Πυθαγόρειες τριάδες

Πυθαγόρειες τριάδες

εικόνα

Αν οι αριθμοί α, β, γ εκφράζουν τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε όπως γνωρίζουμε, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα

α2 = β2 + γ2 (1)

 

Πόσα όμως ορθογώνια τρίγωνα μπορούμε να βρούμε που τα μήκη των πλευρών τους εκφράζονται με ακέραιους αριθμούς;

Μια τριάδα θετικών ακεραίωναριθμών α, β, γ, για την οποία ισχύει η σχέση (1), λέμε ότι αποτελεί Πυθαγόρεια τριάδα. Την απλούστερη Πυθαγόρεια τριάδα σχηματίζουν οι αριθμοί 5, 4, 3 αφού 52 = 42 + 32. Υπάρχουν, άραγε, τρόποι να σχηματίζουμε Πυθαγόρειες τριάδες; Ο Πυθαγόρας (6ος αιώνας π.Χ.) γνώριζε ότι οι αριθμοί της μορφής

εικόνα

σχηματίζουν μια Πυθαγόρεια τριάδα.

  1. Μπορείτε να το αποδείξετε;
  2. Να βρείτε δύο τουλάχιστον Πυθαγόρειες τριάδες με τους αριθμούς του Πυθαγόρα.

 

Ο Πλάτωνας (5ος – 4ος αιώνας π.Χ.) γνώριζε ότι οι

εικόνα

σχηματίζουν μια Πυθαγόρεια τριάδα.

  1. Μπορείτε να το αποδείξετε;
  2. Να βρείτε δύο τουλάχιστον Πυθαγόρειες τριάδες με τους αριθμούς του Πλάτωνα.

 

O Διόφαντος (3ος αιώνας μ.Χ.) στηριζόμενος σε μία ταυτότητα την οποία γνώριζε και ο Ευκλείδης, έδωσε μια γενικότερη λύση στο πρόβλημα κατασκευής Πυθαγορείων τριάδων από οποιουσδήποτε αριθμούς (άρτιους ή περιττούς). Ανακάλυψε ότι ο αριθμοί της μορφής λ2 + μ2, λ2 – μ2, 2λμ, όπου λ, μ θετικοί άνισοι ακέραιοι αριθμοί, σχηματίζουν Πυθαγόρεια τριάδα.

  1. Μπορείτε να το αποδείξετε;
  2. Να βρείτε δύο τουλάχιστον Πυθαγόρειες τριάδες με τους αριθμούς του Διόφαντου

    Μηχανή παραγωγής πυθαγόρειων τριάδων-Εργασία

Αφήστε μια απάντηση