Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών

Γνωρίζω ποια σχέση συνδέει:

  • Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς παραπληρωματικών γωνιών
  • Τις γωνίες που έχουν το ίδιο ημίτονο. .
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy να πάρετε το σημείο Μ(3, 4).

1. Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Μ΄, που είναι συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα y΄y;

2. Να εξηγήσετε γιατί οι γωνίες xM = ω και xM΄ = φ είναι παραπληρωματικές.

3. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών ω και φ και τη σχέση που τους συνδέει.

 

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Μικροπείραμα μικροπείραμα

εικόνα

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy παίρνουμε το σημείο Μ(3, 4) και βρίσκουμε το συμμετρικό του σημείο Μ΄(-3, 4) ως προς τον άξονα y΄y. Αν ονομάσουμε ω τη γωνία xÔM, τότε λόγω συμμετρίας είναι x΄ÔM΄ = ω, οπότε για τη γωνία φ = xÔM΄ ισχύει φ = 180º – ω, που σημαίνει ότι οι γωνίες ω και φ είναι παραπληρωματικές, αφού ω + φ = 180º. Έχουμε ακόμη ότι ρ = OM = OM΄ = √9+16 = √25 = 5, οπότε:

εικόνα

Παρατηρούμε λοιπόν, ότι:

Οι παραπληρωματικές γωνίες ω, φ = 180º – ω έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Γενικά

Για δύο παραπληρωματικές γωνίες ω και 180º − ω ισχύουν:

εικόνα

Με τους προηγούμενους τύπους μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας, αν γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της παραπληρωματικής της.

Για παράδειγμα,

εικόν

Στο προηγούμενο παράδειγμα βλέπουμε ότι οι παραπληρωματικές γωνίες 150º και 30º, αν και δεν είναι ίσες, έχουν το ίδιο ημίτονο. Επομένως:

Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και είναι από 0º μέχρι και 180º, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Για παράδειγμα, αν ημχ = ημ35o και 0 ≤ x ≤ 180º, τότε είναι x = 35º ή x = 180º – 35º, δηλαδή χ = 35º ή χ = 145º.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας με 0º ≤ω ≤ 180º

  • Θυμάμαι πως ορίζονται οι τριγωνoμετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου.
  • Γνωρίζω πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0º ≤ω ≤ 180º
  • Μαθαίνω να υπολογίζω τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

εικοναΣε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy φέραμε την ημιευθεία OM, που σχηματίζει με τον ημιάξονα Ox γωνία ω.

1. Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου M και να υπολογίσετε την απόσταση του M από την αρχή O.

2. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

 

Μικροπείραμα μικροπείραμα

 

Στην προηγούμενη τάξη μάθαμε πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, του οποίου γνωρίζουμε τις πλευρές του. Συγκεκριμένα, μάθαμε ότι:

εικονα

εικονα

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται και με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. Αν σ´ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy πάρουμε το σημείο M(4, 3) και φέρουμε ΜΑ ⊥ x΄x και ΜΒ ⊥ y΄y, τότε έχουμε OA = 4 και OB = ΑΜ = 3. Oι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας
ω = x Ô M υπολογίζονται από το ορθογώνιο τρίγωνο OAM. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο αυτό για την απόσταση ρ =OM έχουμε ρ2 = 42 + 32,

εικόνα

εικόνα

Mε τη βοήθεια όμως ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων μπορούμε να ορίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας ω και όταν αυτή δεν είναι οξεία. Αν έχουμε μία αμβλεία γωνία ω, τότε την τοποθετούμε σ´ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy, έτσι ώστε η κορυφή της να συμπέσει με την αρχή O, η μία πλευρά της να συμπέσει με τον θετικό ημιάξονα Ox και η άλλη της πλευρά να βρεθεί στο 2ο τεταρτημόριο. Αν στην πλευρά αυτή πάρουμε ένα οποιοδήποτε σημείο M(x, y), διαφορετικό από το O, τότε για την απόσταση ρ = OM ισχύει

εικόνα

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω είναι:

εικόνα

 

Μικροπείραμαμικροπείραμα

Παρατηρούμε ότι:

  • Αν η γωνία ω είναι οξεία, τότε είναι x>0, y>0, ρ>0, οπότε: ημω>0, συνω>0, εφω>0.
  • Αν η γωνία ω είναι αμβλεία, τότε είναι x<0, y>0, ρ>0, οπότε: ημω>0, συνω<0, εφω<0.

