Ποιος είναι ο αριθμός αριθμός «π»;
Ανάμεσα στους άπειρους αριθμούς που συναντάμε, υπάρχουν και κάποιοι που έχουν λίγο μεγαλύτερη σημασία. Οι αριθμοί αυτοί δεν είναι απλώς σύμβολα με ποσοτική σημασία, αλλά έχουν βαθύτερο νόημα. Σε αυτό το σύνολο των σημαντικών αριθμών, το «π» (ή αλλιώς ο αριθμός 3,14…) είναι ο … βασιλιάς.
Σχεδόν όλος ο κόσμος γνωρίζει τον αριθμό «π», όμως οι ιδιότητες αυτού του πολύ σημαντικού συμβόλου δεν είναι αντίστοιχα διαδεδομένες. Τι κρύβει μέσα του αυτό το πασίγνωστο 3,14 και γιατί διαφέρει τόσο πολύ από τους … κοινούς αριθμούς;
Η ημέρα του «π» (Pi Day)
Γιορτάζεται κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου εξαιτίας ορισμένων αριθμητικών συμπτώσεων. Συγκεκριμένα, η τιμή της σταθεράς «π» (με προσέγγιση εκατοστού είναι 3,14) είναι αυτή που δίνει τη συγκεκριμένη ημερομηνία εορτασμού καθώς στο εξωτερικό, ως γνωστόν γράφουν πρώτα το μήνα και μετά την ημέρα, δηλ. έχουμε 3-14 ή 14/3 στον ελληνικό τρόπο γραφής ημερομηνιών. Μάλιστα, η ημέρα γιορτάζεται με πάρτι σε πολλές μαθηματικές σχολές του κόσμου, ακριβώς στη 1.59 μ.μ, καθώς τα ψηφία 1, 5 και 9 είναι οι τρεις αριθμοί που ακολουθούν τη σταθερά 3,14 η οποία στην εξαψήφια εκδοχή της είναι π=3,14159.
Ο εορτασμός της ημέρας του “π” καθιερώθηκε το 1988 από τον Larry Shaw στο San Francisco των ΗΠΑ.
Γιορτάζεται, δε, με την … κατανάλωση στρογγυλών πιτών – στα αγγλικά το ελληνικό γράμμα «π» θυμίζει την αγγλική λέξη pie (πίτα) η οποία προφέρεται ως “πάι”.
Η προσεγγιστική ημέρα του «π» (Pi Approximation Day)
Εκτός της ημέρας του «π», υπάρχει και η ημέρα προσεγγίσεως του «π» (Pi Approximation Day), στις 22 Ιουλίου κάθε χρόνου (22/7 με τον ελληνικό τρόπο γραφής ημερομηνιών), καθώς το κλάσμα 22/7 αποτελεί μία συνηθισμένη προσέγγιση του «π», χρονολογούμενη από τον Αρχιμήδη.
Τι είναι το «π»;
Η μαθηματική σταθερά «π» είναι ένας πραγματικός αριθμός ο οποίος, στην Ευκλείδεια γεωμετρία, μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του μήκους (L) της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του (D).
Ο συμβολισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα «π» (πι) της λέξης «περιφέρεια», και έχει καθιερωθεί διεθνώς, ενώ στο λατινικό αλφάβητο συμβολίζεται ως «pi», όταν δεν είναι διαθέσιμοι τυπογραφικά ελληνικοί χαρακτήρες. Το «π» είναι γνωστό επίσης ως σταθερά του Αρχιμήδη (δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό του Αρχιμήδη) ή αριθμός του Λούντολφ. Χρησιμοποιείται πολύ συχνά τόσο στα μαθηματικά όσο και στη φυσική και τη μηχανολογία.
