Solve my maths (8)

Ένα πρόβλημα από τον Ed Southall:

Το εμβαδό του πενταγώνου με πλευρά a δίνεται από τον τύπο

    \[E_0=\frac{1}{4}\sqrt{5(5+\sqrt{5})}a^2\]

Από αυτό πρέπει να αφαιρέσουμε τους δύο κυκλικούς τομείς με γωνία 108^o που ο καθένας τους έχει εμβαδό:

(1)   \begin{eqnarray*} E_1&=&\pi a^2\frac{108}{360}\\ &=&\frac{3\pi}{10}a^2 \end{eqnarray*}

Όμως αυτοί οι δύο τομείς έχουν μια επικαλυπτόμενη περιοχή και αν αφαιρέσουμε και τους δύο θα αφαιρεθεί δυο φορές. Ας ονομάσουμε E_2 την επικαλυπτόμενη περιοχή τότε το εμβαδό της ροζ περιοχής είναι:

    \[E_\textrm{ροζ}=E_0-2E_1+E_2\]

Η επικαλυπτόμενη περιοχή έχει εμβαδό το άθροισμα δύο τομέων με γωνία 60^o αν αφαιρέσουμε το εμβαδό του ισόπλευρου τριγώνου που βρίσκεται στο εσωτερικό του οπότε:

(2)   \begin{eqnarray*} E_2 &=& \frac{60}{360}\pi a^2 + \frac{60}{360}\pi a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\\ &=& \frac{\pi}{3}a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \end{eqnarray*}

Οπότε το εμβαδό της ροζ περιοχής είναι:

(3)   \begin{eqnarray*} E_\textrm{ροζ}&=&E_0-2E_1+E_2\\ &=&\frac{1}{4}\sqrt{5(5+\sqrt{5})}a^2-2\frac{3\pi}{10}a^2 + \frac{\pi}{3}a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\\ &=&\left(\frac{1}{4}\sqrt{5(5+\sqrt{5})}-\frac{6\pi}{10} + \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)a^2 \end{eqnarray*}

Τέλος το ποσοστό της ροζ περιοχής σε σχέση με το πεντάγωνο είναι:

(4)   \begin{eqnarray*} \frac{E_\textrm{ροζ}}{E_0}&=&\frac{\left(\frac{1}{4}\sqrt{5(5+\sqrt{5})}-\frac{6\pi}{10} + \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)a^2}{\frac{1}{4}\sqrt{5(5+\sqrt{5})}a^2}\\ &=&\frac{\frac{1}{4}\sqrt{5(5+\sqrt{5})}-\frac{6\pi}{10} + \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4}\sqrt{5(5+\sqrt{5})}}\\ &\approx& 15.5\% \end{eqnarray*}

Το συνημίτονο των 72^o είναι ίσο με το μισό του λόγου της χρυσής τομής \phi.

    \[\cos 72^o = \frac{\phi}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{4}\]

Αφήστε μια απάντηση