ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία … 9
1.1 Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας … 10
1.2 Ιστορική αναδρομή στη γένεση και ανάπτυξη της Γεωμετρίας … 12
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα βασικά γεωμετρικά σχήματα … 15
2.1 Σημεία, γραμμές και επιφάνειες … 16
2.2 Το επίπεδο … 16
2.3 Η ευθεία … 17
2.4 Η ημιευθεία … 17
2.5 Το ευθύγραμμο τμήμα … 17
2.6 Μετατοπίσεις στο επίπεδο … 18
2.7 Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων … 18
2.8 Πράξεις μεταξύ ευθύγραμμων τμημάτων … 19
2.9 Μήκος ευθύγραμμου τμήματος – Απόσταση δύο σημείων … 20
2.10 Σημεία συμμετρικά ως προς κέντρο … 20
2.11 Ημιεπίπεδα … 21
2.12 Η γωνία.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.13 Σύγκριση γωνιών.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες
2.14 Ευθεία κάθετη από σημείο σε ευθεία.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.15 Πράξεις μεταξύ γωνιών.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.16 Απλές σχέσεις γωνιών.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.17 Έννοια και στοιχεία του κύκλου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.18 Επίκεντρη γωνία – Σχέση επίκεντρης γωνίας και τόξου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.19 Μέτρο τόξου και γωνίας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.20 Τεθλασμένη γραμμή – Πολύγωνο – Στοιχεία πολυγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Τρίγωνα 39
3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Άσκηση στα κριτήρια ισότητας τριγώνων
3.5 Ύπαρξη και μοναδικότητα καθέτου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6 Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.7 Κύκλος – Μεσοκάθετος – Διχοτόμος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8 Κεντρική συμμετρία.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.9 Αξονική συμμετρία.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.10 Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.11 Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.12 Τριγωνική ανισότητα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Προβλήματα ελαχίστου δρόμου
3.13 Κάθετες και πλάγιες.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.14 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.15 Εφαπτόμενα τμήματα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.16 Σχετικές θέσεις δυο κύκλων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.17 Απλές γεωμετρικές κατασκευές.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.18 Βασικές κατασκευές τριγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Test α΄τετραμήνου 2024 σελίδες: 1, 2, 3, 4, 5, 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Παράλληλες ευθείες 79
4.1 Εισαγωγή.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Τέμνουσα δύο ευθειών – Ευκλείδειο αίτημα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Κατασκευή παράλληλης ευθείας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 Γωνίες με πλευρές παράλληλες.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5 Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6 Άθροισμα γωνιών τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.7 Γωνίες με πλευρές κάθετες.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.8 Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Παραλληλόγραμμα – Τραπέζια 101
5.1 Εισαγωγή.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
5.2 Παραλληλόγραμμα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
5.3 Ορθογώνιο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
5.4 Ρόμβος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
5.5 Τετράγωνο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
- Ασκήσεις στα παραλληλόγραμμα
- H άσκηση 7 σελίδα 118 από το βιβλίο της Ευκλείδιας Γεωμετρίας ΟΕΔΒ 1999 (υπάρχει ο σύνδεσμος στο βιβλίο στο τέλος αυτής της σελίδας)
στο Geogebra και σε html στο tube.geogebra.org
5.6 Εφαρμογές στα τρίγωνα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
5.8 Το ορθόκεντρο τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
5.9 Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
5.10 Τραπέζιο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
5.11 Ισοσκελές τραπέζιο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
5.12 Αξιοσημείωτες ευθείες και κύκλοι τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Εγγεγραμμένα σχήματα 127
6.1 Εισαγωγικά – Ορισμοί.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
6.2 Σχέση εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρης.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
6.3 Γωνία χορδής και εφαπτομένης.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
6.4 Βασικοί γεωμετρικοί τόποι στον κύκλο
Τόξο κύκλου που δέχεται γνωστή γωνία.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
6.5 Το εγγεγραμένο τετράπλευρο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
6.6 Το εγγράψιμο τετράπλευρο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
6.7 Γεωμετρικοί τόποι και γεωμετρικές κατασκευές
με τη βοήθεια των γεωμετρικών τόπων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
- To πρόβλημα της σελίδας 127 (κατασκευής ενός γεωμετρικού τόπου) με το πρόγραμμα Geogebra:
Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και μία γωνία φ. Να κατασκευαστεί τόξο κύκλου που να έχει χορδή το ΑΒ και να δέχεται γωνία φ.
ΠΑΡΆΡΤΗΜΑ A΄.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
Το βιβλίο Γεωμετρίας Α΄και Β΄Λυκείου των Θωμαίδη, Ξένου, Παντελίδη, Πούλου, Στάμου,
μπορείτε να το κατεβάσετε από έναν από τους παρακάτω συνδέσμους:
https://mathbooksgr.wordpress.com/wp-content/uploads/2013/02/eykleideia_gewmetpia_1999.pdf