Ανακαλύπτοντας τα «μυστικά» του κύκλου
Η ανάγκη του ανθρώπου να μετρήσει το μήκος ενός κύκλου γεννήθηκε πολλές χιλιετίες πριν. Το πιο γνωστό σχήμα, ανάμεσα σε όλα τα γεωμετρικά κατασκευάσματα, είχε όμως κάποιες περίεργες ιδιότητες. Τυλίγοντας ένα σκοινί γύρω από ένα κυκλικό σχήμα, μπορούσε κανείς να υπολογίζει το μήκος του. Ανάμεσα στην διάμετρο του κύκλου και στο μήκος του υπήρχε μια σταθερή σχέση, η οποία όμως δυσκόλευε τους γεωμέτρες για πολλούς αιώνες.
Ανεξάρτητα από το μέγεθος του κύκλου, οι μαθηματικοί είχαν ανακαλύψει πως η περίμετρος του ήταν περίπου 3 φορές μεγαλύτερη της διαμέτρου του. Στα μαθηματικά όμως δεν υπάρχει η έννοια του «περίπου». Για πάρα πολύ καιρό οι επιστήμονες προσπαθούσαν να υπολογίσουν με ακρίβεια την σταθερά που έκρυβε τα … μυστικά του κύκλου. Δεν ήταν όμως καθόλου εύκολο να την βρουν.
Από την αρχαία Αίγυπτο μέχρι και τον Αρχιμήδη
Βαβυλώνιοι, Αιγύπτιοι, Έλληνες, Άραβες και αρκετοί άλλοι αρχαίοι λαοί είχαν συντονίσει τις προσπάθειες τους ώστε να βρουν το πολυπόθητο «π». Οι πρώτες δοκιμές εμφανίστηκαν στην Αίγυπτο, πριν από σχεδόν πέντε χιλιετίες. Ανάμεσα στις αναλογίες της Μεγάλης Πυραμίδας της Γκίζας, η οποία κατασκευάστηκε το 2589–2566 π.Χ, εμφανίζεται για πρώτη φορά ο αριθμός «π». Η περίμετρος της πυραμίδας ήταν περίπου 6,28 φορές μεγαλύτερη από το ύψος της. Ο αριθμός αυτός αντιστοιχεί στο διπλάσιο του «π» και είναι σχεδόν σίγουρο πως για το εντυπωσιακό κτίσμα των Αιγυπτίων είχαν γίνει μελέτες έτσι, ώστε να τηρεί τις αναλογίες ενός κύκλου.
Οι πρώτες γραπτές αποδείξεις, ή καλύτερα προσεγγίσεις, για την σταθερά του κύκλου ήρθαν αρκετά χρόνια αργότερα. Οι Βαβυλώνιοι ήταν αυτοί που προσπάθησαν πρώτοι να δώσουν ένα αυστηρό μαθηματικό μοντέλο. Σε ένα δίσκο που χρονολογείται γύρω στο 1700 π.Χ. υπάρχει το κλάσμα 25/8 που ισούται με 3,125 και θεωρείται η πρώτη κοντινή προσέγγιση. Λίγα χρόνια αργότερα, οι Αιγύπτιοι «βελτίωσαν» την σταθερά, με το κλάσμα (16/9)^2 που αντιστοιχεί περίπου στον αριθμό 3,1605.
Για αρκετούς αιώνες οι επιστήμονες στηρίζονταν σε εμπειρικά δεδομένα για να προσεγγίσουν το «π». Ο πρώτος που επιχείρησε να υπολογίζει το μήκος ενός κύκλου χρησιμοποιώντας αυστηρή μαθηματική θεωρία ήταν ο Αρχιμήδης. Ο σπουδαίος αυτός μαθηματικός δεν είναι … δίκαιο να θεωρείται «εφευρέτης του π» όμως είναι σίγουρα ο πρώτος άνθρωπος που προσέγγισε σε μεγάλο βαθμό τη γνωστότερη σταθερά του πλανήτη. Χρησιμοποιώντας κανονικά πολύγωνα που «αγκάλιαζαν» ένα κύκλο κατάφερε να βρει πως το «π» ισούται με περίπου 3,1416.
