Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Αναλογίες 7
7.1 Εισαγωγή.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.2 Διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος σε ν ίσα μέρη.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.3 Γινόμενο ευθύγραμμου τμήματος με αριθμό –
Λόγος ευθύγραμμων τμημάτων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
7.4 Ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα – Αναλογίες.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
7.5 Μήκος ευθύγραμμου τμήματος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
7.6 Διαίρεση τμημάτων εσωτερικά και εξωτερικά ως προς δοσμένο λόγο.. . . . . . . . . .11
7.7 Θεώρημα του Θαλή.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Το Θεώρημα του Θαλή και οι εφαρμογές του
7.8 Θεωρήματα των διχοτόμων τριγώνου
7.9 Απολλώνιος Κύκλος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ομοιότητα 31
8.1 Όμοια ευθύγραμμα σχήματα………………………………………………………………….32
8.2 Κριτήρια ομοιότητας……………………………………………………………………………………….. 33
Σημαντικές ασκήσεις στα Κεφάλαια 7, 8
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μετρικές σχέσεις 43
9.1 Ορθές προβολές.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
9.2 Το Πυθαγόρειο θεώρημα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
9.3 Γεωμετρικές κατασκευές.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
9.5 Θεωρήματα Διαμέσων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
9.6 Βασικοί γεωμετρικοί τόποι.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
9.7 Τέμνουσες κύκλου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Εμβαδά 69
10.1 Πολυγωνικά χωρία.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
10.2 Εμβαδόν ευθύγραμμου σχήματος – Ισοδύναμα ευθύγραμμα σχήματα. . . . . . . . . .70
10.3 Εμβαδόν βασικών ευθύγραμμων σχημάτων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
10.4 Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
10.5 Λόγος εμβαδών όμοιων τριγώνων – πολυγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
10.6 Μετασχηματισμός πολυγώνου σε ισοδύναμό του.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Μέτρηση κύκλου 89
11.1 Ορισμός κανονικού πολυγώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
11.2 Ιδιότητες και στοιχεία κανονικών πολυγώνων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και στοιχεία τους.. . . . . . . .95
Κατασκευή δύο Κανονικών Πολυγώνων με χρήση Κουμπιών
————————————————————————————————————————————————————-
To πρόβλημα της χρυσής τομής και η κατασκευή της πλευράς του κανονικού 10-γώνου
1ο , 2ο αρχεία Geogebra σε σχέση με το παραπάνω.
Θυμίζουμε ότι για να κατεβάσετε στον υπολογιστή σας τα αρχεία με επέκταση *.ggb, πρέπει να κάνετε τα παρακάτω:
- με δεξί κλικ πάνω στους συνδέσμους, να αντιγράψετε διαδοχικά τις διευθύνσεις αυτών των δύο αρχείων,
- να τα ανοίξετε από τον browser σας σε καινούριο παράθυρο,
- να τα κατεβάσετε σε μία διεύθυνση του σκληρού δίσκου (συνήθως Download) και,
- να τα τρέξετε στον υπολογιστή σας, εφόσον βέβαια έχετε εγκαταστήσει το Geogebra Classic 5.
————————————————————————————————————————————————————————–
11.4 Προσέγγιση του μήκους του κύκλου με κανονικά πολύγωνα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
11.5 Μήκος τόξου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
11.6 Προσέγγιση του εμβαδού κύκλου με κανονικά πολύγωνα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
11.7 Εμβαδόν κυκλικού τομέα και κυκλικού τμήματος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
11.8 Τετραγωνισμός κύκλου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 Ευθείες και επίπεδα στο χώρο 115
12.1 Εισαγωγή.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
12.2 Η έννοια του επιπέδου και ο καθορισμός του.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
12.3 Σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
12.4 Ευθείες και επίπεδα παράλληλα – Θεώρημα του Θαλή.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
12.5 Γωνία δύο ευθειών – Ορθογώνιες ευθείες.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
12.6 Απόσταση σημείου από επίπεδο –
Απόσταση δυο παράλληλων επιπέδων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.7 Δίεδρη γωνία – Αντίστοιχη επίπεδη μιας δίεδρης – Κάθετα επίπεδα.. . . . . . . . . . . . . . . 135
12.8 Προβολή σημείου και ευθείας σε επίπεδο –
Γωνία ευθείας και επιπέδου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 Στερεά σχήματα 145
13.1 Περί πολυέδρων.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
13.2 Ορισμός και στοιχεία του πρίσματος. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
13.3 Παραλληλεπίπεδο – κύβος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
13.4 Μέτρηση πρίσματος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
13.5 Ορισμός και στοιχεία πυραμίδας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
13.6 Κανονική πυραμίδα – Τετράεδρο.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
13.7 Μέτρηση πυραμίδας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
13.8 Ορισμός και στοιχεία κόλουρης πυραμίδας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
13.9 Μέτρηση κόλουρης ισοσκελούς πυραμίδας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
13.10 Στερεά εκ περιστροφής.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
13.11 Ορισμός και στοιχεία κυλίνδρου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
13.12 Μέτρηση κυλίνδρου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165
13.13 Ορισμός και στοιχεία κώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
13.14 Μέτρηση του κώνου.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
13.15 Κόλουρος κώνος.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169
13.16 Ορισμός και στοιχεία σφαίρας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
13.17 Θέσεις ευθείας και επιπέδου ως προς σφαίρα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
13.18 Μέτρηση σφαίρας.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
13.19 Κανονικά πολύεδρα.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
==============================================================================================