Solve my maths (5)

Ένα πρόβλημα από τον Ed Southall:

What fraction of the equilateral triangle is shaded? #math #maths #puzzle #geometry

A post shared by Ed Southall (@solvemymaths) on

Ας ονομάσουμε a την πλευρά του τριγώνου τότε το ύψος του τριγώνου b είναι:

(1)   \begin{eqnarray*} b&=&a\sin 60^o\\ &=&\frac{\sqrt{3}}{2}a\\ \end{eqnarray*}

Οπότε το εμβαδό του τριγώνου είναι:

(2)   \begin{eqnarray*} E_0&=&\frac{1}{2}ab\\ &=&\frac{1}{2}a\frac{\sqrt{3}}{2}a\\ &=&\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \end{eqnarray*}

Η ακτίνα του κυκλικού τομέα είναι b οπότε το εμβαδό του κυκλικού τομέα είναι:

(3)   \begin{eqnarray*} E_1&=&\pi b^2\frac{60}{360}\\ &=&\frac{\pi}{6}b^2\\ &=&\frac{\pi}{6}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2\\ &=&\frac{\pi}{6}\frac{3}{4}a^2\\ &=&\frac{\pi}{8}a^2 \end{eqnarray*}

Το εμβαδό της γραμμοσκιασμένης περιοχής είναι:

(4)   \begin{eqnarray*} E_0-E_1&=&\frac{\sqrt{3}}{4}a^2-\frac{\pi}{8}a^2\\ &=&\left(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{8}\right)a^2\\ &=&\frac{2\sqrt{3}-\pi}{8}a^2\\ \end{eqnarray*}

Και το ποσοστό της γραμμοσκιασμένης περιοχής ως προς το εμβαδό του τριγώνου είναι:

(5)   \begin{eqnarray*} \frac{E_0-E_1}{E_0}&=&\frac{\frac{2\sqrt{3}-\pi}{8}a^2}{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}\\ &=&\frac{4(2\sqrt{3}-\pi)}{8\sqrt{3}}\\ &=&\frac{2\sqrt{3}-\pi}{2\sqrt{3}}\\ &=&1-\frac{\pi}{2\sqrt{3}} \end{eqnarray*}

Πράξεις σαν αυτή, μπορεί να τις κάνει η μηχανή WolframAlpha, έτσι βρίσκουμε ότι το ποσοστό είναι περίπου 9,31%. Δείτε εδώ τον υπολογισμό: http://www.wolframalpha.com/input/?i=1-pi/(2sqrt(3)).

Το εμβαδό κυκλικού τομέα \mu μοιρών είναι:

    \[E=\pi R^2\frac{\mu}{360^o}\]

Αφήστε μια απάντηση