Oι προηγούμενοι τύποι γενικεύονται και όταν ω = 0º ή ω = 90º ή ω = 180º.

Έτσι, μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών 0º, 90º και 180º.

εικόνα

εικονα

Όμοια τρίγωνα

Δύο τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ, όπως και δύο πολύγωνα, είναι όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

Δηλαδή αν έχουν
εικονα

Για να είναι λοιπόν δύο τρίγωνα όμοια πρέπει να ισχύουν όλες οι προηγούμενες ισότητες; Ευτυχώς όχι.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ που έχουν δύο γωνίες τους ίσες ( και ).

Αν τοποθετήσουμε το τρίγωνο ΔΕΖ πάνω στο ΑΒΓ, ώστε η γωνία εικονανα συμπέσει με την ίση της γωνία εικονα, τότε η πλευρά ΕΖ θα συμπέσει με τη ´ô και οι γωνίες εικοναεικονα΄ θα είναι ίσες. Άρα ´ô // ΒΓ και από το Θεώρημα του Θαλή έχουμε:

εικονα

Άρα το τρίγωνο Α´ô είναι ομοιόθετο του ΑΒΓ στην ομοιοθεσία με κέντρο Α και λόγοεικονα , οπότε Α´ô≈ ΑΒΓ. Επειδή τα τρίγωνα ΔΕΖ, Α´ô είναι ίσα, θα είναι και ΔΕΖ ≈ ΑΒΓ. Επομένως

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια.

Είδαμε λοιπόν, ότι αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια, οπότε θα έχουν και την τρίτη γωνία τους ίση και τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων

1ο κριτήριο ισότητας (Π – Γ – Π)

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα.

2ο κριτήριο ισότητας (Γ – Π – Γ).

 

Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

3ο κριτήριο ισότητας (Π – Π – Π)

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Το Πυθαγόρειο θεώρημα ή θεώρημα του Πυθαγόρα στα μαθηματικά, είναι σχέση της ευκλείδειας γεωμετρίας ανάμεσα στις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Συνεπώς αποτελεί θεώρημα της επίπεδης γεωμετρίας.[1]

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα, που εξ ονόματος αποδίδεται στον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα: «ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.».
Δηλαδή: «το τετράγωνο της υποτινούσης (της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία) ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών».

Γιατί το πυθαγόρειο θεώρημα παραμένει τόσο σπουδαίο 2.500 χρόνια μετά;

Ίσως το πιο γνωστό θεώρημα στον απέραντο κόσμο των μαθηματικών. Μια απλή σχέση τετραγωνικών αριθμών, που κρύβει μέσα της συνοψισμένη όλη την αίγλη της μαθηματικής επιστήμης.Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι δικαιολογημένα το πιο δημοφιλές και ταυτόχρονα μεγαλειώδες θεώρημα της μαθηματικής επιστήμης.

Οχι επειδή μέσω της λιτής μορφής του διαφαίνονται σκοτεινοί και απρόσιτοι κανόνες των αριθμών και των σχημάτων, αλλά διότι έχει την μοναδική ικανότητα να «μαγεύει» ακόμα και τους πλήρως μαθηματικά απαίδευτους.Δεν είναι τυχαίο άλλωστε το γεγονός ότι διδάσκεται μόλις στην Β” Γυμνασίου.

