πορεία προς την ωρίμανση των αλγεβρο- γεωμετρικών μεθόδων: De l’ Hospital, Euler, Lagrange, Ecole Polytechnique, Grassmann, Plucker, Μέρος Ι, Ομάδα μαθηματικών δυτικής Αττικής


πορεία προς την ωρίμανση των αλγεβρο- γεωμετρικών μεθόδων: De l’ Hospital, Euler, Lagrange, Ecole Polytechnique, Grassmann, Plucker, Μέρος Ι, Ομάδα μαθηματικών δυτικής Αττικής

Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηματικών των Α΄, Β΄ και Γ΄ τάξεων Ημερήσιου και Εσπερινού Γυμνασίου

ΡΕΠΟΡΤΑΖ:esos.gr

ΚΑΝΕΤΕ ΚΛΙΚ ΕΔΩ ΓΙΑ ΝΑ ΔΕΙΤΕ ΤΟ ΕΓΓΡΑΦΟ

Με αφορμή ερωτήματα σχετικά με τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο και μετά από σχετική εισήγηση του Τμήματος Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου (αρ. πρωτ. 6493/18-10-2011) ο Ειδικός Γραμματέας Πρωτοβάθμιας και Δεευτρεοβάθμιας Εκπαίδευσης Μ. Κοντογιάννης , εξέδωσε τις ακόλουθες οδηγίες:

Σάρωσαν τα μετάλλια σε Μαθηματικά

Οι Ελληνες φοιτητές που συμμετείχαν στην 4η Διεθνή Φοιτητική Ολυμπιάδα
Της Ιφιγενειας Διαμαντη

Και όμως υπάρχουν και καλές ειδήσεις… Οπως οι πολλαπλές διακρίσεις Ελλήνων φοιτητών στην 4η Διεθνή Φοιτητική Ολυμπιάδα Μαθηματικών. Δεκατρία νέα παιδιά, τέσσερα από το Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών και εννέα από σχολές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου, πρωτοετείς και δευτεροετείς φοιτητές, ταξίδεψαν στο Μπλαγκόγεβγκραντ της Βουλγαρίας, έλυσαν από πέντε μαθηματικά προβλήματα επί δύο ημέρες στους τομείς Αλγεβρας, Ανάλυσης, Γεωμετρίας και Συνδυαστικής και διακρίθηκαν.

Η «Κ» εντόπισε τρεις από τους φοιτητές, τον Ηλία Ζαδίκ, δευτεροετή στο Μαθηματικό Αθηνών, που κατετάγη 37ος ανάμεσα σε 42 «χρυσούς», καθώς και τους Βασίλη Νάκο, φοιτητή στη Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του ΕΜΠ και Αλέξανδρο Εσκενάζη, φοιτητή του Μαθηματικού Αθηνών, που κατετάγησαν στην 60ή και 108η θέση αντίστοιχα, ανάμεσα στους «αργυρούς».

Εχοντας κι άλλες συμμετοχές σε μαθηματικούς διαγωνισμούς, όπως σε εκείνον της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας ενόσω ήταν μαθητής της Γ΄ Λυκείου αλλά και στην 5η Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές πανεπιστημίων της Νοτιοανατολικής Ευρώπης, ο Ηλίας Ζαδίκ σιγουρεύτηκε ότι θέλει να ασχοληθεί με τα Μαθηματικά όταν τελείωνε τη Β΄ Λυκείου.

Τι είναι εκείνο που τον έκανε να λάβει μέρος στη διοργάνωση; «Μου αρέσει η ενασχόληση με τα προβλήματα. Κυρίως, ότι απαιτούν καινούριες ιδέες, νέους τρόπους για να τα λύσεις, όταν δεν υπάρχει συγκεκριμένη μεθοδολογία. Αλλωστε είναι συναρπαστικό να γνωρίζεις ανθρώπους με τους οποίους έχεις τα ίδια ενδιαφέροντα». Ομως αυτή ίσως είναι η τελευταία χρονιά που λαμβάνει μέρος σε διαγωνισμούς. Από εδώ και στο εξής θέλει να επικεντρωθεί περισσότερο στη σπουδή των Μαθηματικών χωρίς να αποσπάται.

