Αφορμή στάθηκαν οι παρατηρήσεις του σχολικού συμβούλου κ. Δ. Μπουνάκη στο αρχείο Γ΄ Λυκείου Μιγαδικοί 2010-11 που περιέχει διδακτικό υλικό για τους μιγαδικούς.
Το σχόλιο ήταν για ένα θέμα των εισαγωγικών εξετάσεων τέκνων Ελλήνων εξωτερικού (θετικής κατεύθυνσης) που δόθηκε πριν λίγα χρόνια και ειδικά για το ερώτημα γ.
Το θέμα ήταν:
Έστω ότι για ένα μιγαδικό αριθμό z ισχύει (5z – 1)5 = (z – 5)5 :
α) Nα δείξετε ότι |5z -1| = | z – 5|. β) Nα δείξετε ότι | z | = 1.
γ) Αν w = 5z + 1 να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο μιγαδικό επίπεδο.
Το σχόλιο του κ. Μπουνάκη είναι:
“Ασάφεια υπάρχει στο (γ) ερώτημα. Ωραία, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο μιγαδικό επίπεδο, προφανώς (κατά τον εξεταστή) όταν μεταβάλλεται ο z (που έπρεπε να αναφέρεται), αλλά που μεταβάλλεται ο z; Ίσως (ή προφανώς;) εννοεί ο εξεταστής, στον μοναδιαίο κύκλο (από το ερώτημα (β)), αλλά αυτό από πού προκύπτει;
Μια άλλη παρατήρηση που μπορεί να γίνει εδώ, αλλά δεν αφορά τους μαθητές, είναι ότι οι μιγαδικοί z με την ιδιότητα (5z – 1)5 = (z – 5)5 δεν είναι άπειροι, αλλά ακριβώς 5, ως λύσεις μιας πολυωνυμικής εξίσωσης 5ου βαθμού. Άρα και οι μιγαδικοί w είναι ακριβώς 5, επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος δεν είναι ο κύκλος |w – 1| = 5, αλλά μόνο 5 σημεία του κύκλου αυτού! Είναι σχεδόν βέβαιο ότι κανείς μαθητής δεν θα έδωσε αυτή την σωστή απάντηση, χωρίς δική του βέβαια υπαιτιότητα, αλλά σίγουρα πολλοί βαθμολογήθηκαν με άριστα, αφού οι εκπτώσεις στην βαθμολογία σε αυτές τις περιπτώσεις είναι αναπόφευκτες.”
Το αρχείο Θέμα εξετάσεων στο geogebra οπτικοποιεί τις παραπάνω παρατηρήσεις
Οπότε οι προτάσεις του κ. Μπουνάκη για τη διατύπωση του (γ) ερωτήματος είναι απόλυτα αναγκαίες
Σαν ανεξάρτητο ερώτημα:
(γ) Αν w = 5z + 1 να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο μιγαδικό επίπεδο, όταν η εικόνα του z μεταβάλλεται (σ’ ολόκληρο) στον μοναδιαίο κύκλο.
ή
Σαν εξαρτώμενο από τα προηγούμενα:
(γ) Αν w = 5z+1 να βρεθεί η καμπύλη πάνω στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w
