Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών, Υγείας και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής
A΄ Μέρος (Άλγεβρα)
Μιγαδικοί Αριθμοί
Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού
Πράξεις στο Σύνολο C των Μιγαδικών Αριθμών
Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού
(για την επαναφορά χρησιμοποιείστε το αριστερό βελάκι του φυλλομετρητή σας,
γιατί ο σύνδεσμος επαναφοράς της σελίδας παραπέμπει σε αρχική σελίδα η οποία έχει καταργηθεί)
Τριγωνομετρική Μορφή Μιγαδικού
Τριγωνομετρική μορφή γινομένου και πηλίκου δύο μιγαδικών αριθμών
Πολυωνυμικές Εξισώσεις στο C
Ασκήσεις Θέματα Εξετάσεων
————————————————————————————————-
Β΄ Μέρος (Ανάλυση)
Όριο – συνέχεια συνάρτησης
Ανάλυση της έννοιας του ορίου με τον εψιλοντικό ορισμό και το Geogebra
Πραγματικοί Αριθμοί
Συναρτήσεις
Μονότονες συναρτήσεις-Αντίστροφη συνάρτηση
Όριο συνάρτησης κοντά στο x0 που ανήκει στο R.
Iδιότητες των ορίων Όριο συνάρτησης στο άπειρο
Συνέχεια συνάρτησης
Ασκήσεις στη συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα
Διαφορικός Λογισμός
Η Έννοια της Παραγώγου (Στιγμιαία ταχύτητα, Πρόβλημα εφαπτομένης)
Παράγωγος και κλίση της εφαπτομένης σ’ ένα σημείο της συνάρτησης
Η παράγωγος ως το όριο της κλίσης της τέμνουσας
Παραγωγίσιμες συναρτήσεις – Παράγωγος συνάρτηση
Κανόνες παραγώγισης
Ρυθμός μεταβολής
Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού
εκφώνηση και υπόδειξη άσκησης στο Θ.Μ.Τ.
Συνέπειες του Θεωρήματος Μέσης Τιμής
Τοπικά ακρότατα συνάρτησης
Κυρτότητα – σημεία καμπής συνάρτησης
Ασύμπτωτες – Κανόνες De L’ Hospital
Μελέτη και χάραξη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης
Γενικές Ασκήσεις (μπορείτε να επανέλθετε σ’ αυτή τη σελίδα με το αριστερό βελάκι του browser)
Άσκηση 3 γενικές σελίδα 291 (αρχείο pdf)
Ολοκληρωτικός Λογισμός
Αόριστο ολοκλήρωμα Μέθοδοι ολοκλήρωσης
Ορισμένο ολοκλήρωμα
Eμβαδόν επιπέδου χωρίου
Ασκήσεις στο εμβαδόν επίπεδου χωρίου
Ασκήσεις – θέματα εξετάσεων
Ασκήσεις – θέματα παλαιοτέρων χρόνων (thems_exams_2007_08_11.pdf)
Για να έπεξεργαστείτε το αρχείο thems_exams_2007_08_11.pdf, τις υποδείξεις και να λειτουργήσουν οι σύνδεσμοι,
θα πρέπει να το έχετε κατεβάσει στον ίδιο κατάλογο μαζί με κατά σειράν των ασκήσεων, τα αρχεία Geogebra αντίστοιχα:
2_7ex6.ggb, 2_7_ex9_ agroup.ggb, thet_2007_3.ggb, thet_08a.ggb, thet_2008b.ggb, thet_B_2011.ggb
Μην παραλείψετε να γράψετε στην γραμμή των διευθύνσεων https://users.sch.gr/tournavitis/ και το όνομα του καθενός από αυτά…
Στοιχεία Πιθανοτήτων και Στατιστικής
Πιθανότητες…………………………………………………………………….8
Ενότητα 1.1. Πειράματα τύχης, δειγματικός χώρος και ενδεχόμενα………….8
Άσκηση 1 σελίδα 16
Ενότητα 1.2. Πιθανότητες: Ορισμοί και εφαρμογές………………………………17
Ενότητα 1.3. Πιθανότητες και πράξεις με ενδεχόμενα…………………………..29
Διερεύνηση προβλήματος σελίδα 29 και εφαρμογή 1 σελίδα 31
Ενότητα 1.4. Συνδυαστική & Πιθανότητες…………………………………………..34
Στατιστική……………………………………………………………………..48
Ενότητα 2.1 : Πληθυσμός – Δείγμα – Μεταβλητές………………………………….48
Ενότητα 2.2 : Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων………………………………55
