Δύο μαθήτριες λυκείου της Νέας Ορλεάνης υποστηρίζουν ότι έχουν αποδείξει το θεώρημα του Πυθαγόρα χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία – κάτι που οι ακαδημαϊκοί εδώ και δύο χιλιετίες θεωρούσαν αδύνατο. Αναγνωρισμένος οργανισμός μαθηματικών ερευνών στις ΗΠΑ τις ενθαρρύνει να υποβάλουν την εργασία τους σε επιστημονικό περιοδικό για να κριθεί από μαθηματικούς ανά τον κόσμο.
Οι Calcea Johnson και Ne’Kiya Jackson, που φοιτούν στην Ακαδημία St Mary’s, παρουσίασαν πρόσφατα τα ευρήματά τους στην εξαμηνιαία συνάντηση της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας.
Σύμφωνα με πληροφορίες, ήταν οι μόνες μαθήτριες που έκαναν παρουσιάσεις στη συνάντηση στην οποία συμμετείχαν ερευνητές μαθηματικών από ιδρύματα όπως τα πανεπιστήμια της Αλαμπάμα, της Τζόρτζια, της Πολιτείας Λουιζιάνα, της Πολιτείας του Οχάιο, της Οκλαχόμα και του Τέξας. Και μίλησαν για το πώς είχαν ανακαλύψει μια νέα απόδειξη για το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Το θεώρημα και οι αποδείξεις του
Το θεώρημα 2.000 ετών έχει δείξει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας οποιουδήποτε ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του. Δηλαδή α² = β² + γ².
Το θεώρημα έχει μεγάλο αριθμό αποδείξεων, πιθανότατα μεγαλύτερο από κάθε άλλο μαθηματικό θεώρημα. Οι αποδείξεις είναι ευθείες, γεωμετρικές και αλγεβρικές. Ωστόσο από τη στιγμή που η τριγωνομετρία στηρίζεται σε αυτό (για την τριγωνομετρία λαμβάνεται ως δεδομένο ότι ισχύει), έως τώρα οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι οποιαδήποτε υποτιθέμενη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος που χρησιμοποιεί τριγωνομετρία αποτελεί μια λογική πλάνη, που είναι γνωστή ως κυκλικός συλλογισμός. Πρόκειται για έναν όρο που χρησιμοποιείται όταν κάποιος προσπαθεί να επικυρώσει μια ιδέα με την ίδια την ιδέα.
Τι παρουσίασαν οι δύο μαθήτριες
Οι μαθήτρεις Johnson και Jackson τόνισαν στην παρουσίασή τους ότι το βιβλίο με τη μεγαλύτερη γνωστή συλλογή αποδείξεων για το θεώρημα (The Pythagorean Proposition by Elisha Loomis) «δηλώνει κατηγορηματικά ότι «δεν υπάρχουν τριγωνομετρικές αποδείξεις επειδή όλοι οι θεμελιώδεις τύποι της τριγωνομετρίας βασίζονται οι ίδιοι στην αλήθεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος.
Αλλά, «αυτό δεν είναι ακριβώς αλήθεια» είπαν. «Παρουσιάζουμε μια νέα απόδειξη του Θεωρήματος του Πυθαγόρα που βασίζεται σε ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα στην τριγωνομετρία – τον Νόμο των Ημιτονίων – και δείχνουμε ότι η απόδειξη είναι ανεξάρτητη από την ταυτότητα του Πυθαγόρειας τριγώνου ημ2x+συν2x=1». Εν ολίγοις, υποστηρίζουν, ότι πέτυχαν να αποδείξουν το θεώρημα χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία και χωρίς να καταφύγουν σε κυκλικό συλλογισμό.
Η Johnson είπε στον τηλεοπτικό σταθμό της Νέας Ορλεάνης WWL ότι ήταν «απαράμιλλο συναίσθημα» να παρουσιάσουν με την Jackson τη δουλειά τους σε πανεπιστημιακούς ερευνητές.
«Δεν υπάρχει τίποτα παρόμοιο – το να μπορείς να κάνεις κάτι που οι άνθρωποι δεν πιστεύουν ότι μπορούν να κάνουν οι νέοι», σχολίασε η Johnson. «Δεν βλέπεις παιδιά σαν εμάς να το κάνουν αυτό – συνήθως, πρέπει να είσαι ενήλικας για να το κάνεις αυτό».
Οι δύο μαθήτριες πίστωσαν μέρος της δουλειάς τους στις καθηγήτριες τους στο σχολείο, τις προκάλεσαν να επιτύχουν κάτι που οι μαθηματικοί πίστευαν ότι δεν ήταν δυνατό.
«Έχουμε πραγματικά υπέροχες καθηγήτριες», είπε η Jackson στο WWL.
Το WWL ανέφερε ότι οι Jackson και Johnson ετοιμάζονται να αποφοιτήσουν αυτή την άνοιξη και σκοπεύουν να ακολουθήσουν σπουδές στην περιβαλλοντική μηχανική και στη βιοχημεία.
Η Catherine Roberts, εκτελεστική διευθύντρια της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, είπε ότι ενθάρρυνε τις μαθήτριες του St Mary’s να καταθέσουν την εργασία τους σε επιστημονικό περιοδικό.
«Τα μέλη της κοινότητάς μας μπορούν να εξετάσουν τα αποτελέσματά τους για να καθορίσουν εάν η απόδειξή τους είναι μια σωστή συνεισφορά στη βιβλιογραφία των μαθηματικών», δήλωσε η Roberts.
Όσοι προτείνουν τριγωνομετρικές αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος θεωρούν ότι οι αποδείξεις τους δεν είναι κυκλικές, αρκεί να μην χρησιμοποιήσουν την σχέση sin2x+cos2x=1, που στην ουσία ισοδυναμεί με το Πυθαγόρειο.
Στην ομιλία τους στο συνέδριο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρίας, οι Johnson και Jackson δήλωσαν ότι η τριγωνομετρική ταυτότητα που ονομάζεται νόμος των ημιτόνων δεν εξαρτάται από το Πυθαγόρειο θεώρημα (ή την τριγωνομετρική ταυτότητα sin2x + cos2x = 1), και ότι θα μπορούσαν να τη χρησιμοποιήσουν για να αποδείξουν το θεώρημα.
Η απόδειξη των μαθητριών προστίθεται σε μερικές ακόμα τριγωνομετρικές αποδείξεις που προτάθηκαν στο παρελθόν. Κάθε μια από αυτές παρακάμπτει την εξίσωσηημ2x+συν2x=1 (ή εξισώσεις που προκύπτουν από αυτή) για να αποδείξει το θεώρημα.
Παλαιότερες τριγωνομετρικές (και όχι μόνο) αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος περιλαμβάνονται στον ιστότοπο του μαθηματικού Alexander Bogomolny. Μια από αυτές δημιουργήθηκε από τον φυσικό και μαθηματικό Jason Zimba και είναι πολύ σύντομη. Η απόδειξή του βασίζεται στις τριγωνομετρικές ταυτότητες που υπολογίζουν το συνημίτονο και το ημίτονο της γωνίας (x – y):
συν (x – y) = συνx συνy + ημx ημy
τις αποδείξεις των οποίων θεωρεί ανεξάρτητες του πυθαγορείου θεωρήματος.
Έτσι, για 0<y<x<90°, ισχύει 0<x – y<90° και
συνy = συν(x – (x – y))
= συν x συν(x – y) + ημ x ημ(x – y)
= συν x (συν x συν y + ημ x ημy) + ημx (ημ x συν y – συν x ημy)
= (συν²x + ημ²x)συν y, που συνεπάγεται την τριγωνομετρική μορφή του πυθαγορείου θεωρήματος: ημ²x + συν²x = 1.
Πηγή: www.naftemporiki.gr
