elgavrilis's blog

ΑΙ & ΦΥΣΙΚΗ – ΑΝΑΚΤΗΣΗ ΚΑΛΛΙΤΕΧΝΙΚΗΣ ΑΔΕΙΑΣ

Ένα βλέμμα Φυσικής στην ομορφιά της Τέχνης – Μπορεί να είναι επιστήμη;

Υπάρχει κάτι ψεύτικο σ’ αυτά τα κύματα!

Βαθύ και παγωμένο είναι το κυματιστό μπλε χρώμα στην είσοδο του λιμανιού. Το αρχαίο Ελληνικό σκάφος με πολεμικό διάκοσμο, και τους πολεμιστές σε επιφυλακή, γλιστρά κατά μήκος του φυσικού λιμένα, οδεύοντας προς την αποστολή του! Στην πλώρη στέκονται οι ηγέτες, έτοιμοι να δώσουν το πρόσταγμα. Οι ασπίδες τους είναι διακοσμημένες με τα πολεμικά σύμβολα. Τα φωτεινά χρώματα λάμπουν στον ήλιο…Το ταξίδι ήταν μακρύ και επικίνδυνο. Ας πούμε ότι είναι ο πίνακας ενός «ελεύθερου» καλλιτέχνη, παρ’ όλο που τον δημιούργησε η ΑΙ από έναν αρχικό ζωγραφικό πίνακα που της δόθηκε για επεξεργασία.

Στο ίδιο φυσικό λιμάνι ενός Αιγαιοπελαγίτικου νησιού, μπαίνει τώρα ένα ξύλινο νησιώτικο σκαρί με επιβάτες την παλιά και την καινούργια γενιά πηγαίνοντας για την ψαριά. Πιθανόν παραγάδι! Ο τιμονιέρης με μια κίνηση λύνει το «πρόβλημα της Χρυσής Τομής» όπως έχει πει ο Ελύτης. Το ίδιο και στην αρχαιότητα! Το λιμάνι ίδιο, η εποχή ίδια, οι ταχύτητες του σκάφους ίδιες. Ο κυματισμός ίδιος! Αιγιακό ΑΡΧΙΠΕΛΑΓΟΣ!!

Θα χρησιμοποιήσουμε αυτές τις εντυπωσιακές ποιητικές εικόνες για να σκεφτούμε μερικά θέματα της φυσικής – τον νόμο διατήρησης της ενέργειας, τη διαστατική ανάλυση και τη στατιστική επεξεργασία πειραματικών αποτελεσμάτων. Έχουν σχέση οι πίνακες με όλα αυτά; Λοιπόν, υποθέτω ότι τους χρειαζόμαστε μόνο για να ζωντανέψουμε λίγο τα πράγματα.

Σίγουρα είναι μια σοβαρή πρόκληση να προσπαθήσουμε να βρούμε την ταχύτητα με την οποία κινείται ένα πλοίο απλώς κοιτάζοντας τον ζωγραφικό πίνακα! Η κίνηση είναι σε σχέση με το κινούμενο νερό και όχι με τις όχθες του ποταμού, φυσικά. Υπάρχουν πράγματα στον πίνακα που μας παρέχουν τις απαραίτητες πληροφορίες; Πρώτα απ ‘όλα, υπάρχει το κύμα που σχηματίζεται και στις δύο πλευρές της πλώρης πάνω στην οποία στέκονται οι πολεμιστές, ή ο γέροντας με το εγγόνι στην άλλη εκδοχή. Κοιτάξτε επίσης τα κυκλικά κύματα που κινούνται στο νερό μακριά από το σκάφος. Μοιάζουν με κύκλους, όλα κεντραρισμένα σε κάποιο σημείο του επιπέδου που περιέχει την ίσαλο γραμμή του σκάφους. Προσθέστε σε αυτά τη θέση της κουβέρτας και του πανιού σε σχέση με το επίπεδο συμμετρίας του σκάφους.

Ίσως βρούμε και κάτι άλλο που παρέχει δεδομένα σχετικά με την κατεύθυνση και την ταχύτητα του σκάφους, του ανέμου και του ποταμού. Στις επόμενες ενότητες, ωστόσο, θα επικεντρωθούμε σε δύο μόνο φαινόμενα που σχετίζονται με τα κύματα στο νερό.

Το κύμα της πλώρης

Γιατί σχηματίζεται το κύμα της πλώρης; Ας υποθέσουμε ότι το νερό ρέει συμμετρικά με ταχύτητα V (την ταχύτητα του σκάφους σε σχέση με το νερό) γύρω από μια σφήνα (την πλώρη του σκάφους) με κάθετες έδρες που σχηματίζουν γωνία 2α (fig 1). Στην άκρη της σφήνας μπορούμε να αναλύσουμε το διάνυσμα σε δύο συνιστώσες: μία (V_ΙΙ) παράλληλη με μία από τις έδρες (πλευρές του σκάφους) και την άλλη (V_┴) κάθετη σε αυτήν. Έτσι, η ροή του νερού σε σχέση με την πλευρά του σκάφους συνδυάζει στην πραγματικότητα δύο κινήσεις: γλιστράει κατά μήκος της πλευράς με ταχύτητα  V_ΙΙ = V.cos α και σέρνεται πάνω της με ταχύτητα V_┴ =V.sin α.

Η κάθετη ροή περιλαμβάνει πολλά στρώματα: Τα κατώτερα βυθίζονται κάτω από την καρίνα (fig 2). Το άνω στρώμα ανεβαίνει κατακόρυφα και μπορούμε εύκολα να εκτιμήσουμε πόσο ψηλά φτάνει. Πράγματι, κάθε σωματίδιο νερού από το άνω στρώμα που διαθέτει ενέργεια (m.V_┴²)/2 και αλλάζει απότομα κατεύθυνση μπορεί να φτάσει σε ύψος h όπου η δυναμική του ενέργεια m.g.h δεν θα είναι μεγαλύτερη από την κινητική του ενέργεια:

m . g . h ≤ m . (m.V_┴²)/2    ⇒   h ≤ (V_┴²)/2

Επομένως, σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας και την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων, μπορούμε να εκτιμήσουμε την ταχύτητα του σκάφους:

   V_┴² ≥ 2 . g . h    η οποία δίνει:

  (1)       V² ≥ (2.g.h/sin²α)

Το μόνο που μας έχει μείνει είναι να μετρήσουμε τη γωνία α και το ύψος h του κύματος στην πλώρη. Ο σχετικός υπολογισμός θα πραγματοποιηθεί παρακάτω, αλλά πρώτα θα εξετάσουμε τη δεύτερη διαθέσιμη πηγή πληροφοριών σχετικά με την κίνηση του σκάφους.

Επιφανειακά κύματα

Τα επιφανειακά κύματα είναι μάλλον δύσκολο να διερευνηθούν, αλλά μπορούμε να συμπεράνουμε πολλά, από πολύ απλές σκέψεις που βασίζονται στις φυσικές ποσότητες που εμπλέκονται στο φαινόμενο. Πρώτον, πρέπει να διευκρινίσουμε την αιτία του φαινομένου. Το κύμα είναι μια κινούμενη ταλάντωση. Γιατί η επιφάνεια του νερού ταλαντώνεται όταν διαταράσσεται η κατάσταση ισορροπίας της; Οποιαδήποτε ταλάντωση είναι αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης δύο παραγόντων: της αδράνειας που οδηγεί σε μετατόπιση από την κατάσταση ισορροπίας και της δύναμης επαναφοράς που αποκαθιστά την κατάσταση ισορροπίας.

Εάν εμφανιστεί μια «διόγκωση» – καμπούρα στην επιφάνεια του νερού, τότε μια δύναμη επαναφοράς g, όπως η βαρυτική δύναμη F_g ανάλογη με την επιτάχυνση της βαρύτητας g, μπορεί να επαναφέρει τα σωματίδια του νερού στην κατάσταση ισορροπίας τους (fig. 3α). Πέφτοντας προς τα κάτω, τα τμήματα της διόγκωσης θα πέσουν λόγω της δικής τους αδράνειας κάτω από την κατάσταση ισορροπίας τους, μια άλλη κορυφή θα αναγκαστεί να βγει λίγο πιο πέρα, και ούτω καθεξής. Κατά συνέπεια, ένα κύμα που καθορίζεται από την ταχύτητα u και το μήκος κύματος λ (η απόσταση μεταξύ των εξογκωμάτων) θα κινηθεί προς τα εμπρός. Στην περίπτωση που εξετάζεται εδώ, η πυκνότητα ρ του ταλαντούμενου νερού είναι ένα μέτρο της αδράνειάς του.

Έτσι, η διάδοση ενός κύματος στην επιφάνεια ενός υγρού αξιολογείται με βάση τις ακόλουθες ποσότητες (με τις μονάδες μέτρησής τους): u (m/sec), λ (m), g (m/sec²), ρ (kg/m³).

Πώς συνδέονται; Για παράδειγμα/ πώς μπορούμε να εκτιμήσουμε την ταχύτητα u του κύματος σε σχέση με τις άλλες ποσότητες λ, g, ρ; Εδώ οι μονάδες που χρησιμοποιούνται για τις ποσότητες που δίνονται παραπάνω θα μας βοηθήσουν:

Μπορούμε να δούμε ότι μεταξύ των μονάδων για το u υπάρχει το sec^-1 . Μεταξύ των άλλων τριών μεγεθών, μόνο το g περιέχει τη μονάδα χρόνου (δηλαδή, το sec^-2). Επομένως, u  g^1/2, και είναι προφανές ότι το g έχει παίξει τον ρόλο του και δεν μπορεί να μας είναι πλέον χρήσιμο – έχει παράσχει το απαιτούμενο sec^-1 για το u. Αλλά ταυτόχρονα το g^1/2 μας έχει δώσει meters^1/2 [m^1/2], ενώ χρειαζόμαστε ένα “καθαρό” meters¹ [m¹] . Έτσι, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το g^1/2 με λ^1/2 για να βάλουμε τα πράγματα σε τάξη – ώστε η ποσότητα (g.λ)^1/2 να έχει τις απαραίτητες μονάδες m/sec. Έτσι:

Παρατηρήστε ότι έχουμε μια αναλογία: όχι μια ισότητα, αφού οποιοσδήποτε αδιάστατος παράγοντας k μπορεί να σταθεί μπροστά από το (g.λ)^1/2 – δηλαδή, u = k(g.λ)^1/2. Μπορεί να έχουμε k = 0,5 ή ίσως k = 10. Σε αυτή τη συγκυρία, η διαστατική μας ανάλυση είναι ανίσχυρη να μας βοηθήσει, αλλά έχει ήδη διευκρινίσει το κύριο σημείο – τη φυσική του φαινομένου. Η ακριβής λύση του προβλήματος οδηγεί στο k = 1/(2π)^1/2.

            u = √(g.λ/2π) = (g.λ/2π)^1/2                      (2)

Και πού είναι το ρ (kg/m³); Δεν είναι εκεί, απλώς επειδή δεν υπάρχει πουθενά να βάλουμε τη μονάδα kg που δίνεται από το ρ – δεν θα ακυρωθεί έτσι ώστε να παρέχει στο u μόνο τις μονάδες m/sec. Αυτό είναι σαφές από φυσικής άποψης: τόσο το βάρος της καμπούρας, που την επιταχύνει προς τα κάτω, όσο και η μάζα της καμπούρας, που καθορίζει την αδράνεια της, είναι ανάλογα με το ρ – επομένως, το ρ ακυρώνεται και η πυκνότητα δεν εμφανίζεται στην εξίσωση. Ένα παρόμοιο φαινόμενο έχουμε στην περίπτωση ενός μαθηματικού εκκρεμούς με χορδή μήκους L του οποίου η περίοδος T = 2π.(L/g)^1/2 δεν εξαρτάται από τη μάζα για τον ίδιο λόγο όπως παραπάνω.

Αλλά αν τα κύματα γίνουν ελαφρά και σαν κυματισμοί (αργότερα θα καθορίσουμε τι είναι «ελαφρύ»), η καμπούρα τραβιέται πίσω στην κατάσταση ισορροπίας της από μια άλλη δύναμη επιφανειακής τάσης, η οποία εξαρτάται από τον συντελεστή επιφανειακής τάσης σ (Ν/m). Αυτό είναι παρόμοιο με το να σπρώχνετε μια ψιλή ελαστική μεμβράνη με το δάχτυλό σας. Λόγω της τάσης της μεμβράνης, ασκείται στο δάχτυλό σας μια προς τα κάτω δύναμη F_σ  σ (Fig. 3β). Στην περίπτωσή μας, η διάδοση του κύματος μπορεί να περιγράφεται με βάση τις ποσότητες u_σ (m/sec), λ(m), σ(Ν/m), ρ(kg/m³)- Το u_σ υποδηλώνει την ταχύτητα των κυμάτων λόγω της επιφανειακής τάσης, σε αντίθεση με το u στην εξίσωση. Τώρα που έχουμε κάποια εμπειρία στη χρήση της διαστατικής ανάλυσης, ας συναγάγουμε την έκφραση για την ταχύτητα των κυμάτων:

u_σ (m/s) = √(σ(Kg/s²)/ρ(kg/m³).λ(m) = [σ/(ρ.λ)]^1/2

(λαμβάνοντας υπόψη ότι 1 N = 1 kg.m/sec²). Αν θέλουμε να αντικαταστήσουμε το σύμβολο της αναλογίας με το σύμβολο της ισότητας, πρέπει να λάβουμε υπόψη τον αδιάστατο παράγοντα που λείπει. Σύμφωνα με τον ακριβή θεωρητικό υπολογισμό, είναι ίσος με (2π)^1/2. Επομένως:

(3)              u_σ = [2.π.σ/(ρ.λ)]^1/2

Δεν είναι αξιοσημείωτο ότι πρακτικά «δωρεάν» -χωρίς να καταφύγουμε σε καμία φυσική θεωρία- έχουμε αποκτήσει το ουσιώδες: τη φύση της σχέσης μεταξύ των σχετικών φυσικών μεγεθών; Σε αυτό το σημείο θα είναι σκόπιμο να θυμηθούμε τα λόγια του μεγάλου φυσικού Ενρίκο Φέρμι: «Η φυσική δεν είναι χώρος για συγκεχυμένη σκέψη… Όσοι κατανοούν πραγματικά τη φύση ενός φαινομένου μπορούν να αποκομίσουν θεμελιώδεις νόμους από τη διαστατική σκέψη».

Για το παγωμένο νερό σ  80 dynes/cm= 8 x 10^-2Ν/m, ρ= 1 g/cm³= 10³ kg/m³. Έχοντας αυτό κατά νου, μπορούμε να παραστήσουμε γραφικά, την ταχύτητα των επιφανειακών κυμάτων που ορίζεται από τις εξισώσεις (2) και (3) ως προς λ^1/2 (fig.4). Οι δύο καμπύλες τέμνονται όταν λ =λ_σ  2 cm. Έτσι, σε πολύ μικρά μήκη κύματος (λ<<λ_σ) η ταχύτητα του κύματος καθορίζεται από την επιφανειακή τάση και σε μεγάλα μήκη κύματος (λ>>λ_σ) από την έλξη της βαρύτητας. Στην ενδιάμεση περιοχή (λ  λ_σ) η ταχύτητα των επιφανειακών κυμάτων καθορίζεται τόσο από τη βαρύτητα όσο και από την επιφανειακή τάση. Η έκφραση για την ταχύτητα κύματος γίνεται πιο σύνθετη:  Το διάγραμμα του u_Σ, έναντι του λ^1/2 φαίνεται στο σχήμα 4 (Fig 4) με τη διακεκομμένη γραμμή.

Συχνά στη φυσική συμβαίνει να είναι πολύ πιο απλό να αντιμετωπίζουμε ορισμένες οριακές περιπτώσεις (το λ προσεγγίζει το 0 και το λ προσεγγίζει το άπειρο ∞ στην περίπτωσή μας) πέραν της ενδιάμεσης περιοχής. Ευτυχώς, η ενδιάμεση περιοχή δεν μας ενδιαφέρει, επειδή μπορούμε να δηλώσουμε με ασφάλεια, απλώς κοιτάζοντας τους πίνακες, ότι τα κυκλικά κύματα έχουν σαφώς μήκος κύματος μεγαλύτερο από λ_σ. Επομένως, η ταχύτητα τέτοιων κυμάτων καθορίζεται από την εξίσωση (2). Για να τη βρούμε πρέπει να “μετρήσουμε” το λ. Οι απαραίτητοι υπολογισμοί θα εκτελεστούν παρακάτω, αλλά πρώτα θα κάνουμε ένα άλλο βήμα.

Όταν ένα έντομο τρέχει πάνω στο νερό ή μια σφαίρα πετάει στον αέρα πιο γρήγορα από τον ήχο, εμφανίζονται διακριτικά συνοδευτικά “σπασίματα”. Όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα V του αντικειμένου σε σύγκριση με την ταχύτητα u με την οποία διαδίδονται οι διαταραχές που προκαλούνται από το αντικείμενο τόσο πιο κοντά βρίσκονται αυτά τα σπασίματα στο κινούμενο αντικείμενο. Οι τρεις τυπικές περιπτώσεις φαίνονται στο σχήμα 5: εάν V < u, τα κύματα ξεπερνούν το αντικείμενο και απλώς συμπυκνώνονται προς την κατεύθυνση της πορείας τους· εάν V = u, οι κορυφές των κυμάτων σέρνονται η μία πάνω στην άλλη σε ένα σημείο (προς την κατεύθυνση της πορείας τους)· εάν V > u, το αντικείμενο ξεπερνά τα κύματα και σχηματίζονται σπασίματα. (Η εικόνα 6 απεικονίζει την τρίτη περίπτωση.)

Εικόνα 6: Η φωτογραφία δείχνει τα κρουστικά κύματα που σχηματίζονται όταν ένας δίσκος με βελονοειδή αιχμή, κινείται μέσα σε ένα αέριο με ταχύτητα μεγαλύτερη από εκείνη του ήχου. Δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης του κύματος μέσα στο αέριο.

Κοιτάζοντας τους ΑΙ ζωγραφικούς πίνακες, βλέπουμε ότι απεικονίζουν την πρώτη περίπτωση. Δεν υπάρχουν στοιχεία ότι τα κύματα προς την κατεύθυνση της πορείας τους είναι συμπιεσμένα, επομένως πρέπει να συμπεράνουμε ότι η ταχύτητα του σκάφους είναι πολύ μικρότερη από αυτή των κυμάτων:

V << u             (4)

Επομένως, κρίνοντας από το μοτίβο των κυκλικών επιφανειακών κυμάτων, το σκάφος είναι πρακτικά ακίνητο. Ας στραφούμε τώρα στους υπολογισμούς. Για να τους εκτελέσουμε, πρέπει να «μετρήσουμε» το ύψος h του κύματος στην πλώρη, τη γωνία 2α και το μήκος κύματος λ των επιφανειακών κυμάτων.

Μετρήσεις

Θα μπορούσαμε να προσπαθήσουμε να μετρήσουμε τις απαιτούμενες ποσότητες με μεγαλύτερη ακρίβεια λαμβάνοντας υπόψη την προοπτική, την προβολή, τη συντόμευση και ούτω καθεξής. Αλλά όλα αυτά είναι πολύ δύσκολα και χρονοβόρα. Θα μπορούσαμε επίσης να υπολογίσουμε τους μέσους όρους <h> και <λ> και να τους θεωρήσουμε επαρκώς αξιόπιστους.

Η διαδικασία για τον υπολογισμό των μέσων όρων είναι τυπική. Κάθε τιμή h πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον αριθμό των ατόμων n που την πρότειναν. Στη συνέχεια, όλες οι τιμές του λ πρέπει να προστεθούν και να διαιρεθούν με τον συνολικό αριθμό των συμμετεχόντων στην δημοσκόπηση. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

   και ακολούθως:                                                        

Αυτοί οι μέσοι όροι, φαίνονται με κόκκινα βέλη στα σχήματα (7) και (8).

Η ακρίβεια των μετρήσεων στην δημοσκόπησή μας μπορεί να εκτιμηθεί κατά προσέγγιση από το πλάτος της ομαλής καμπύλης στο μισό ύψος της (οι κόκκινες γραμμές στα {σχήματα 7 και 8}). Έχει αναπτυχθεί μια ολοκληρωμένη θεωρία σφαλμάτων σε φυσικά πειράματα, η οποία είναι πολύ παρόμοια με αυτήν που χρησιμοποιήσαμε. Σε ένα πείραμα, φυσικά, η δημοσκόπηση διεξάγεται μεταξύ μετρητικών συσκευών (όχι ανθρώπων).

Και τι γίνεται με τη γωνία α; Οι ερωτηθέντες συμφώνησαν ότι η γωνία 2a είναι μεταξύ 90′ και 180′ (η πλώρη του σκάφους στον πίνακα είναι μάλλον αμβλεία). Επομένως,

         sin 45⁰ < sin α < sin 90⁰

                  (7)      √2/2  < sin α < 1

Τώρα έχουμε λάβει όλα τα απαραίτητα δεδομένα για να εκτιμήσουμε την ταχύτητα του σκάφους και τα επιφανειακά κύματα.

Αντικαθιστώντας τις τιμές των .h, λ, και sinα  που δίνονται από τις εξισώσεις (5), (6), και(7) στις εξισώσεις (1) και (2), παίρνουμε:

(8)   (9)

Τώρα φτάνουμε σε ένα εκπληκτικό αποτέλεσμα: οι εξισώσεις (8) και (9) δεν συμφωνούν με την εξίσωση (4). Πράγματι, σύμφωνα με το ύψος του πλωριού κύματος, η ταχύτητα του σκάφους V είναι τουλάχιστον 2,3 m/sec. Αλλά αν βασίσουμε την κρίση μας στα κυκλικά επιφανειακά κύματα (τα οποία είναι σχεδόν συγκεντρωμένα στον πίνακα), η ταχύτητα του σκάφους πρέπει να είναι σημαντικά μικρότερη από την ταχύτητα αυτών των κυμάτων u = 0,7 m/sec, η οποία είναι ήδη μικρότερη από την ταχύτητα V. Αν δώσετε αρκετή προσοχή στη λεπτομέρεια, θα ανακαλύψετε φυσικές ασυνέπειες σε άλλα έργα τέχνης (κάτι που πιθανώς οφείλεται στο γεγονός ότι η τέχνη έχει τους δικούς της στόχους και νόμους). Μπορείτε ακόμα να θαυμάσετε τα έργα τέχνης και να αντλήσετε αισθητική απόλαυση από αυτά, αλλά μπορείτε επίσης να τα χρησιμοποιήσετε ως ελκυστικά εικονογραφήματα όταν συζητάτε τους νόμους της φυσικής με τον μικρό σας αδερφό ή αδερφή ή τον μικρό σας εγγονό για τους φτασμένους!

ΗΛΙΑΣ Α. ΓΑΒΡΙΛΗΣ