Ενότητα 2.3: Μέτρα θέσης και μεταβλητότητας, θηκόγραμμα,
συντελεστής μεταβλητότητας………………………………………….65
Ενότητα 2.4 : Κανονική κατανομή και εφαρμογές………………………………….79
Ενότητα 2.5: Πίνακες Συνάφειας και Ραβδογράμματα…………………………..88
Ενότητα 2.6 : Σύγκριση ποσοτικών χαρακτηριστικών στις κατηγορίες
ενός ποιοτικού χαρακτηριστικού……………………………………106
Ενότητα 2.7: Γραμμική συσχέτιση ποσοτικών μεταβλητών και
διαγράμματα διασποράς……………………………………………..120
————————————————————————————————————————————
Mαθηματικά Γενικής Παιδείας (ύλη από το παλαιό βιβλίο)
Διαφορικός Λογισμός
Συναρτήσεις
Η έννοια της Παραγώγου Παράγωγος Συνάρτησης
Εφαρμογές των Παραγώγων
| Στατιστική | |
| Βασικές Έννοιες | |
| Παρουσίαση Στατιστικών Δεδομένων | |
| εξήγηση του ραβδογράμματος της σελ. 69 | |
| άσκηση 9 σελ. 80 | |
| απαντήσεις σε ερωτήματα της άσκησης 12 σχολ. βιβλίου (για να επανέλθετε στην παρούσα σελίδα χρησιμοποιείστε το αριστερό βελάκι του φυλλομετρητή σας, γιατί ο σύνδεσμος επαναφοράς των τριών προηγούμενων σελίδων παραπέμπει σε αρχική σελίδα η οποία έχει καταργηθεί)  μία άσκηση στατιστικής με το Mathematica ( για να το δείτε πρέπει να κατεβάσετε-εγκαταστήσετε το CDFPlayer από την σελίδα της Wolfram: https://www.wolfram.com/cdf-player/ ) |
Μία εργασία στην παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων.
(Δημοσιεύθηκε στο περιοδικό Ευκλείδης Β΄ τον Νοέμβριο του 2015).
Μέτρα Θέσης και Διασποράς
Γραμμική Παλινδρόμηση Γραμμική Συσχέτιση
Πιθανότητες
Δειγματικός Χώρος-Ενδεχόμενα
Έννοια της Πιθανότητας
=============================================================================
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διανύσματα
1.1 Η Έννοια του Διανύσματος 11
1.2 Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων 16
1.3 Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα 21
1.4 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 29
Συνθήκη παραλληλίας δύο διανυσμάτων
Περί του μηδενικού διανύσματος
Aσκηση που αναφέρεται μέχρι και την παράγραφο «πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα»
1.5 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 41
Ανάλυση ενός διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες
Γενικές Ασκήσεις στα Διανύσματα
1η σειρά Γενικών Ασκήσεων στα Διανύσματα
Θέματα εξέτασης α΄τετραμήνου 2024 στα Διανύσματα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο : Η Ευθεία στο Επίπεδο
2.1 Εξίσωση Ευθείας 57
2.2 Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 65
2.3 Εμβαδόν Τριγώνου 70
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο : Κωνικές Τομές
3.1 Ο Κύκλος 81
3.2 Η Παραβολή 89
3.3 Η Έλλειψη 100
3.4 Η Υπερβολή 113
3.5 Η Εξίσωση Αx2 + By2 + Γx + Δy + E = 0 125
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Θεωρία Αριθμών
4.1 Η Μαθηματική Επαγωγή 135
4.2 Ευκλείδεια Διαίρεση 140
4.3 Διαιρετότητα 145
4.4 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης – Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο 150
4.5 Πρώτοι Αριθμοί 161
4.6 Η Γραμμική Διοφαντική Εξίσωση 170
4.7 Ισοϋπόλοιποι Αριθμοί 175
Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αναλογίες 7
7.1 Εισαγωγή.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.2 Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε ν ίσα μέρη.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.3 Γινόμενο ευθύγραμμου τμήματος με αριθμό –
Λόγος ευθύγραμμων τμημάτων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.4 Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα – Αναλογίες.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
7.5 Μήκος ευθύγραμμου τμήματος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
7.6 Διαίρεση τμημάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσμένο λόγο.. . . . . . . . . .11
7.7 Θεώρημα του Θαλή.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Το Θεώρημα του Θαλή και οι εφαρμογές του
7.8 Θεωρήματα των διχοτόμων τριγώνου
7.9 Απολλώνιος Κύκλος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ομοιότητα 31
8.1 Όμοια ευθύγραμμα σχήματα………………………………………………………………….32
8.2 Κριτήρια ομοιότητας……………………………………………………………………………………….. 33
Σημαντικές ασκήσεις στα Κεφάλαια 7, 8
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μετρικές σχέσεις 43
9.1 Ορθές προβολές.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
9.2 Το Πυθαγόρειο θεώρημα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
9.3 Γεωμετρικές κατασκευές.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
9.5 Θεωρήματα Διαμέσων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
9.6 Βασικοί γεωμετρικοί τόποι.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
9.7 Τέμνουσες κύκλου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Εμβαδά 69
10.1 Πολυγωνικά χωρία.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
10.2 Εμβαδόν ευθύγραμμου σχήματος – Ισοδύναμα ευθύγραμμα σχήματα. . . . . . . . . .70
10.3 Εμβαδόν βασικών ευθύγραμμων σχημάτων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
10.4 Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
10.5 Λόγος εμβαδών όμοιων τριγώνων – πολυγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
10.6 Μετασχηματισμός πολυγώνου σε ισοδύναμό του.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μέτρηση κύκλου 89
11.1 Ορισμός κανονικού πολυγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
11.2 Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών πολυγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους.. . . . . . . .95
Κατασκευή δύο Κανονικών Πολυγώνων με χρήση Κουμπιών
————————————————————————————————————————————————————-
To πρόβλημα της χρυσής τομής και η κατασκευή της πλευράς του κανονικού 10-γώνου
1ο , 2ο αρχεία Geogebra σε σχέση με το παραπάνω.
Θυμίζουμε ότι για να κατεβάσετε στον υπολογιστή σας τα αρχεία με επέκταση *.ggb, πρέπει να κάνετε τα παρακάτω:
- με δεξί κλικ πάνω στους συνδέσμους, να αντιγράψετε διαδοχικά τις διευθύνσεις αυτών των δύο αρχείων,
- να τα ανοίξετε από τον browser σας σε καινούριο παράθυρο,
- να τα κατεβάσετε σε μία διεύθυνση του σκληρού δίσκου (συνήθως Download) και,
- να τα τρέξετε στον υπολογιστή σας, εφόσον βέβαια έχετε εγκαταστήσει το Geogebra Classic 5.