Έχει βρεθεί τελικά ο αριθμός «π»;
Ακόμα και σήμερα, μπορούμε να πούμε πως ο αριθμός «π» δεν έχει βρεθεί. Μπορεί βέβαια, μέσω νέων τεχνικών, να έχουν υπολογιστεί πολλά εκατομμύρια από τα δεκαδικά ψηφία του, όμως το «π» είναι ένας υπερβατικός αριθμός. Πιο απλά, το «π» δεν θα μπορέσει ποτέ να γραφτεί ως ένας συγκεκριμένος αριθμός, διότι τα ψηφία του δεν τελειώνουν ποτέ. Αυτή είναι και η μαγεία της συγκεκριμένης σταθεράς. Ένα νούμερο που αφορά το πιο γνωστό σχήμα στον κόσμο, που μπορεί να συνδέει δύο απόλυτα φυσιολογικά χαρακτηριστικά όπως το μήκος και τη διάμετρο, δεν μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια. Πάντα αφήνει ένα ελάχιστο περιθώριο σφάλματος.
Φυσικά αυτό το σφάλμα είναι αμελητέο, αφού πλέον έχουν γίνει «βαθιές» προσεγγίσεις που είναι υπεραρκετές για κάθε ιδιότητα που θέλει να μελετήσει κανείς. Μέσα στις χιλιετίες, εκατοντάδες μαθηματικοί έχουν δώσει τις δικές τους αποδείξεις γύρω από τον «αγαπημένο» τους αριθμό, χρησιμοποιώντας όλο και πιο σύγχρονες μεθόδους. Εδώ και αρκετά χρόνια ωστόσο είναι γνωστό πως όσο και να προσπαθήσει κανείς, ποτέ δεν πρόκειται να βρεθεί ο κατάλληλος αριθμός για το «π».
Οι όποιοι υπολογισμοί συνεχίζουν να πραγματοποιούνται, δεν έχουν καθαρά μαθηματική σημασία. Πλέον το «π» χρησιμοποιείται κυρίως για να ελέγξει τις προσεγγιστικές δυνατότητες των αλγορίθμων. Οι μαθηματικοί έχουν σταματήσει να ασχολούνται με την σταθερά που δεν πρόκειται ποτέ να υπολογίσουν. Από την άλλη, οι προγραμματιστές συνεχίζουν την προσπάθεια που έχει ξεκινήσει εδώ και χιλιάδες χρόνια, μόνο που έχουν διαφορετικό στόχο. Η ακριβέστερη προσέγγιση του «π» γίνεται πλέον για χάρη της πληροφορικής και όχι των μαθηματικών, αφού είναι ένα από τα καλύτερα κριτήρια για την ισχύ ενός αλγορίθμου.
Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του «π»
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
Η ημερομηνία γέννησής μας στα δεκαδικά ψηφία του «π»!
Όπως αναφέραμε πιο πάνω ο αριθμός «π» είναι υπερβατικός, με αποτέλεσμα τα δεκαδικά του ψηφία να είναι άπειρα. Για να αντιληφθούμε καθώς και να πεισθούμε για την απειρία των ψηφίων και των συνδυασμών τους που περιέχει ο αριθμός «π», κάνουμε το εξής πείραμα:
- Βήμα 1: Μπαίνουμε στην ιστοσελίδα http://www.angio.net/pi/piquery.html#likely ,
- Βήμα 2: Γράφουμε στο πρώτο κελί την ημερομηνία γέννησή μας. Αν π.χ. γεννηθήκαμε 3 Απριλίου 1952, γράφουμε 341952 και όχι 03041952 (γιατί τότε ενδέχεται να είμαστε άτυχοι)
- Βήμα 3ο: Πατάμε το κουμπί “Search pi”
Αυτό ήταν! Το πρόγραμμα μας δίνει αυτόματα μετά από πόσα δεκαδικά ψηφία υπάρχει η ημερομηνία γέννησης στον αριθμό “π”!
Υπάρχει όμως περίπτωση να μην βρεθεί ο αριθμός που θέσαμε; Εννοείται, π.χ. αν βάλουμε τον αριθμό 05 05 1976, (συνεχόμενα), θα γράψει ότι στα πρώτα 200.000.000 εκατομμύρια δεκαδικά ψηφία δεν υπάρχει το νούμερο που ζητήσαμε.
