Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Γνωρίζω ποια σχέση συνδέει:

  • Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς παραπληρωματικών γωνιών
  • Τις γωνίες που έχουν το ίδιο ημίτονο. .
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy να πάρετε το σημείο Μ(3, 4).

1. Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Μ΄, που είναι συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα y΄y;

2. Να εξηγήσετε γιατί οι γωνίες xM = ω και xM΄ = φ είναι παραπληρωματικές.

3. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών ω και φ και τη σχέση που τους συνδέει.

 

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Μικροπείραμα μικροπείραμα

εικόνα

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy παίρνουμε το σημείο Μ(3, 4) και βρίσκουμε το συμμετρικό του σημείο Μ΄(-3, 4) ως προς τον άξονα y΄y. Αν ονομάσουμε ω τη γωνία xÔM, τότε λόγω συμμετρίας είναι x΄ÔM΄ = ω, οπότε για τη γωνία φ = xÔM΄ ισχύει φ = 180º – ω, που σημαίνει ότι οι γωνίες ω και φ είναι παραπληρωματικές, αφού ω + φ = 180º. Έχουμε ακόμη ότι ρ = OM = OM΄ = √9+16 = √25 = 5, οπότε:

εικόνα

Παρατηρούμε λοιπόν, ότι:

Οι παραπληρωματικές γωνίες ω, φ = 180º – ω έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Γενικά

Για δύο παραπληρωματικές γωνίες ω και 180º − ω ισχύουν:

εικόνα

Με τους προηγούμενους τύπους μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας, αν γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της παραπληρωματικής της.

Για παράδειγμα,

εικόν

Στο προηγούμενο παράδειγμα βλέπουμε ότι οι παραπληρωματικές γωνίες 150º και 30º, αν και δεν είναι ίσες, έχουν το ίδιο ημίτονο. Επομένως:

Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και είναι από 0º μέχρι και 180º, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Για παράδειγμα, αν ημχ = ημ35o και 0 ≤ x ≤ 180º, τότε είναι x = 35º ή x = 180º – 35º, δηλαδή χ = 35º ή χ = 145º.

Αφήστε μια απάντηση