Κάτι σαν τη Γη με τη Σελήνη

Δίνεται ένα σύστημα δύο σφαιρικών ουρανίων σωμάτων Χ και Υ, τα οποία θεωρούμε ακίνητα, μακριά από άλλα ουράνια σώματα.  Δίνονται ότι το σώμα Χ έχει ακτίνα R=6.400km, η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνειά του είναι g=10m/s², έχει δε μάζα Μ=80m, όπου m η μάζα του μικρότερου σώματος Υ, ενώ η απόσταση των κέντρων των δύο σφαιρών είναι d=60R (το σχήμα είναι ενδεικτικό χωρίς να κρατάμε τα αναλογίες των αποστάσεων).

Αφήνουμε στο σημείο Α, πάνω στη διάκεντρο, σε απόσταση r₁=50R από το κέντρο του σώματος Χ, ένα σώμα Σ μάζας m₁=1kg.

1. Να υπολογίσετε τον λόγο F₁/F₂ των δυνάμεων που το σώμα Σ δέχεται από τα ουράνια σώματα Χ και Υ αντίστοιχα.
2. Πόση είναι η δυναμική ενέργεια του σώματος Σ στο σημείο Α, αν το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου είναι μηδέν στο άπειρο.
3. Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Σ, μετά από μετατόπιση s=10R.

Απάντηση:

ή