Solve my maths (4)

Ένα πρόβλημα από τον Ed Southall:

What fraction of the regular hexagon is shaded? #math #maths #puzzle #geometry

A post shared by Ed Southall (@solvemymaths) on

Ονομάζουμε a την πλευρά του εξαγώνου, τότε a θα είναι οι αποστάσεις από το Ο σε οποιαδήποτε κορυφή του εξαγώνου. Ονομάζουμε b το ευθύγραμμο από το O στο μέσο της απέναντι πλευράς, b είναι διάμεσος, διχοτόμος και ύψος στο ισοσκελές (και ισόπλευρο) τρίγωνο που σχηματίζεται από το Ο και τις δύο κορυφές του εξαγώνου. Αφού είναι και ύψος η b μπορεί να υπολογιστεί από το Πυθαγόρειο Θεώρημα ως εξής:

(1)   \begin{eqnarray*} a^2 &=& \left(\frac{a}{2}\right)^2+b^2\\ b^2 &=& a^2 - \frac{a^2}{4}\\ b&=&\frac{\sqrt{3}}{2}a \end{eqnarray*}

Οπότε χωρίζουμε το σκιασμένο τμήμα σε δύο τρίγωνα, το ένα έχει μία πλευρά a μία πλευρά b και η περιεχόμενη γωνία είναι 60^o+30^o=90^o οπότε το εμβαδό του είναι:

(2)   \begin{eqnarray*} E_1&=&\frac{ab}{2}\\ &=&\frac{a\frac{\sqrt{3}}{2}a}{2}\\ &=&\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\\ \end{eqnarray*}

Το δεύτερο τρίγωνο έχει μία πλευρά a και μία πλευρά b και η περιεχόμενη γωνία είναι 120^o+30^o=150^o οπότε το εμβαδό του είναι:

(3)   \begin{eqnarray*} E_2&=&\frac{ab\sin 150^o}{2}\\ &=&\frac{ab}{4}\\ &=&\frac{a\frac{\sqrt{3}}{2}a}{4}\\ &=&\frac{\sqrt{3}}{8}a^2 \end{eqnarray*}

Οπότε το εμβαδό του σκιασμένου τμήματος είναι:

(4)   \begin{eqnarray*} E_1+E_2 &=&\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{8}a^2\\ &=&\frac{3\sqrt{3}}{8}a^2 \end{eqnarray*}

Και το εμβαδό ολόκληρου του εξαγώνου είναι E=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2. Οπότε το ποσοστό είναι:

(5)   \begin{eqnarray*} \frac{E_1+E_2}{E} &=& \frac{\frac{3\sqrt{3}}{8}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2}\\ &=& \frac{2}{8}\\ &=& \frac{1}{4} \end{eqnarray*}

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο \overset{\triangle}{AB\Gamma} με AB=A\Gamma διάμεσος, διχοτόμος και ύψος από την κορυφή A ταυτίζονται.

Αφήστε μια απάντηση