Ο παιδαγωγικός ρόλος αυτού του εκπληκτικού επινοήματος του Πυθαγόρα δεν έχει αρχή και τέλος. Τα μόνα προαπαιτούμενα που χρειάζεται η κατανόηση του είναι η έννοια της ορθής γωνίας, του τετραγωνικού αριθμού και της εξίσωσης. Αυτά τα τρία βασικά «συστατικά» συνθέτουν έναν απόλυτο μαθηματικό οργασμό, μια έκρηξη πληροφοριών δημιουργημένη δια μαγείας, σχεδόν εκ του μηδενός.«Το τετράγωνο της υποτείνουσας (της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία) ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών» λέει η σύγχρονη έκφραση του Πυθαγορείου, ελαφρώς παραλλαγμένη από αυτήν που συνέλαβε πριν 2.500 χρόνια ο τετραπέρατος νους του αρχαίου μαθηματικού.Χωρίς να έχει οριστεί η έννοια της «δύναμης» με την σημερινή της μορφή, ο Πυθαγόρας δεν θα μπορούσε να γράψει την σχέση α2+β2=γ2. Χρησιμοποίησε λοιπόν το παρακάτω σχήμα, εξηγώντας πως το εμβαδόν των δύο μικρότερων τετραγώνων ισούται ακριβώς με το εμβαδόν του μεγαλύτερου.Μια τεράστια μαθηματική ανακάλυψη για τα δεδομένα της εποχής, είχε αποτυπωθεί σε αυτό το απλό σχήμα. Καθένα από τα δύο μεγάλα τετράγωνα της εικόνας περιέχει τέσσερα ίσα τρίγωνα, γεγονός που σημαίνει πως η λευκή περιοχή των δύο τετραγώνων πρέπει να έχει ίσο εμβαδόν.

Το μαθηματικό ντόμινο που ακολούθησε – Πώς το Πυθαγόρειο Θεώρημα διέγειρε την φαντασία όλων των επιστημόνωνΑπό την στιγμή που αποδείχθηκε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, ξεκίνησε μια καινούργια εποχή για τα μαθηματικά.

Τα μυστικά που αποκάλυπτε αυτή η «σατανική» σχέση δεν είχαν τελειωμό, ενώ έπρεπε να περάσουν χιλιάδες χρόνια ώστε να ολοκληρωθεί το μαθηματικό ντόμινο που επέφερε.Η αρχή έγινε με την μελέτη του πιο απλού ορθογωνίου τριγώνου, με δύο πλευρές ίσες με 1. Η τρίτη πλευρά του τριγώνου, που ισούται με την τετραγωνική ρίζα του 2, είχε άγνωστες, μυστήριες ιδιότητες για τους μαθηματικούς της εποχής. Ενας άρρητος, μη μετρήσιμος αριθμός ερχόταν για πρώτη φορά τόσο «κοντά» με τους επιστήμονες, ενώ πλέον μπορούσε να γραφτεί και να υπολογιστεί κανονικά, με κανόνα και διαβήτη.

Η σκέψη πως υπάρχουν και άλλοι αριθμοί, πέραν των φυσικών και των ρητών, είχε ενσκήψει στα μυαλά των μαθηματικών, κάνοντας τους να διερωτώνται, να εξετάζουν και να φιλοσοφούν την ύπαρξη αυτών των περίεργων αρρήτων αριθμών.Το επόμενο κομμάτι του ντόμινο έπεσε όταν οι μαθηματικοί άρχισαν να περιεργάζονται τις «πυθαγόρειες τριάδες», που αντιστοιχούσαν στα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.
Τι κοινό έχει η τριάδα (3,4,5) με την (8,15,17);

Και οι δύο ικανοποιούν την γνωστή εξίσωση α2+β2=γ2, δημιουργώντας ορθογώνια τρίγωνα. Παράλληλα όμως, αποτελούνται από αριθμούς που είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Η Θεωρία Αριθμών, οι μεταγενέστερες «Διοφαντικές Εξισώσεις» και γενικά η μελέτη των πρώτων αριθμών είχαν βρει το τέλειο σκαλοπάτι ώστε να πατήσουν και να ανεγερθούν.

Οι 1000+1 λόγοι να αγαπήσει κανείς το θεώρημα που άλλαξε την μαθηματική ιστορία Θα ήταν αδύνατο να προσπαθήσει κανείς να περιγράψει αναλυτικά τις επιδράσεις που είχε η μεγαλοφυής ιδέα του Πυθαγόρα στην μετέπειτα ιστορία των μαθηματικών.
Οι περισσότερες από 370 διαφορετικές αποδείξεις του θεωρήματος, δείχνουν με τον πιο εμφανή τρόπο το τεράστιο επιστημονικό φάσμα που εμπεριέχεται σε ένα απλό ορθογώνιο τρίγωνο.

