Ένας κύβος πλευράς α=1m και βάρους w=600Ν ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο ενώ δίπλα σην πλευρά ΒΓ υπάρχει ένα μικρό εμπόδιο.
i) Ασκούμε πάνω του οριζόντια δύναμη F=200Ν, όπως στο σχήμα, όπου (ΒΕ)=0,4m. Να βρείτε και να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο.
ii) Να αποδειχθεί ότι όσο αυξάνεται το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F, τόσο απομακρύνεται ο φορέας της κάθετης αντίδρασης του επιπέδου από το κέντρο Ο του κύβου.
iii) Αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης F. Ποια η ελάχιστη τιμή του μέτρου της F για την οποία ο κύβος ανατρέπεται;
Απάντηση:
i) Ο κύβος ισορροπεί συνεπώς:
ΣF= 0 (1)
Στ=0 (2)
Οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύβο είναι το βάρος του w και η κάθετη αντίδραση του επιπέδυο Ν, η οριζόντια δύναμη F και μια οριζόντια δύναμη F1 από το εμπόδιο που έχει τοποθετηθεί δίπλα στην ακμή που περνά από την κορυφή Γ.
Αφού ΣF=0 ?
ΣFx=0 ? F-F1=0 ? F1=F=200Ν, ενώ ΣFy=0 ? Ν=w=600Ν.
Ας πάρουμε τώρα το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς το κέντρο Ο του κύβου:
Στ=0 ?
τw+ τΤ+τF+τΝ= 0
w·0 ? F1·α/2 – F·0,1 + Ν·x = 0 ?
Ν·x ? F1 ·α/2-F·0,1 =0 ?
x=F(0,5+0,1)/Ν? (1)
x=0,2m.
Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε αν πάρουμε ότι ως προς την κορυφή Γ το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν. Πράγματι:
ΣτΓ=0 ?
w·α/2-Ν(α/2-x) ? F(α/2+0,1)=0 ?
600·0,5-600·0,5+600·x-200·0,6=0 ?
x=0,2m
ii) Ας θυμηθούμε την σχέση (1):
x=F(0,5+0,1)/Ν ?
Από την σχέση (2) παρατηρούμε ότι όσο αυξάνεται το μέτρο της ασκούμενης οριζόντιας δύναμης F, τόσο μετατοπίζεται προς τα δεξιά ο φορέας της κάθετης αντίδρασης του επιπέδου.
iii) Στην κατάσταση αυτή ο κύλινδρος είναι έτοιμος να ανατραπεί. Στην πραγματικότητα ακουμπά στο έδαφος μόνο κατά μήκος της ακμής που περνά από την κορυφή Γ.
Όταν ο κύλινδρος θα ανατραπεί σημαίνει ότι θα περιστραφεί γύρω γύρω από άξονα που περνά από το Γ και για να συμβεί αυτό πρέπει η δεξιόστροφη ροπή της F να είναι μεγαλύτερη της αριστερόστροφης ροπής του βάρους, κατά μέτρο (οι ροπές της Ν και της F1 είναι μηδενικές):
F·(α/2+0,1)>w·α/2 ?
F·0,6>w·0,5
F> 500Ν
Σημείωση: Συγκρίνετε την τιμή της οριζόντιας δύναμης F που είναι απαραίτητη για την ανατροπή του κύβου στο παράδειγμα αυτό που ο κύβος είναι ακίνητος, με την αντίστοιχη τιμή της προηγούμενης ανάρτησης που ο κύβος επιταχύνεται. Προσέξτε τη διαφορά στην αντίστοιχη αντιμετώπιση.