Solve my maths (1)

Ένα πρόβλημα από τον Ed Southall:

What fraction of the largest square is shaded? #math #maths #puzzle #geometry

A post shared by Ed Southall (@solvemymaths) on

Τι ποσοστό του μεγάλου τετραγώνου είναι σκιασμένο;

Ας ονομάσουμε a την πλευρά του μεγάλου τετραγώνου επομένως το εμβαδό του E είναι E=a^2. Ας ονομάσουμε b την πλευρά του μικρού τετραγώνου. Η πλευρά c του ισοσκελούς τριγώνου με υποτείνουσα b υπολογίζεται σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα:

(1)   \begin{eqnarray*} c^2+c^2 =&b^2\\ 2c^2 =& b^2\\ c^2 =&\frac{b^2}{2}\\ c =&b\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \end{eqnarray*}

Η αμβλεία γωνία του σκιασμένου τριγώνου είναι 90^o+45^o=135^o. Από τις δύο πλευρές του αμβλυγώνιου τριγώνου και την περιεχόμενη γωνία μπορούμε να υπολογίσουμε το την τρίτη πλευράς a με τον νόμο των συνημιτόνων:

(2)   \begin{eqnarray*} a^2=&b^2+c^2-2bc\cos 135^o\\ =&b^2+\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2-2b\frac{b}{\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ =&b^2+\frac{b^2}{2}+b^2\\ =&b^2\left(1+\frac{1}{2}+1\right)\\ =&b^2\frac{5}{2}\\ a =&b\sqrt{\frac{5}{2}}\\ a =&b\frac{\sqrt{10}}{2} \end{eqnarray*}

Το ύψος του σκιασμένου τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί ως

(3)   \begin{eqnarray*} \upsilon =& b\sin 135^o\\ \upsilon =& b\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \end{eqnarray*}

οπότε το εμβαδό του τριγώνου είναι:

(4)   \begin{eqnarray*} E' =& c\upsilon\frac{1}{2}\\ =& b\frac{\sqrt{2}}{2}b\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}\\ =& b^2\frac{1}{4} \end{eqnarray*}

Το ποσοστό που μας ζητείται είναι:

(5)   \begin{eqnarray*} \frac{E'}{E} =& \frac{b^2\frac{1}{4}}{b^2\frac{5}{2}}\\ =& \frac{1\cdot 2}{4\cdot 5}\\ =& \frac{2}{20}\\ =& \frac{1}{10} \end{eqnarray*}

Υπάρχει ένας τύπος για το εμβαδό ενός τριγώνου όταν γνωρίζουμε δύο πλευρές a, b και την περιεχόμενη γωνία \omega και είναι:

    \[E=\frac{ab\sin\omega}{2}\]

Αφήστε μια απάντηση