————————————————————————————————————————————————————————–
11.4 Προσέγγιση του μήκους του κύκλου με κανονικά πολύγωνα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
11.5 Μήκος τόξου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
11.6 Προσέγγιση του εμβαδού κύκλου με κανονικά πολύγωνα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
11.7 Εμβαδόν κυκλικού τομέα και κυκλικού τμήματος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
11.8 Τετραγωνισμός κύκλου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ευθείες και επίπεδα στο χώρο 115
12.1 Εισαγωγή.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
12.2 Η έννοια του επιπέδου και ο καθορισμός του.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
12.3 Σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
12.4 Ευθείες και επίπεδα παράλληλα – Θεώρημα του Θαλή.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
12.5 Γωνία δύο ευθειών – Ορθογώνιες ευθείες.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
12.6 Απόσταση σημείου από επίπεδο –
Απόσταση δυο παράλληλων επιπέδων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.7 Δίεδρη γωνία – Αντίστοιχη επίπεδη μιας δίεδρης – Κάθετα επίπεδα.. . . . . . . . . . . . . . . 135
12.8 Προβολή σημείου και ευθείας σε επίπεδο –
Γωνία ευθείας και επιπέδου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Στερεά σχήματα 145
13.1 Περί πολυέδρων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
13.2 Ορισμός και στοιχεία του πρίσματος. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
13.3 Παραλληλεπίπεδο – κύβος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
13.4 Μέτρηση πρίσματος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
13.5 Ορισμός και στοιχεία πυραμίδας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
13.6 Κανονική πυραμίδα – Τετράεδρο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
13.7 Μέτρηση πυραμίδας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
13.8 Ορισμός και στοιχεία κόλουρης πυραμίδας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
13.9 Μέτρηση κόλουρης ισοσκελούς πυραμίδας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
13.10 Στερεά εκ περιστροφής.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
13.11 Ορισμός και στοιχεία κυλίνδρου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
13.12 Μέτρηση κυλίνδρου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165
13.13 Ορισμός και στοιχεία κώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
13.14 Μέτρηση του κώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
13.15 Κόλουρος κώνος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169
13.16 Ορισμός και στοιχεία σφαίρας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
13.17 Θέσεις ευθείας και επιπέδου ως προς σφαίρα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
13.18 Μέτρηση σφαίρας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
13.19 Κανονικά πολύεδρα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
==============================================================================================
Αλγεβρα B΄ Λυκείου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο : Συστήματα
1.1 Γραμμικά Συστήματα
Επίλυση της άσκησης 10 σελίδας 23 του βιβλίου της Αλγεβρας Β΄ Λυκείου
Ερωτήματα σχετικά με άσκηση επίλυσης συστήματος
Γραφική επίλυση δύο συστημάτωv 3×3
1.2 Μη Γραμμικά Συστήματα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο : Ιδιότητες Συναρτήσεων
2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης
2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο : Τριγωνομετρία
3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας
3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες
3.3 Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο
Ασκηση 1 σελίδα 70, σελίδες: 1, 2, 3
3.4 Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις
Άσκηση στις γραφικές παραστάσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων
(http://users.sch.gr/tournavitis/lesson_7_trig_functions.pdf)
Σημασία της προηγούμενης άσκησης για την Φυσική
3.5 Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις
3.6 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος Γωνιών
3.7 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί της Γωνίας 2α
3.8 Μετασχηματισμοί Τριγωνομετρικών Παραστάσεων
3.9 Η Συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx
3.10 Επίλυση Τριγώνου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο : Πολυώνυμα-Πολυωνυμικές Εξισώσεις
4.1 Πολυώνυμα
4.2 Διαίρεση Πολυωνύμων
4.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις
4.4 Εξισώσεις και Ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο : Εκθετική και Λογαριθμική Συνάρτηση
5.1 Εκθετική συνάρτηση
5.2 Λογάριθμοι
5.3 Λογαριθμική συνάρτηση
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
====================================================================
