Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας με 0º ≤ω ≤ 180º

  • Θυμάμαι πως ορίζονται οι τριγωνoμετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου.
  • Γνωρίζω πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με 0º ≤ω ≤ 180º
  • Μαθαίνω να υπολογίζω τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

εικοναΣε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy φέραμε την ημιευθεία OM, που σχηματίζει με τον ημιάξονα Ox γωνία ω.

1. Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου M και να υπολογίσετε την απόσταση του M από την αρχή O.

2. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

 

Μικροπείραμα μικροπείραμα

 

Στην προηγούμενη τάξη μάθαμε πώς ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, του οποίου γνωρίζουμε τις πλευρές του. Συγκεκριμένα, μάθαμε ότι:

εικονα

εικονα

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται και με τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων. Αν σ´ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy πάρουμε το σημείο M(4, 3) και φέρουμε ΜΑ ⊥ x΄x και ΜΒ ⊥ y΄y, τότε έχουμε OA = 4 και OB = ΑΜ = 3. Oι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας
ω = x Ô M υπολογίζονται από το ορθογώνιο τρίγωνο OAM. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο αυτό για την απόσταση ρ =OM έχουμε ρ2 = 42 + 32,

εικόνα

εικόνα

Mε τη βοήθεια όμως ενός ορθοκανονικού συστήματος αξόνων μπορούμε να ορίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας ω και όταν αυτή δεν είναι οξεία. Αν έχουμε μία αμβλεία γωνία ω, τότε την τοποθετούμε σ´ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Oxy, έτσι ώστε η κορυφή της να συμπέσει με την αρχή O, η μία πλευρά της να συμπέσει με τον θετικό ημιάξονα Ox και η άλλη της πλευρά να βρεθεί στο 2ο τεταρτημόριο. Αν στην πλευρά αυτή πάρουμε ένα οποιοδήποτε σημείο M(x, y), διαφορετικό από το O, τότε για την απόσταση ρ = OM ισχύει

εικόνα

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω είναι:

εικόνα

 

Μικροπείραμαμικροπείραμα

Παρατηρούμε ότι:

  • Αν η γωνία ω είναι οξεία, τότε είναι x>0, y>0, ρ>0, οπότε: ημω>0, συνω>0, εφω>0.
  • Αν η γωνία ω είναι αμβλεία, τότε είναι x<0, y>0, ρ>0, οπότε: ημω>0, συνω<0, εφω<0.

Oι προηγούμενοι τύποι γενικεύονται και όταν ω = 0º ή ω = 90º ή ω = 180º.

Έτσι, μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών 0º, 90º και 180º.

εικόνα

εικονα

Yπενθυμίζουμε ότι η μηδενική χρέωση μέσω κινητής τηλεφωνίας ισχύει μόνο για τον παρόντα ιστότοπο και για τους ιστότοπους που αναφέρονται στο δελτίο τύπου του Υπουργείου Παιδείας & Θρησκευμάτων.
Η προβολή περιεχομένου από άλλο ιστότοπο που έχει ενσωματωθεί στον παρόντα ιστότοπο (π.χ. video youtube) ή το άνοιγμα συνδέσμων που οδηγούν σε εξωτερικό περιεχόμενο δεν υπάγονται στη μηδενική χρέωση.

Αφήστε μια απάντηση