \cdot υ_2^2 &= T\cdot Δx \cdot \cancelto{-1}{συν(180^\circ)}\\ \cancel{-}\frac{1}{2}\cdot m_2 \cdot υ_2^2 &= \cancel{-} T\cdot x\\ \frac{1}{2}\cdot m_2 \cdot υ_2^2 &= T\cdot x\\ \frac{1}{\cancel{2}}\cdot \cancel{2} \cdot 2^2 &= T\cdot 10\\ \frac{\cancel{10} \cdot T}{\cancel{10}} &= \frac{4}{10} \Longrightarrow \boxed{T=0,4N} \end{split} \end{equation*}

Αντικαθιστώντας στην 3 παίρνουμε:

    \begin{equation*} μ = \frac{T}{N} = \frac{0,4}{20} \Longrightarrow \boxed{μ=0,02} \end{equation*}

 

Άσκηση 2

Σώμα μάζας m=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα υo=10m/s. Τη χρονική στιγμή to=0 αρχίζει να ασκείται πάνω του οριζόντια δύναμη ομόρροπη της ταχύτητας το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται όπως φαίνεται στο διάγραμμα.

Rendered by QuickLaTeX.com


Να υπολογίσετε:

  1. Την μεταβολή της ορμής του σώματος για το χρονικό διάστημα 0s – 8s.
  2. Την ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t=8s.
  3. Το έργο της δύναμης F που δέχθηκε το σώμα.

 

Λύση

1. Από τη γενίκευση του 2ου Νόμου του Νεύτωνα βλέπουμε ότι η μεταβολή της ορμής δίνεται από το γινόμενο της δύναμης με το χρόνο, δηλαδή:

    \[ΣF = \frac{Δp}{Δt} \Longleftrightarrow Δp = ΣF \cdot Δt\]

Από το διάγραμμα Δύναμης – χρόνου, το εμβαδόν μας δίνει την μεταβολή της ορμής.

Άρα:

    \[Δp = Εμβαδ\acute{o}ν_Τριγ\acute{\omega}νου} = \frac{(β\acute{α}ση)\cdot (\acute{υ}ψος)}{2} = \frac{8\cdot10}{2} \Longrightarrow\\ \boxed{Δp = 40 kg\cdot m/s}\]

 

2. Από τη στιγμή που ξέρουμε την μεταβολή της ορμής το σώματος, μπορούμε να υπολογίσουμε την ορμή του στο τέλος των 8 δευτερολέπτων:

    \begin{equation*} \begin{split} Δp &= p_{τελ.} - p_{αρχ.}\\ Δp &= m\cdot υ_1 - m\cdot υ_0\\ 40 &= 2 \cdot υ_1 - 2 \cdot 10\\ 2 \cdot υ_1 &= 40 + 20\\ \frac{\cancel{2} \cdot υ_1}{\cancel{2}} &= \frac{60}{2} \Longrightarrow \boxed{υ_1 = 30m/s} \end{split} \end{equation*}

3. 

Καθώς η δύναμη δεν είναι σταθερή ούτε ξέρουμε την εξάρτησή της από την μετατόπιση του σώματος, ο μόνος τρόπου για να υπολογίσουμε το έργο της είναι από το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας, δηλαδή:

    \begin{equation*} \begin{split} W_F &= ΔK\\ W_F &= K_{τελ.} - Κ_{αρχ.}\\ W_F &= \frac{1}{2}\cdot m \cdot υ_1^2 - \frac{1}{2}\cdot m \cdot υ_0^2 \\ W_F &= \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 30^2 - \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 10^2 \\ W_F &= \frac{1}{\cancel{2}}\cdot \cancel{2} \cdot 900 - \frac{1}{\cancel{2}}\cdot \cancel{2} \cdot 100 \\ W_F &= 900 -100 \Longrightarrow \boxed{W_F = 800J} \end{split} \end{equation*}

 

 

Άσκηση 3

Σφαίρα μάζας m1=1kg κινείται με ταχύτητα υ1 = 12m/s σε οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται με ακίνητη σφαίρα μάζας m2=2kg. Μετά την κρούση η σφαίρα μάζας m1 κινείται κάθετα προς την αρχική της διεύθυνση με ταχύτητα υ1‘ = 5m/s.

Rendered by QuickLaTeX.com

Να υπολογίσετε:

  1. Την μεταβολή της ορμής του σώματος μάζας m1.
  2. Την ταχύτητα που θα αποκτήσει το σώμα μάζας m2.
  3. Την θερμότητα που παράχθηκε κατά την κρούση.