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία … 9
1.1 Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας … 10
1.2 Ιστορική αναδρομή στη γένεση και ανάπτυξη της Γεωμετρίας … 12
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα … 15
2.1 Σημεία, γραμμές και επιφάνειες … 16
2.2 Το επίπεδο … 16
2.3 Η ευθεία … 17
2.4 Η ημιευθεία … 17
2.5 Το ευθύγραμμο τμήμα … 17
2.6 Μετατοπίσεις στο επίπεδο … 18
2.7 Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων … 18
2.8 Πράξεις μεταξύ ευθύγραμμων τμημάτων … 19
2.9 Μήκος ευθύγραμμου τμήματος – Απόσταση δύο σημείων … 20
2.10 Σημεία συμμετρικά ως προς κέντρο … 20
2.11 Ημιεπίπεδα … 21
2.12 Η γωνία.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.13 Σύγκριση γωνιών.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες
2.14 Ευθεία κάθετη από σημείο σε ευθεία.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.15 Πράξεις μεταξύ γωνιών.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.16 Απλές σχέσεις γωνιών.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.17 Έννοια και στοιχεία του κύκλου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.18 Επίκεντρη γωνία – Σχέση επίκεντρης γωνίας και τόξου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.19 Μέτρο τόξου και γωνίας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.20 Τεθλασμένη γραμμή – Πολύγωνο – Στοιχεία πολυγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τρίγωνα 39
3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Άσκηση στα κριτήρια ισότητας τριγώνων
3.5 Ύπαρξη και μοναδικότητα καθέτου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7 Κύκλος – Μεσοκάθετος – Διχοτόμος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8 Κεντρική συμμετρία.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.9 Αξονική συμμετρία.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.12 Τριγωνική ανισότητα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Προβλήματα ελαχίστου δρόμου
3.13 Κάθετες και πλάγιες.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.15 Εφαπτόμενα τμήματα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.16 Σχετικές θέσεις δυο κύκλων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.17 Απλές γεωμετρικές κατασκευές.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Test α΄τετραμήνου 2024 σελίδες: 1, 2, 3, 4, 5, 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παράλληλες ευθείες 79
4.1 Εισαγωγή.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Τέμνουσα δύο ευθειών – Ευκλείδειο αίτημα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 Γωνίες με πλευρές παράλληλες.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5 Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6 Άθροισμα γωνιών τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.7 Γωνίες με πλευρές κάθετες.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.8 Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Παραλληλόγραμμα – Τραπέζια 101
5.1 Εισαγωγή.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
5.2 Παραλληλόγραμμα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
5.3 Ορθογώνιο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
5.4 Ρόμβος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
5.5 Τετράγωνο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
- Ασκήσεις στα παραλληλόγραμμα
- H άσκηση 7 σελίδα 118 από το βιβλίο της Ευκλείδιας Γεωμετρίας ΟΕΔΒ 1999 (υπάρχει ο σύνδεσμος στο βιβλίο στο τέλος αυτής της σελίδας)
στο Geogebra και σε html στο tube.geogebra.org
5.6 Εφαρμογές στα τρίγωνα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
5.9 Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
5.10 Τραπέζιο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
5.11 Ισοσκελές τραπέζιο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
5.12 Αξιοσημείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εγγεγραμμένα σχήματα 127
6.1 Εισαγωγικά – Ορισμοί.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
6.2 Σχέση εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρης.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
6.3 Γωνία χορδής και εφαπτομένης.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
6.4 Βασικοί γεωμετρικοί τόποι στον κύκλο
Τόξο κύκλου που δέχεται γνωστή γωνία.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
6.5 Το εγγεγραμένο τετράπλευρο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
6.6 Το εγγράψιμο τετράπλευρο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
6.7 Γεωμετρικοί τόποι και γεωμετρικές κατασκευές
με τη βοήθεια των γεωμετρικών τόπων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
- To πρόβλημα της σελίδας 127 (κατασκευής ενός γεωμετρικού τόπου) με το πρόγραμμα Geogebra:
Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και μία γωνία φ. Να κατασκευαστεί τόξο κύκλου που να έχει χορδή το ΑΒ και να δέχεται γωνία φ.
ΠΑΡΆΡΤΗΜΑ A΄.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
Το βιβλίο Γεωμετρίας Α΄και Β΄Λυκείου των Θωμαίδη, Ξένου, Παντελίδη, Πούλου, Στάμου,
μπορείτε να το κατεβάσετε από έναν από τους παρακάτω συνδέσμους:
https://mathbooksgr.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/02/eykleideia_gewmetpia_1999.pdf
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ε.1 Το Λεξιλόγιο της Λογικής ………………………………………………………………………………..9
Ε.2 Σύνολα …………………………………………………………………………………………………………13
Διάγραμμα Venn της σχέσης εγκλεισμού του R και των υποσυνόλων του και απόδειξη των νόμων DeMorgan για δύο σύνολα.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1o: Πιθανότητες
1.1 Δειγματικός Χώρος – Ενδεχόμενα………………………………………………………………………20
1.2 Έννοια της Πιθανότητας ………………………………………………………………………………….29
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2o: Οι Πραγματικοί Αριθμοί
2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους ………………………………………………………………………43
2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών ……………………………………………………………………….54
2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού ………………………………………………………………..61
2.4 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών ……………………………………………………………………………69
Ασκήσεις στις απόλυτες τιμές και ρίζες
Θέματα εξέτασης α΄ τετραμήνου 2024
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3o: Εξισώσεις
3.1 Εξισώσεις 1ου Βαθμού ……………………………………………………………………………………79
3.2 Η Εξίσωση x^ν = α…………………………………………………………………………………………….86
3.3 Εξισώσεις 2ου Βαθμού ……………………………………………………………………………………88
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4o: Ανισώσεις
4.1 Ανισώσεις 1ου Βαθμού ………………………………………………………………………………….101
4.2 Ανισώσεις 2ου Βαθμού ………………………………………………………………………………….106
4.3 Ανισώσεις Γινόμενο & Ανισώσεις Πηλίκο…………………………………………………………115
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5o: Πρόοδοι
5.1 Ακολουθίες …………………………………………………………………………………………………..121
5.2 Αριθμητική Πρόοδος………………………………………………………………………………………125
5.3 Γεωμετρική Πρόοδος……………………………………………………………………………………..132
5.4 Ανατοκισμός – Ίσες Καταθέσεις……………………………………………………………………….141
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6o: Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων
6.1 Η Έννοια της Συνάρτησης ……………………………………………………………………………..145
6.2 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης……………………………………………………………………152
6.3 Η Συνάρτηση f (x) = αx + β……………………………………………………………………………159
6.4 Κατακόρυφη – Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης ……………………………………………..168
6.5 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης ………………………………………………..175
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7o: Μελέτη Βασικών Συναρτήσεων
7.1 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = αx^2…………………………………………………………………188
7.2 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = α/x ………………………….194
7.3 Μελέτη της Συνάρτησης f (x) = αx^2 + βx + γ…………………………………………………….199
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ …………………………………………………………………………. 207
Mαθηματικά
- A΄ Γυμνασίου
- Β΄ Γυμνασίου Ένα άρθρο για τις δυνάμεις αριθμών, που είχα γράψει για το περιοδικό Ευκλείδη Α΄
- Γ΄ Γυμνασίου
- Α΄Λυκείου
- Β΄Λυκείου
- Γ΄ Λυκείου
e-class, παρουσιάσεις στο youtube, δραστηριότητες στη σελίδα του Geogebra, συγγραφικό έργο
-
το ιστολόγιό μου (blog) στο σχολικό δίκτυo
-
είναι τιμή για μένα να είμαι ένας από τους συντάκτες στα περιοδικά της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας:
-
όπως επίσης και στις σελίδες του blog του σχολείου: σελίδα Μαθηματικών, σκάκι
-
Μαθηματικά στην eclass (υπό διαμόρφωση για το τρέχον σχολικό έτος 2024-25)
-
Άλγεβρα Α΄ Λυκείου
-
Γεωμετρία Α΄Λυκείου
-
Άλγεβρα Β΄Λυκείου
-
Project στο Geogebra μαζί με τις τελικές εργασίες των τεσσάρων ομάδων
-
εργασίες από τον 1o, 2o προσωπικό ιστότοπο του προγράμματος Geogebra
- συγγραφικό έργο
Διάφορα θέματα που σχετίζονται με τα Μαθηματικά, τις Φυσικές επιστήμες κ.ά.
(Αν επιθυμείτε να επιστρέψετε στην παρούσα σελίδα, χρησιμοποιείστε το αριστερό βελάκι του φυλλομετρητή σας, γιατί η σελίδα της otenet έχει καταργηθεί)
-
-
Όταν δίδασκα την html ... Μια άσκηση για το <a> tag
-
-
-
Programming Languages (C, C++, Java, Python, etc)
-
Παραδείγματα μελλοντικών … μικροεφαρμογών με Java, σενάρια – προγράμματα με JavaScript
-
-
ΜΠΣ Εφαρμοσμένα Πληροφοριακά Συστήματα Διπλωματική Εργασία: «Matlab για την Μέση και Ανώτατη Εκπαίδευση»
-
Computer Science and Advanced Maths
Questions or problems regarding this web site should be directed to: tournavitis.stergios@yahoo.gr
Copyright © 1999 by Stergios Tournavitis. All rights reserved.