Κάπως έτσι σκέφτεται και ο Βασίλης Νάκος. Ηδη έχει λάβει μέρος τρεις φορές στον διαγωνισμό, νωρίτερα φέτος είχε λάβει μέρος στη Βαλκανιάδα, αλλά σκέπτεται να μη συμμετάσχει στο μέλλον. Εκείνο που αρχικά του τράβηξε το ενδιαφέρον είναι «το γεγονός ότι η συμμετοχή αποτελεί κίνητρο για να ασχοληθείς παραπάνω με την επιστήμη, καθώς και οι έξτρα γνώσεις που αποκομίζεις». Ο Αλέξανδρος Εσκενάζης γοητεύεται από τα Μαθηματικά. «Η αυστηρότητα, ίσως η τάξη που διαπνέει αυτήν την επιστήμη, την οποία δεν μπορώ να δω στον υπόλοιπο κόσμο». Προκειμένου να συμμετάσχουν, οι φοιτητές έκαναν… προπόνηση. «Χρειάζεται επιμονή, προσπάθεια και εξάσκηση και πολλή δουλειά. Ολο τον χειμώνα είχαμε σεμινάρια κάθε Σαββατοκύριακο», τονίζει ο καθηγητής κ. Σταύρος Παπασταυρίδης από το Τμήμα Μαθηματικών που συνόδευσε την αποστολή. Τα παιδιά, βέβαια, αγαπούν τα Μαθηματικά και είναι πολύ καλά, αλλά «πάντα υπάρχει περιθώριο βελτίωσης», συμπληρώνει.

Στη διοργάνωση η ομάδα του Μαθηματικού (Ηλ. Ζαδίκ, Αλ. Εσκενάζης, Δ. Μπογιόκας, Κ. Ζέμας) κατέλαβε την 23η θέση και η ομάδα του ΕΜΠ (Β. Νάκος, Λ. Λαμπρόπουλος, Ν. Κολλιόπουλος, Γ. Μοσχίδης, Μ. Ζαμπετάκης, Κωνσταντίνα Μέλλου, Ν. Γεωργάκης, Αγ. Ζαφειρόπουλος, Γ. Ρετσίνας) την 32η σε σύνολο 77 ομάδων από πανεπιστήμια από όλο τον κόσμο. Πρώτος των πρώτων αναδείχθηκε ένας φοιτητής από την Πολωνία όπως και το πανεπιστήμιό του, το Jagielloniaστην Κρακοβία, ενώ θα πρέπει να σημειωθεί ότι πληθώρα συμμετοχών και διακρίσεων προερχόταν από χώρες της ανατολικής Ευρώπης.

Οταν ο Αρχιμήδης «έπαιζε» με τα τετράγωνα

ΜΑΡΙΑ ΘΕΡΜΟΥ

Αγνωστες πτυχές του έργου του στη νέα ανάγνωση του Παλίμψηστου

Οταν ο Αρχιμήδης «έπαιζε» με τα  τετράγωνα

Ο Θεός είναι άγνωστο αν έπαιζε ζάρια, ο Αρχιμήδης όμως έπαιζε παιχνίδια! Μαθηματικά βεβαίως! Επιπλέον γνώριζε τα «άπειρα σύνολα» και ήταν ο μόνος που κατέγραψε τους τρόπους επίλυσης των μαθηματικών προβλημάτων, εν αντιθέσει με τους άλλους αρχαίους φιλοσόφους, που παραθέτουν μόνον το αποτέλεσμα αφήνοντας τους σύγχρονους να αναρωτιούνται…

Πρόκειται για τα σημαντικότερα _αν και όχι όλα_ πορίσματα της νέας μελέτης του περίφημου «Παλίμψηστου» του Αρχιμήδη, που αποκαλύπτει άγνωστες πτυχές για τον μεγάλο μαθηματικό της αρχαιότητας και για πρώτη φορά εκδίδεται τώρα στα ελληνικά από τις εκδόσεις «Νεφέλη» με επιμέλεια του αν. καθηγητή Ιστορίας των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών κ. Γιάννη Χριστιανίδη.

«Πώς ένα μεσαιωνικό βιβλίο του 10ου αιώνα ανατρέπει παγιωμένες απόψεις για τα αρχαία ελληνικά μαθηματικά» είναι ο υπότιτλος, που έχει επιλέξει ο κ. Χριστιανίδης για το βιβλίο. Γιατί «Εκατό χρόνια μετά από την πρώτη ανάγνωση του Παλίμψηστου από τον φιλόλογο Γιόχαν Λούντβιχ Χάιμπεργκ, τώρα έρχονται στο φως στοιχεία, που εκείνος δεν είχε κατορθώσει να διαβάσει και επομένως ήταν άγνωστα», όπως λέει ο ίδιος στο «Βήμα».

Ο λόγος είναι, ότι σήμερα προηγμένες τεχνολογικές μέθοδοι επιτρέπουν στους ερευνητές να δουν κυριολεκτικά κάτω και πίσω από τις γραμμές. Διαβάστηκαν έτσι, αράδες που βρίσκονταν ακριβώς στο δίπλωμα του χειρογράφου, στη ράχη του δηλαδή και λέξεις φθαρμένες από το χρόνο. Σ΄ αυτό βοήθησαν πολύ και οι φωτογραφίες του κώδικα, τις οποίες έκανε ο Χάιμπεργκ και σε πολλές περιπτώσεις είναι σε καλύτερη κατάσταση από το ίδιο το χειρόγραφο, το οποίο φυλάχτηκε στη συνέχεια κάτω από άσχημες συνθήκες.

Σ΄ αυτές τις περιπτώσεις άλλωστε αρκούν κάποιες λέξεις και μόνον για να ανατρέψουν τα ισχύοντα, να δώσουν επιπλέον πληροφορίες ή ακόμη και νέα στοιχεία. Αυτά τα οποία αναζήτησαν οι ξένοι επιστήμονες, μελετητές του Κώδικα Ρ. Νέτζ, Κ. Σέιτο, Ναταλί Τσερνέτσκα, Φ. Ακέρμπι, Ν. Γουίλσον και από ελληνικής πλευράς μαζί με τον κ. Χριστιανίδη ο Απόστολος Δέμης.

Δύο είναι τα έργα, από τα επτά που περιλαμβάνει το Παλίμψηστο, που μας ενδιαφέρουν ιδιαίτερα λόγω της νέας ανάγνωσης. «Το ένα είναι η «Πρόταση 14» της «Πραγματείας Περί των μηχανικών θεωρημάτων προς Ερατοσθένη έφοδος» (μέθοδος) στην οποία ο Αρχιμήδης πραγματεύεται το πρόβλημα του κυβισμού μιας μορφής κυλινδρικού τμήματος, που στη σύγχρονη βιβλιογραφία αναφέρεται μερικές φορές με την ονομασία το νύχι (ή η οπλή) του αλόγου», λέει ο κ. Χριστιανίδης. Κι εδώ παρουσιάζεται για πρώτη φορά ένα τμήμα του κειμένου, το οποίο ο Χάιμπεργκ δεν είχε κατορθώσει να διαβάσει, έτσι στην έκδοσή του, το είχε αντικαταστήσει με αποσιωπητικά. Μάλιστα έγραφε σε υποσημείωση: «Δεν μπορώ να φανταστώ τι ήταν γραμμένο σε ένα τόσο μεγάλο κενό».

«Από την ανάγνωση του φθαρμένου κειμένου προέκυψε ένα μάλλον αναπάντεχο αποτέλεσμα:Ο Αρχιμήδης αποφαίνεται σε αυτό ότι τέσσερα άπειρα σύνολα είναι “πλήθει ίσα” μεταξύ τους. Κάτι που δεν υπάρχει σε κανένα άλλο κείμενο της αρχαίας ελληνικής μαθηματικής γραμματείας και σημαίνει ότι ο Αρχιμήδης ήταν ως έναν βαθμό εξοικειωμένος με την έννοια του ενεστωτικού απείρου. Αυτό είναι πολύ σημαντικό γιατί τέτοιοι συλλογισμοί άρχισαν να υπεισέρχονται στα μαθηματικά μετά τον 17ο αιώνα», εξηγεί ο κ. Χριστιανίδης.
Δεύτερο θέμα, που προκύπτει από την νέα μελέτη του Παλίμψηστου είναι από την πραγματεία στην οποία ο Αρχιμήδης εκθέτει τον τρόπο που έκανε τις ανακαλύψεις του, δηλαδή το πώς οδηγούνταν στη λύση των προβλημάτων. Αυτή μάλιστα έχει τη μορφή μίας επιστολής προς τον Ερατοσθένη στην Αλεξάνδρεια, ο οποίος λειτουργούσε ως ο «ενδιάμεσος» που συγκέντρωνε το υλικό, το οποίο έστελναν από όλο τον ελληνικό κόσμο οι φιλόσοφοι.

Μία λέξη εξάλλου, το «πλήθος» συγκεκριμένα, η οποία διαβάστηκε τώρα, έδωσε το έναυσμα για μία πρόταση ερμηνείας του έργου «Στομάχιον», που λόγω του περίεργου τίτλου του αλλά και γιατί σώζεται μόνον μία σελίδα του δεν έτυχε ποτέ του ενδιαφέροντος των μελετητών. Σύμφωνα με τους συγγραφείς, λοιπόν, το θέμα που πραγματεύεται ο Αρχιμήδης εδώ είναι το πλήθος των τρόπων με τους οποίους δεκατέσσερα ευθύγραμμα επίπεδα σχήματα, στα οποία διαιρείται ένα τετράγωνο με βάση ένα προκαθορισμένο μοτίβο, μπορούν να συνενωθούν ώστε να σχηματιστεί και πάλι ένα ίσο τετράγωνο.

«Αυτή η ερμηνεία καθιστά το Στομάχιον ένα έργο συνδυαστικής μόνον που η συνδυαστική θεωρούνταν ως πρόσφατα ένα πεδίο το οποίο εμφανίστηκε όψιμα στην ιστορία των μαθηματικών. Τα τελευταία χρόνια όμως αυτό έχει ανατραπεί, έτσι έχουμε καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η συνδυαστική ήταν ένα υπαρκτό πεδίο έρευνας για τους αρχαίους έλληνες μαθηματικούς και επομένως αυτή η ερμηνεία του Στομαχίου θεωρείται πειστική», λέει ο κ. Χριστιανίδης.
Ο Παλίμψηστος Κώδικας του Αρχιμήδη _ όρος για αρχαίους παπύρους και περγαμηνές που χρησιμοποιούνταν πολλές φορές, αφού πρώτα «σβήνονταν» οι προηγούμενες καταγραφές_ ήταν αρχικώς ένα χειρόγραφο, το οποίο είχε αντιγραφεί τον 10o αιώνα από άγνωστο γραφέα. Περί τον 13ο αιώνα όμως ένας μοναχός στην Ιερουσαλήμ έξυσε το αρχικό κείμενο, έκοψε τα χειρόγραφα στη μέση για να τα δέσει και πάνω τους κατέγραψε προσευχές. Στην Ευρώπη εντοπίσθηκε το 1846 αλλά μόνον το 1907 δόθηκε για μετάφραση και μελέτη. Στη συνέχεια «εξαφανίστηκε» για εμφανισθεί εκ νέου το 1998 σε δημοπρασία των Christie’s της Νέας Υόρκης, όπου και πωλήθηκε αντί 2,2 εκατ. δολαρίων, χωρίς η Ελλάδα να κατορθώσει να τον διεκδικήσει. Ηταν και η ευκαιρία για νέα ανάγνωση των κειμένων χάρη στις σύγχρονες μεθόδους που ο Χάιμπεργκ δεν μπορούσε να έχει στη διάθεσή του.

tovima.gr,

Δυναμική προσέγγιση των πρώτων αριθμών

Νίκος Λυγερός
Ενώ ο ορισμός των πρώτων αριθμών είναι κατανοητός και μάλιστα με εύκολο τρόπο, η δυσκολία των προβλημάτων που παράγουν είναι απρόσμενη. Η κατανομή των πρώτων αριθμών σχετίζεται με την εικασία του Riemann. Το άθροισμα των πρώτων αριθμών σχετίζεται αντίστροφα με την εικασία του Goldbach. Οι διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί αποτελούν την εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών. Οι διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί σε αριθμητική πρόοδο προβλέπονται από την ενισχυμένη εικασία του Hardy. Βλέπουμε λοιπόν ότι ο συνδυασμός πρώτων αριθμών οδηγεί γρήγορα σε προβλήματα που δεν ξέρουμε ακόμα να λύνουμε. Έτσι οι πρώτοι αριθμοί έχουν αποκτήσει μια θεμελιακή θέση στη θεωρία αριθμών από τότε που ο Ευκλείδης απόδειξε ότι είναι άπειροι σε πλήθος. Όλο αυτό το πλαίσιο ενίσχυσε δυναμικά τη δράση των ηλεκτρονικών υπολογιστών σε αυτόν τον τομέα. Η αλγοριθμική έρευνα των πρώτων αριθμών οδήγησε στη μελέτη των μεγάλων πρώτων αριθμών. Έτσι βρεθήκαμε στην κατάσταση της έρευνας μεγάλων αριθμών, οι οποίοι είναι υποψήφιοι ως πρώτοι αριθμοί. Η δυσκολία εμφανίζεται σε αυτό το επίπεδο, διότι εξαντλητικοί μέθοδοι του τύπου του κόσκινου του Ερατοσθένη δεν επαρκούν για να αποδείξουν ότι αυτοί οι υποψήφιοι είναι όντως πρώτοι αριθμοί. Η έρευνα σε αυτόν τον τομέα άλλαξε φάση με το λεγόμενο πιστοποιητικό που αποδεικνύει την ιδιότητα. Εδώ και πάλι δημιουργήθηκαν διάφορες μέθοδοι μεταξύ άλλων και η μέθοδος των ελλειπτικών καμπυλών. Με αυτόν τον τρόπο αποδείξαμε το 1998 ότι ανακαλύψαμε με τους H. Dubner, T. Forbes, M. Mizony, H. Nelson και P. Zimmermann, δέκα διαδοχικούς πρώτους αριθμούς σε αριθμητική πρόοδο (βλ Opus), αποτέλεσμα που αποτελεί ακόμα και τώρα παγκόσμιο ρεκόρ. Και το 1999 με τον M.Mizony βρήκαμε ένα παράγοντα 54 ψηφίων που αποτέλεσε τότε το παγκόσμιο ρεκόρ της εποχής για την μέθοδο ελλειπτικών καμπυλών (βλ. Opus). Στο μεταξύ από το 1988 μέσω του J.-P. Serre μελετούσαμε την συνάρτηση του Ramanujan για ν’ ανακαλύψουμε την έκτη λύση μίας ιδιόμορφης ισοδυναμίας, δεν είχαμε όμως την απαραίτητη υπολογιστική ισχύ για να πετύχουμε τον στόχο μας. Μόνο μετά από 22 χρόνια καταφέραμε με τον O. Rozier να σπάσουμε αυτό το ρεκόρ (βλ. Opus). Η δυσκολία όμως των πρώτων αριθμών προέρχεται κι από το μέγεθος. Σε αυτόν τον τομέα υπάρχει κι ειδική ορολογία του Yates. Έτσι ένας πρώτος αριθμός που έχει περισσότερα 1000 ψηφία ονομάζεται τιτανικός πρώτος αριθμός. Ένα τέτοιο αριθμό ανακαλύψαμε το 2011 με τον O. Rozier ο οποίος είχε 1822 ψηφία. Ενώ ένας πρώτος αριθμός που έχει περισσότερα από 10.000, ονομάζεται γιγαντιαίος πρώτος αριθμός. Και για περισσότερα από ένα εκατομμύριο ψηφία, έχουμε τους μέγα πρώτους αριθμούς. Από αυτούς τους τελευταίους αριθμούς γνωρίζουμε ελάχιστους κι είναι όλοι πρώτοι αριθμοί του τύπου Mersenne. Η δυσκολία της εύρεσης τους απαιτεί χιλιάδες υπολογιστές που λειτουργούν ως ένα πλέγμα για τον ίδιο σκοπό. Σε αυτό το επίπεδο δεν υπάρχουν μόνο οι δυσκολίες των μαθηματικών και της πληροφορικής αλλά και της διαχείρισης του όλου συστήματος. Με άλλα λόγια έχουμε τη δυνατότητα να βρούμε μεγάλους υποψήφιους πρώτους αριθμούς, δίχως να έχουμε απαραίτητα, τουλάχιστον προς το παρόν, την απαιτούμενη υπολογιστική ισχύ, για να το αποδείξουμε σε ένα εφικτό χρονικό διάστημα. Για αυτό το λόγο είναι απαραίτητη πλέον η δυναμική προσέγγιση των πρώτων αριθμών, διότι η κλασική προσέγγιση τα όρια της ακόμα και με ειδικές περιπτώσεις διότι η ποσότητα αλλοιώνει την ποιότητα και προκαλεί μια αλλαγή φάσης.

http://www.lygeros.org

Πέντε Ελληνικά Μετάλλια στην 28η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα »

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ
Μεγάλη Επιτυχία
Ολοκληρώθηκε η 28η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα που πραγματοποιήθηκε στο Ιάσιο της Ρουμανίας από 4 έως 8 Μαΐου, με τη συμμετοχή των καλύτερων μαθητών της Νοτιοανατολικής Ευρώπης στα Μαθηματικά.

Οι Βαλκανικές Μαθηματικές Ολυμπιάδες (Β.Μ.Ο.) είναι ένας θεσμός υψηλοτάτου ενδιαφέροντος όχι μόνο για την περιοχή της Νοτιοανατολικής Ευρώπης. Απόδειξη σ΄ αυτό αποτελεί η συμμετοχή εκτός συναγωνισμού εθνικών ομάδων και από άλλες χώρες της Ευρώπης όπως της Αγγλίας, Γαλλίας και της Ιταλίας.

Οι έλληνες μαθητές μέλη της ελληνικής ομάδας, συνεχίζοντας τη μεγάλη παράδοση των επιτυχιών των ελληνικών ομάδων στις Βαλκανικές και Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες, διακρίθηκαν σ΄ αυτή τη διοργάνωση. Συγκεκριμένα:

Βλάχος Γεώργιος                            Αργυρό Μετάλλιο
Κακαρούμπας Σπυρίδων             Χάλκινο Μετάλλιο
Καλαντζής Γεώργιος                     Χάλκινο Μετάλλιο
Λώλας Παναγιώτης                       Χάλκινο Μετάλλιο
Μουσάτωβ Αλέξανδρος             Χάλκινο Μετάλλιο

Συνοδοί των μαθητών ήταν ο Καθηγητής του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων κ. Θεόδωρος Μπόλης και ο Μαθηματικός Διδάκτορας κ. Δημήτριος Κοντοκώστας.

Τα αποτελέσματα αυτά δικαιώνουν τις προσπάθειες της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας για την αναβάθμιση της Μαθηματικής Παιδείας στη χώρα μας.

Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών

Ανακοίνωση – Δελτίο Τύπου

Σας προσκαλούμε να συμμετέχετε και να παρακολουθήσετε το

«2nd International Conference of Universities of Five Cities»
Rhodes, Nicosia, Bologna, Palermo, Locarno,

Research on Mathematical Education
and Mathematics Applications”

το οποίο θα διοργανωθεί 6–7 Μαΐου 2011 από το Πανεπιστήμιο Αιγαίου (Εργαστήριο Μαθηματικών και Πολυμέσων, το Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα στις Επιστήμες της Αγωγής και το Διδασκαλείο «Αλ. Δελμούζος» του Π.Τ.Δ.Ε.), στην αίθουσα του Πανεπιστημίου στο Ξενοδ. Κάμειρος, με συμμετοχή διαπρεπών καθηγητών Πανεπιστημίων της Ελλάδας και του εξωτερικού, στον χώρο των Μαθηματικών και της Μαθηματικής Εκπαίδευσης.

Το συνέδριο είναι συνέχεια της επιτυχημένης συνάντησης ερευνητών Μαθηματικών και Μαθηματικής Εκπαίδευσης των Πανεπιστημίων των πέντε πόλεων Ρόδος, Λευκωσία, Bologna, Palermo και Locarno.

Περισσοτερες πληροφοριες…

Για την Oργανωτική Eπιτροπή του συνεδρίου
Ευγενιος Αυγερινος, Καθηγητης

Διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί σε αριθμητική πρόοδο – Νίκος Λυγερός »

Διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί σε αριθμητική πρόοδο

Νίκος Λυγερός
Εις μνήμη του H. Dubner

Ο προβληματισμός της εύρεσης διαδοχικών πρώτων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο ανήκει σ’ ένα ευρύτερο πλαίσιο της θεωρίας αριθμών που αρχίζει με το θεώρημα του Dirichlet το 1837.
Εάν a και b είναι θετικοί ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους, τότε η αριθμητική πρόοδος a, a+b, a+2b, a+3b, …, εμπεριέχει πρώτους αριθμούς σε άπειρο πλήθος.
Η ιδέα της διαδοχικότητας αρχίζει μόνο με το έργο του van der Corput το 1939 και του Chowla το 1944, τα οποία αποδεικνύουν ότι το θεώρημα ισχύει για τρία διαδοχικά στοιχεία.
Πρέπει να περιμένουμε το 2004 για να αποδεχθεί από τους Green και Tao ότι υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλες αριθμητικές πρόοδοι με πρώτους αριθμούς. Το πρόβλημα είναι ότι αυτό το θεώρημα δεν επαρκεί για την αναζήτηση των διαδοχικών πρώτων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο. Και για να γίνει κατανοητή αυτή η θεμελιακή δυσκολία, αρκεί να αντιληφτούμε ότι αυτή η εικασία δεν έχει αποδεχθεί ούτε καν για 3 πρώτους τέτοιου τύπου.
Όσον αφορά στο υπολογιστικό τομέα η δυσκολία δεν είναι μικρότερη, όπως βλέπουμε από τα επόμενα ιστορικά αποτελέσματα.
Το πρώτο επίτευγμα γίνεται το 1967 από τους W.J. Blundon, M.F. Jones και M. Lal που βρίσκουν 5 διαδοχικούς πρώτους αριθμούς σε αριθμητική πρόοδο με τον εξής τύπο:
1010 + 24493 + 30k k=0,1,2,3,4
Την ίδια χρονιά οι L. J. Lander και T. R. Parkin βρίσκουν 6 με ένα άλλο τύπο:
121174811 + 30k, k=0,1,…..5
Για να βρεθούν 7, χρειάστηκε μια περίοδος σχεδόν 10 χρόνων μέσω μιας καινοτόμας ιδέας. Η υλοποίηση έγινε από τους H. Dubner και H. Nelson τον Αύγουστο του 1995.
Αυτό το αποτέλεσμα θα μπορούσε να παραμείνει ένα παγκόσμιο ρεκόρ για αρκετά χρόνια αν δεν είχε βρεθεί μια άλλη προσέγγιση από την ομάδα των H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, P. Zimmermann η οποία ανακάλυψε διαδοχικά 8, 9 και 10 διαδοχικούς πρώτους αριθμούς σε αριθμητική πρόοδο το Νοέμβριο του 1997, τον Ιανουάριο 1998 και τον Μάρτη το 1998. Από τότε δεν έχει βρεθεί ακόμα τρόπος για την ανακάλυψη των 11. Η εκτίμηση του χρόνου υπολογισμού με την ίδια μέθοδο ξεπερνά τα δισεκατομμύρια έτη και μας αναγκάζει να ψάξουμε για άλλη καινοτομία.

http://www.lygeros.org

Στον Αμερικανό μαθηματικό Τζον Μίλνορ το Βραβείο Άμπελ

Στον Αμερικανό μαθηματικό Τζον Μίλνορ απονέμεται το Βραβείο Άμπελ για το 2011, το αποκαλούμενο και «Νόμπελ Μαθηματικών», όπως ανακοίνωσε η Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών.

Σύμφωνα με την ανακοίνωση της Ακαδημίας ο 80χρονος σήμερα επιστήμονας βραβεύεται για τις πρωτοποριακές του ανακαλύψεις στην τοπολογία, τη γεωμετρία και την άλγεβρα, δηλαδή σε όλο το φάσμα των μαθηματικών, ένα ασυνήθιστο επίτευγμα. Ο Μίλνορ έγινε διάσημος όταν ανακάλυψε ότι υπάρχουν σφαίρες σε επτά διαστάσεις, πολύ διαφορετικές απ’ αυτές με τις οποίες παίζουμε ποδόσφαιρο ή μπάσκετ.

Το βραβείο Άμπελ απονεμήθηκε για πρώτη φορά το 2003, αποκτώντας γρήγορα «στάτους» ισοδύναμο με Νόμπελ μεταξύ των μαθηματικών, και συνοδεύεται από το ποσό περίπου του 1 εκατ. δολαρίων. Πήρε την ονομασία του Νορβηγού μαθηματικού του 19ου αιώνα Νιλς Χένρικ Άμπελ, ο οποίος ανακάλυψε τη θεωρία ομάδων μαζί με τον Τσέχο μαθηματικό Φράντιζεκ Βολφ.

Το βραβείο θα απονείμει στον Μίλνορ ο Νορβηγός βασιλιάς Χάραλντ κατά τη διάρκεια ειδικής τελετής που θα πραγματοποιηθεί στο Όσλο στις 24 Μαΐου, όπως αναφέρουν οι επιστημονικές εκδόσεις “Science”, “Nature” και “New Scientist”.

Ποιος είναι

Ο Τζον Μίλνορ είναι ειδικός στην τοπολογία, καθώς και στις θεωρίες των δυναμικών συστημάτων, των παιγνίων, των ομάδων και των αριθμών και διδάσκει στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών του πανεπιστημίου Stony Brook της Νέας Υόρκης. Η καριέρα του ξεκίνησε το 1950, όταν όντας ακόμα φοιτητής στο πανεπιστήμιο Πρίνστον, κατάφερε να λύσει ένα άλυτο μέχρι τότε πρόβλημα σχετικά με την καμπυλότητα των κόμβων, συγκεντρώνοντας πάνω του το ενδιαφέρον των μαθηματικών. Μόλις έξι χρόνια αργότερα αναγνωρίστηκε διεθνώς, όταν απέδειξε την ύπαρξη «εξωτικών» σφαιρών με επτά διαστάσεις και παράξενες τοπολογικές ιδιότητες.

Διασημότητα του έχουν χαρίσει επίσης τα “μυθικά” βιβλία του, στα οποία εξηγούνται με (σχετικά) απλό και καθαρό τρόπο τα μαθηματικά, κάθε νέο του πόνημα γίνεται σύντομα “κλασικό” μεταξύ των συναδέλφων του. Σύμφωνα με τη Νορβηγική Ακαδημία όλα τα έργα του διακρίνονται “ για τη σπουδαία έρευνά τους, τις θεμελιώδεις ενοράσεις, τη ζωηρή φαντασία, τα στοιχεία έκπληξης και την υπέρτατη ομορφιά τους”.

Του έχουν ήδη απονεμηθεί όλα τα άλλα σημαντικά βραβεία μαθηματικών (Φιλντς 1962, Βολφ 1989 κ.α.), ωστόσο δήλωσε ότι ξαφνιάστηκε όταν τον ειδοποίησαν ότι πήρε και το Άμπελ, καθώς όπως είπε “πάντα αιφνιδιάζεται κάποιος, όταν τον παίρνουν τηλέφωνο στις έξι ώρα το πρωί”
enet.gr

Tα µαθηµατικά του ποδοσφαίρου

ΤΟΥ Γιώργου Νασµή
Οι κορυφαίοι ποδοσφαιριστές όπως ο Κριστιάνο Ρονάλντο, ο Μέσι και ο Γουέιν Ρούνι (φωτογραφία) είναι πολύ καλοί στα µαθηµατικά, πιστεύουν οι ερευνητές
Αφού ανέλυσε δεκάδες ώρες ποδοσφαίρου ο αθλητικός επιστήµονας κατέληξε στο συµπέρασµα πως οι κορυφαίοι ποδοσφαιριστές όπως ο Κριστιάνο Ρονάλντο, ο Μέσι και ο Γουέιν Ρούνι είναι πολύ καλοί στα µαθηµατικά.

«Το ποδόσφαιρο είναι τέχνη, αλλά ταυτόχρονα και επιστήµη, και κάθε παίκτης χρησιµοποιεί γεωµετρία, αεροδυναµική και τις πιθανότητες για να φτάσει το µέγιστο τηςαπόδοσής του. Ταµαθηµατικά παίζουν τόσο καθοριστικό ρόλο στο παιχνίδι, ώστε οι κορυφαίοι παίκτες συνδυάζουν τον αθλητισµό µε την επιστηµονική σκέψη για να ξεχωρίσουν από τους υπόλοιπους παίκτες», εξηγεί ο δρ Μπρέι.

ΤΑ ΦΑΟΥΛ
Για τις εκτελέσεις φάουλ από απόσταση 23 µέτρων η µπάλα πρέπει να φύγει από τοπόδι του ποδοσφαιριστήµε γωνία 16 µοιρών. Για τους δεξιοπόδαρους πρέπει να χτυπηθεί ελαφρά προς τα δεξιά ώστε να πάρει τα φάλτσα και να κατευθυνθεί µε δύναµη προς την εστία. Η αρχική ταχύτητα της µπάλας πρέπει να είναι95-115 χλµ. / ώρα και να περιστρέφεται µε 600 στροφές το λεπτό.

Ο αµυντικός της Μπέρνλι Καρλ Καρλάιλ που θεωρείται το «µεγαλύτερο µυαλό» του βρετανικού ποδοσφαίρου και είναι αριστούχος στα µαθηµατικά υποστηρίζει πως «από τον επιθετικό µέχρι τον τερµατοφύλακα στηριζόµαστε στις αρχές τηςεπιστήµης και τωνµαθηµατικών για να βελτιώσουµε την απόδοσή µας, να σουτάρουµε πιο καλά, να δίνουµε πάσες σε γωνίες ή να τοποθετούµε σωστά το τείχος».

Ο πρώην επιθετικός της Εβερτον και της ΤσέλσιΠατ Νέβιν που είναι πτυχιούχοςστις Τέχνες από τοΠανεπιστήµιο Caledonian της Γλασκώβης πιστεύει πως πολλοίείναι αυτοί που υποτιµούν το µυαλό των ποδοσφαιριστών.

«Στο σχολείο µε αποκαλούσαν Λάχανο γιατίπίστευαν πως ήµουν χαζός επειδή έπαιζα συνεχώς ποδόσφαιρο, παρά το γεγονός ότι έπαιρνα καλύτερους βαθµούς απ’ αυτούς στα διαγωνίσµατα. Θυµάµαι έναν δάσκαλο που µου είπε: «Μερικοίαπό τους καλύτερούς µου µαθητές ήταν ποδοσφαιριστές».

«Το γεγονός ότι η πλειονότητα τωνποδοσφαιριστών δεν σπουδάζει στα πανεπιστήµια δεν σηµαίνει πως είναι χαζοί. Αρκετοί από τους πιο έξυπνους ανθρώπους που έχω συναντήσει στο ποδόσφαιρο δεν είχαν ούτε απολυτήριο γυµνασίου», λέει µε έµφαση ο σχολιαστής πλέον του Channel Five. Και συνεχίζει: «Ανθρωποι σαν και µένα και τον Μπράιαν ΜακΚλερ (πρώην παίκτης της Μάντσεστερ Γ. και της Σέλτικ) θεωρούµαστε εξαιρέσεις που πήγαµε στο πανεπιστήµιο. ∆εν θεωρώ όµως τον εαυτό µου εξυπνότερο απ’ όσους έχω παίξει ποδόσφαιρο».

«Οταν παίζεις για πολλά χρόνια µπάλα σε βοηθάνα κατανοήσεις τη γεωµετρία και να αντιλαµβάνεσαι καλύτερα τον χώρο που κινείσαι. Πολλοί άνθρωποι έχουν πνευµατικές ικανότητες σε ορισµένους τοµείς και οι ποδοσφαιριστές δεν είναι κάτι διαφορετικό. Υπάρχουν άνθρωποι που πηγαίνουν στο Κέµπριτζ ή στην Οξφόρδη, αλλά δεν διαθέτουν κοινωνική νοηµοσύνη».
ta nea.gr

Top
 
Μετάβαση σε γραμμή εργαλείων