 

Λύση

1. Η μεταβολή της ορμής του σώματος m1 θα είναι:


Επειδή οι ορμές πριν και μετά την κρούση δεν είναι συγγραμμικές, πρέπει να αφαιρέσουμε διανυσματικά τις δύο ορμές.

    \[Δ \vec{p} = \vec{p}_{τελ.} - \vec{p}_{αρχ.}\]

    \[Δ \vec{p} = \vec{p}_{τελ.} +(- \vec{p}_{αρχ.})\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Έχουμε δηλαδή για το μέτρο της 

    \[Δ\vec{p}\]

:

    \begin{equation*} \begin{split} Δp &= \sqrt{ p_{τελ.}^2 + p_{αρχ.}^2 }\\ Δp &= \sqrt{(m_1\cdot υ_1^\prime)^2 + (m_1\cdot υ_1)^2 }\\ Δp &= \sqrt{m_1^2 \cdot {υ_1^\prime}^2 + m_1^2 \cdot υ_1^2 }\\ Δp &= \sqrt{m_1^2\cdot ({υ_1^\prime}^2 + υ_1^2) }\\ Δp &= m_1 \cdot \sqrt{({υ_1^\prime}^2 + υ_1^2) }\\ Δp &= 1 \cdot \sqrt{5^2 + 12^2}\\ Δp &= \sqrt{25 + 144 }\\ Δp &= \sqrt{169} \Longrightarrow \boxed{Δp = 13 kg\cdot m/s} \end{split} \end{equation*}

Η διεύθυνση της μεταβολής της ορμής θα σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα γωνία θ τέτοια ώστε:

    \[εφ(θ) = \frac{p_{αρχ.}}{p_{τελ.}} = \frac{12}{5} =2,4 \Longrightarrow θ\simeq 67,4^\circ\]

2. Επειδή έχουμε κρούση, θα ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής, οπότε η μεταβολή της ορμής του σώματος m2 θα είναι αντίθετη της μεταβολής της ορμής του σώματος m1.

Το σώμα λοιπόν θα κινηθεί σε διεύθυνση αντίθετη με την Δp1 με ορμή που θα έχει μέτρο ίσο με το μέτρο της Δp1.

Η ταχύτητά του, λοιπόν, μετά την κρούση θα είναι:

    \begin{equation*} \begin{split} Δp_2 &= p_{τελ.} - \cancelto{0}{p_{αρχ.}}\\ Δp_2 &= m_2 \cdot υ_2\\ υ_2 &= \frac{Δp_2}{m_2}\\ υ_2 &= \frac{13}{2} \Longrightarrow \boxed{υ_2 = 6,5 m/s} \end{split} \end{equation*}

3. Η θερμότητα που θα παραχθεί κατά την κρούση θα είναι η Κινητική Ενέργεια που χάθηκε κατά τη διάρκεια της κρούσης. Δηλαδή:

 

    \begin{equation*} \begin{split} Q &= \left| ΔK \right|\\ Q &= \left| K_{τελ.} - Κ_{αρχ.} \right|\\ Q &= \left| ({Κ_1}_{τελ.} + {Κ_2}_{τελ.}) - ({Κ_1}_{αρχ.} + \cancelto{0}{{Κ_2}_{αρχ.}})\right|\\ Q &= \left| \frac{1}{2}\cdot m_1\cdot {υ_1^\prime}^2 + \frac{1}{2}\cdot m_2\cdot υ_2^2 - \frac{1}{2}\cdot m_1\cdot υ_1^2\right|\\ Q &= \left| \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 5^2 + \frac{1}{\cancel{2}}\cdot \cancel{2}\cdot 6,5^2 - \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 12^2\right|\\ Q &= \left| \frac{25}{2} + 42,25 - \frac{144}{2}\right|\\ Q &= \left| 12,5 + 42,25 - 72 \right|\\ Q &= \left| -17,25 \right|\Longrightarrow \boxed{Q=17,25J} \end{split} \end{equation*}

 

Το μείον μέσα στο απόλυτο μας δείχνει ότι χάθηκε ενέργεια κατά την κρούση.

 

CC BY-NC-SA 4.0 Αυτή η εργασία έχει άδεια χρήσης Creative Commons -Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή4.0.

Το άρθρο δημοσιεύτηκε Πέμπτη 23 Νοεμβρίου 2017 στις 12:12 στην κατηγορία Φυσική Β' Λυκείου (Θετικής-Τεχνολογικής Κατευθυνσης). Μπορείς να παρακολουθείς τα σχόλια χρησιμοποιώντας το RSS 2.0 feed. Τα σχόλια και τα pings δεν επιτρέπονται.

Τα σχόλια είναι κλειστά.
Αλλαγή μεγέθους γραμματοσειράς
Αντίθεση
Accessibility by WAH
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων