Solve my maths (13)

Ένα πρόβλημα από τον Ed Southall:

Όλα τα ευθύγραμμα τμήματα του σχήματος έχουν το ίδιο μήκος a.
Το εμβαδό του οκταγώνουν είναι:

    \[E_0=2(1+\sqrt{2})a^2\]

Η εσωτερική γωνία του οκταγώνου είναι \frac{n-2}{n}180^o για n=8 δηλαδή 135^o. Οπότε ο κάθε ρόμβος έχει γωνία κλίσης 45^o και εμβαδό E_1=\beta\cdot\upsilon δηλαδή E_1=a^2\sin 45^o = \frac{\sqrt{2}}{2}a^2.
Οπότε το εμβαδό της άσπρης περιοχής είναι:

(1)   \begin{eqnarray*} E_2 &=& 2E_1 + a^2\\ &=& 2\frac{\sqrt{2}}{2}a^2 + a^2\\ &=& (\sqrt{2}+1)a^2 \end{eqnarray*}

Οπότε ο λόγος που μας ζητείται είναι:

(2)   \begin{eqnarray*} \frac{E-E_2}{E} &=&\frac{2(1+\sqrt{2})a^2-(\sqrt{2}+1)a^2}{2(1+\sqrt{2})a^2}\\ &=&\frac{(1+\sqrt{2})a^2}{2(1+\sqrt{2})a^2}\\ &=&\frac{1}{2} \end{eqnarray*}

Το εμβαδό ενός ρόμβου με γωνία κλίσης \theta και πλευρά a είναι:

    \[E=a^2\sin\theta\]

Αφήστε μια απάντηση