Science & Education

20 09 2016

Κυκλική Ομαλή Κίνηση

Αναρτήθηκε από Παναγιώτης Κουτεντάκης στο Φυσική Β' Λυκείου (Θετικής-Τεχνολογικής Κατευθυνσης)

Κυκλική Ομαλή Κίνηση (ΚΟΚ) ονομάζεται η κίνηση που κάνει ένα σώμα όταν κινείται σε κυκλική τροχιά με ταχύτητα σταθερού μέτρου.

Η κυκλική ομαλή κίνηση, είναι μια περιοδική κίνηση κι όπως κάθε περιοδική κίνηση, χαρακτηρίζεται από μία περίοδο (T) και μία συχνότητα (f).

Περίοδος (T), ονομάζεται ο χρόνος που χρειάζεται για να εκτελέσει το σώμα έναν πλήρη κύκλο. Αν το σώμα χρειάζεται χρόνο t για να εκτελέσει N κύκλους, τότε η περίοδος είναι:

$T = \frac{t}{N}$

Η συχνότητα (f) μας δείχνει πόσους κύκλους διαγράφει το σώμα στη μονάδα του χρόνου (κάθε δευτερόλεπτο). Αν το σώμα εκτελεί N κύκλους σε χρόνο t τότε η συχνότητα είναι:

$f=\frac{N}{t}$

Αν συγκρίνουμε τις δύο σχέσεις βλέπουμε ότι η περίοδος και η συχνότητα συνδέονται από τη σχέση:

$T \cdot f = 1 \Leftrightarrow T = \frac{1}{f} \Leftrightarrow f = \frac{1}{T}$

Γραμμική Ταχύτητα

Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας παραμένει σταθερό αλλάζει όμως συνεχώς η διεύθυνσή της.

Σε χρόνο μίας περιόδου (Τ) το σώμα που εκτελεί ΚΟΚ, διαγράφει έναν πλήρη κύκλο, άρα το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας θα είναι:

(1) $\begin{equation*} \upsilon = \frac{s}{t} = \frac{2\cdot \pi \cdot R}{T} = 2\cdot\pi\cdot R \cdot f \end{equation*}$

Η κατεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας είναι πάντα εφαπτόμενη στην κυκλική τροχιά του σώματος.

Γωνιακή Ταχύτητα

Η γωνιακή ταχύτητα ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που διαγράφει η επιβατική ακτίνα, δηλαδή:

$\vec{\omega} = \frac{\Delta \vec{\theta}}{\Delta t}$

Η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή (και το μέτρο και η κατεύθυνση της).

Σε χρόνο μιας περιόδου, η επιβατική ακτίνα διαγράφει έναν πλήρη κύκλο, δηλαδή γωνία 2π. Το μέτρο, λοιπόν, της γωνιακής ταχύτητας θα είναι:

(2) $\begin{equation*} \omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{2 \cdot \pi}{T} = 2 \cdot \pi \cdot f \end{equation*}$

Η διεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας είναι κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς του σώματος ενώ η κατεύθυνσή της δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Από τον ορισμό της γωνιακής ταχύτητας προκύπτει ότι η μονάδα μέτρησής της είναι: 1rad/s.

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι:

(3) $\begin{equation*} \upsilon = \omega \cdot R \end{equation*}$

Κεντρομόλος επιτάχυνση

Όπως είδαμε, η διεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας ενός σώματος που εκτελεί κυκλική ομαλή κίνηση μεταβάλλεται, άρα μεταβάλλεται και το διάνυσμα της ταχύτητας. Αυτό σημαίνει ότι το σώμα έχει επιτάχυνση, η οποία αλλάζει μόνο την διεύθυνση της ταχύτητας κι όχι το μέτρο της.

