Στις 25 Δεκεμβρίου 1648 ο Fermat σε μια επιστολή του προς τον Marin Mersenne διατύπωσε το γνωστό “Θεώρημα των Χριστουγέννων” . Όπως και με το διάσημο τελευταίο του θεώρημα, ο Pierre de Fermat απλά το διατύπωσε, χωρίς να το αποδείξει. Αργότερα, πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί (π.χ., Euler, Gauss, Dedekind) έδωσαν αποδείξεις του θεωρήματος.
Το Θεώρημα των Χριστουγέννων του Fermat μας λέει πότε ένας περιττός πρώτος αριθμός p μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο τετραγώνων ακέραιων αριθμών x και y :
Δηλαδή: Αν p είναι ένας πρώτος αριθμός τότε:
