Solve my maths (3)

Ένα πρόβλημα από τον Ed Southall:

Prove the two shaded regions are equal. #math #maths #puzzle #geometry

A post shared by Ed Southall (@solvemymaths) on

Έστω a και b οι δύο κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου τότε το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι a^2+b^2 οπότε η ακτίνα του μεγάλου κύκλου (το μισό της υποτείνουσας) είναι:

    \[\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\]

και το εμβαδό του μεγάλου κύκλου είναι E_0=\pi R^2, δηλαδή:

    \[E_0=\frac{\pi (a^2+b^2)}{4}\]

Ο μεσαίος κύκλος τώρα έχει ακτίνα το μισό της πλευράς a (όμοια τρίγωνα) οπότε έχει εμβαδό ίσο με

    \[E_1=\frac{\pi a^2}{4}\]

Ενώ ο μικρός κύκλος έχει ακτίνα το μισό της άλλης πλευράς (b) οπότε έχει εμβαδό ίσο με

    \[E_2=\frac{\pi b^2}{4}\]

Μας ζητείται να αποδειχθεί ότι E_0-E_2=E_1 και όντως:

(1)   \begin{eqnarray*} E_0-E_1 &=& E_2\\ E_0 &=& E_1 + E_2\\ \frac{\pi (a^2+b^2)}{4} &=& \frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi b^2}{4} \end{eqnarray*}

Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρνουμε από την ορθή γωνία είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Αφήστε μια απάντηση