Η επιτάχυνση αυτή ονομάζεται κεντρομόλος επιτάχυνση και αποδεικνύεται ότι το μέτρο της υπολογίζεται από τον τύπο:

(4) $\begin{equation*} \alpha_{\kappa} = \frac{\upsilon^{2}}{R} = \omega^2 \cdot R =\frac{4\cdot \pi^2 \cdot R}{T} = 4\cdot \pi^2 \cdot R \cdot f \end{equation*}$

Η κατεύθυνση της κεντρομόλου επιτάχυνσης βρίσκεται πάνω στην ακτίνα της κυκλικής τροχιάς με φορά προς το κέντρο της τροχιάς.

Κεντρομόλος δύναμη

Από τη στιγμή που το σώμα έχει επιτάχυνση, σύμφωνα με τον 2^ο Νόμο του Νεύτωνα, θα πρέπει να ασκείται πάνω του μια δύναμη. Η δύναμη αυτή ονομάζεται κεντρομόλος δύναμη και το μέτρο της δίνεται από τον τύπο:

(5) $\begin{equation*} F_{\kappa} = m\cdot \alpha_{\kappa} = \frac{m\cdot\upsilon^2}{R} = m \cdot \omega^2 \cdot R \end{equation*}$

Η κατεύθυνση της κεντρομόλου δύναμης είναι ίδια με την κατεύθυνση της κεντρομόλου επιτάχυνσης.

Προσοχή!

Η κεντρομόλος δύναμη δεν είναι μια νέα δύναμη της φύσης. Τον ρόλο της κεντρομόλου δύναμης μπορεί να τον παίξει μια οποιαδήποτε ήδη γνωστή δύναμη (π.χ. η δύναμη της βαρύτητας, τάση του νήματος, τριβή κ.α.).

Παράδειγμα 1

Ένας άνθρωπος βρίσκεται ακίνητος στον ισημερινό της Γης.

Ποια η γραμμική και ποια η γωνιακή του ταχύτητα;
Πόση επιτάχυνσης δέχεται;
Πόση είναι η κεντρομόλος δύναμη που δέχεται αν η μάζα του είναι 50Kg;

(δίνεται η ακτίνα της Γης R ≃ 6.400km=6.400.000m)

Λύση

1. Η περίοδος περιστροφής της Γης είναι 24h. Άρα ο άνθρωπος που βρίσκεται στον ισημερινό θα διανύσει έναν κύκλο ακτίνας 6.400km σε 24 ώρες.

Η γραμμική του ταχύτητα θα είναι:

$\upsilon = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 6.400}{24} \simeq 1.675km/h \simeq 465m/s$

Η γωνιακή του ταχύτητα θα είναι:

$\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \cdot 3,14}{24} \simeq 0.26 rad/h \simeq 0,000072 rad/s$

(Η γωνιακή ταχύτητα αυτή αντιστοιχεί σε 15^o/h ≃ 0,0042 ^o/s)

2. Η κεντρομόλος επιτάχυνση που θα δέχεται ο άνθρωπος θα είναι:

$\alpha_\kappa = \frac{\upsilon^2}{R} = \frac{465^2}{6.400.000} \simeq 0,0338 m/s^2$

3. Η κεντρομόλος δύναμη θα είναι:

$F_\kappa = m\cdot \alpha_\kappa = 50\cdot 0,0338 \simeq = 1,69N$

$\vspace {10mm}$

Ερωτήσει – Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο (σελ. 30-35):

Ερωτήσεις: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 19, 20.

Ασκήσεις: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Αυτή η εργασία έχει άδεια χρήσης Creative Commons -Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή4.0.

Το άρθρο δημοσιεύτηκε Τρίτη 20 Σεπτεμβρίου 2016 στις 21:32 στην κατηγορία Φυσική Β' Λυκείου (Θετικής-Τεχνολογικής Κατευθυνσης). Μπορείς να παρακολουθείς τα σχόλια χρησιμοποιώντας το RSS 2.0 feed. Τα σχόλια και τα pings δεν επιτρέπονται.

Τα σχόλια είναι κλειστά.

Open your mind…

Κυκλική Ομαλή Κίνηση

Ερωτήσει – Ασκήσεις από το σχολικό βιβλίο (σελ. 30-35):

Ερωτήσεις: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 19, 20.

Ασκήσεις: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Σελίδες