Γεωμετρία, τριγωνομετρία, άλγεβρα, διαφορικές εξισώσεις αλλά ακόμα και οι φανταστικοί μιγαδικοί αριθμοί, θεμελιώθηκαν χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα.Οι 370 και πλέον αποδείξεις όμως, μαρτυρούν και ένα ακόμα στοιχείο, ίσως σημαντικότερο από σύσσωμο το επιστημονικό ντόμινο.

Αποδεικνύουν την τεράστια επίδραση που έχει το Πυθαγόρειο Θεώρημα πάνω στους μαθητές που το γνωρίζουν.
Πάνω στους επιστήμονες που το μελετούν εκτενέστερα.

Πάνω στους ερευνητές που προσπαθούν να το «ξεζουμίσουν» λίγο ακόμα.
Το πρώτο και, ίσως, το μοναδικό μεγαλειώδες θεώρημα που μαθαίνουμε στο σχολείο, έχει την ικανότητα να διεγείρει την μαθηματική φαντασία του καθενός.

Μια κατανοητή και «προσιτή» σχέση, δείχνει πως ο κόσμος των μαθηματικών δεν είναι αναγκαία τρομακτικός. Σίγουρα όμως είναι ονειρικός.

pythagoras

Γιατί η 14 Μαρτίου είναι η Παγκόσμια Ημέρα του Π ;

Μια μέρα σαν και τη σημερινή, το 1879, γεννήθηκε ο γερμανός φυσικός Άλμπερτ Αϊνστάιν, που βραβεύθηκε με Νόμπελ ως «πατέρας» της θεωρίας της σχετικότητας. Κυρίως, όμως, η σημερινή μέρα έχει καθιερωθεί ως η                     «Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς ∏».

Η ημέρα γιορτάζεται σήμερα εξαιτίας των αριθμητικών συμπτώσεων. Ως γνωστόν, η τιμή της σταθεράς ∏=3,14 και και στο εξωτερικό, όπου γράφουν πρώτα το μήνα και μετά την ημέρα, σήμερα έχουμε 3-14 (14/3 βλέπετε).
Μάλιστα, η ημέρα γιορτάζεται με πάρτι σε πολλές μαθηματικές σχολές του κόσμου, ακριβώς στη 1.59 μετά το μεσημέρι, καθώς τα 1, 5 και 9 είναι οι τρεις αριθμοί που ακολουθούν τη σταθερά 3,14 η οποία στην επταψήφια εκδοχή της είναι ∏=3,14159.

Ο εορτασμός της ημέρας του «π» καθιερώθηκε το 1988 από τον Larry Shaw στο Φρανσίσκο.

  • Γιορτάζεται, δε, με την …κατανάλωση στρογγυλών πιτών – στα αγγλικά το ελληνικό γράμμα π θυμίζει την αγγλική λέξη pie (πίτα) η οποία προφέρεται ως «πάι».
  • Τι είναι το π; Η μαθηματική σταθερά π είναι ένας πραγματικός αριθμός που μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του στην Ευκλείδεια γεωμετρία, και ο οποίος χρησιμοποιείται πολύ συχνά στα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανολογία.
  • Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως Pi, όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ.

Η σημερινή ημερομηνία εμφανίζεται στο αμερικανικό ημερολόγιο ως 3/14 ή 3-14, τα οποία αντιστοιχούν στα δύο πρώτα ψηφία του αριθμού «π». Και αν θέλει κανείς να είναι ακόμα πιο ακριβής τότε στις 1:59 και 26 δευτερόλεπτα θα γιορτάζει το «π» παράγοντας τα επτά πρώτα ψηφία του, ήτοι τον αριθμό 3,1415926.

Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι

Για την απομνημόνευση των πρώτων λίγων δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π έχουν επινοηθεί διάφοροι μνημονικοί κανόνες, ανάμεσά τους και η παραπάτω φράση, με την οποία μπορεί να θυμάται κανείς τα πρώτα 23 δεκαδικά ψηφία του π

Τον μάθαμε στο σχολείο, ας κάναμε και αλλιώς, και σήμερα η google αφιερώνει το logo της σε αυτόν. Το π που προέρζεται από το πρώτο γράμμα της λέξης περιφέρεια μας βοηθα σύμφωνα με τον Ευκλέιδη να βρούμε την διάμετρο του κύκλου.

Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Το π είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ.