Το Τρίγωνο του Πασκάλ ( Pascal 1623-1662)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
. . .
Παρατηρήστε τα αναπτύγματα των δυνάμεων του αθροίσματος
α+ β.
- Οι αντίστοιχοι συντελεστές σε κάθε ανάπτυγμα σχηματίζουν μια γραμμή σ’ ένα αριθμητικό τρίγωνο, που είναι γνωστό ως τρίγωνο του Πασκάλ.Το τρίγωνο αυτό πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Blaise Pascal (1623 – 1662) και οι αριθμοί του κρύβουν πολλές ιδιότητες. Ο πρώτος και ο τελευταίος αριθμός κάθε σειράς είναι 1. Μπορείτε να ανακαλύψετε με ποιον τρόπο προκύπτουν οι υπόλοιποι αριθμοί κάθε σειράς;
- Συνεχίστε την κατασκευή του τριγώνου και βρείτε τα αναπτύγματα (α + β)5 και (α + β)6, αφού πρώτα ανακαλύψετε με ποιον τρόπο γράφονται οι δυνάμεις του α και του β σε κάθε ανάπτυγμα.
- Να βρείτε και το ανάπτυγμα του (α – β)6, αν γνωρίζετε ότι και τα αναπτύγματα των δυνάμεων της διαφοράς α – β προκύπτουν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, μόνο που θέτουμε τα πρόσημα εναλλάξ, αρχίζοντας από +. π.χ. (α – β)2 = α2 – 2αβ + β2, (α – β)3 = α3 – 3 α2 β + 3αβ2 – β3
- Μπορείτε να βρείτε ποιες άλλες ιδιότητες κρύβουν οι αριθμοί του τριγώνου Πασκάλ;