Why do we become mathematicians?
By Keith Devlin @KeithDevlin@fediscience.org, @profkeithdevlin.bsky.social
Υπάρχει, βέβαια, ένα τεράστιο εύρος συνθηκών, χαρακτηριστικών της προσωπικότητας και ευκαιριών που μας οδηγούν στην επιλογή του επαγγελματικού μας δρόμου. Το ερώτημα είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον στην περίπτωση των μαθηματικών, καθώς το αντικείμενο απαιτεί σημαντική προσπάθεια για να το κατακτήσει κανείς, μεγάλο μέρος της οποίας αναγκαστικά περιλαμβάνει μακρές περιόδους μοναχικής, χωρίς βοήθεια ενασχόλησης, με αγώνα να προχωρήσεις παρά τα λάθη. Στο επίπεδο της έρευνας, ένα ποσοστό επιτυχίας της τάξης της μιας σωστής λύσης ανά δέκα ή και περισσότερες προσπάθειες είναι ο κανόνας – πρέπει να είσαι επίμονος.
Από την άλλη πλευρά, όταν πλέον έχεις μπει για τα καλά σε αυτόν τον κόσμο, τα μαθηματικά σου προσφέρουν ένα «ασφαλές καταφύγιο», όπου μπορείς να κλείσεις έξω τον υπόλοιπο κόσμο σου και να έχεις τον πλήρη έλεγχο. Και δεν υπάρχει τίποτε σαν αυτή την έκρηξη αδρεναλίνης όταν επιτέλους λύνεις ένα πρόβλημα με το οποίο πάλευες για ώρες (ή για ημέρες, μήνες, ακόμη και χρόνια).
Μια γρήγορη ματιά στις βιογραφίες διάσημων μαθηματικών αποκαλύπτει έναν εντυπωσιακά μεγάλο αριθμό ανθρώπων που προέρχονταν από φτωχικά, διαλυμένα ή κακοποιητικά σπίτια· ο Σερ Ισαάκ Νεύτων, ο Εβαρίστ Γκαλουά, ο Αλεξάντρ Γκροτέντικ, ο Σρινιβάσα Ραμανούτζαν, ο Νιλς Χένρικ Άμπελ και η Μαίρη Σόμερβιλ, για να αναφέρουμε μόνο μερικούς. Τα μαθηματικά σίγουρα τους πρόσφεραν διέξοδο από τις συνθήκες τους. (Στη δική μου περίπτωση, γεννημένος αμέσως μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο σε μια βαριά βομβαρδισμένη βιομηχανική πόλη στη Βόρεια Αγγλία, από γονείς της εργατικής τάξης με έντονη απέχθεια προς την εκπαίδευση και τις διανοητικές ενασχολήσεις – πολύ παρόμοια με αυτή του σημερινού Ρεπουμπλικανικού Κόμματος – περνούσα τα περισσότερα βράδια κλεισμένος στο δωμάτιό μου διαβάζοντας, ιδίως επιστήμες και μαθηματικά, για τα οποία οι γονείς μου δεν είχαν την παραμικρή ιδέα. Ήταν ο «κόσμος» μου, και οι γονείς μου δεν ανήκαν σε αυτόν.)
Όποια κι αν είναι η δική σου ιστορία, η απόλαυση που αντλεί κανείς δουλεύοντας πάνω σε απαιτητικά μαθηματικά προβλήματα – και μερικές φορές βρίσκοντας και τη λύση τους – είναι εθιστική, υπό την προϋπόθεση ότι φτάνεις σε ένα επίπεδο όπου μπορείς να εμπλακείς σε τέτοιου είδους προβλήματα. Ένα σχολείο με παραδοσιακή, «πρώτα τα βασικά» διδακτική προσέγγιση (συχνά με τεστ υπό χρονική πίεση) μπορεί να αποδειχθεί θανατηφόρο για πολλούς μαθητές.
Ζήτησα από τη μηχανή τεχνητής νοημοσύνης της Google να μου δώσει μια σύνοψη των λόγων που οι άνθρωποι αναφέρουν ότι κάνουν μαθηματικά. Να τι μου έδωσε:
Q: Give me a summary of the reasons people give for doing mathematics
Οι άνθρωποι ασχολούνται με τα μαθηματικά για να αναπτύξουν κριτική σκέψη, ικανότητες επίλυσης προβλημάτων και αναλυτικές δεξιότητες, οι οποίες είναι χρήσιμες στην καθημερινή ζωή και σε πολλά επαγγέλματα. Ασχολούνται επίσης με τα μαθηματικά για τις πρακτικές εφαρμογές τους σε τομείς όπως η μαγειρική και τα οικονομικά, για την πνευματική ικανοποίηση που προσφέρει η λύση γρίφων και η κατανόηση αφηρημένων εννοιών, καθώς και για τις επαγγελματικές ευκαιρίες σε κλάδους όπως οι STEM επιστήμες και τα οικονομικά.
Πρακτικές εφαρμογές
- Καθημερινή ζωή: Τα μαθηματικά χρησιμοποιούνται σε καθημερινές εργασίες, όπως η μέτρηση υλικών για συνταγές, η διαχείριση προϋπολογισμού, ο υπολογισμός αποστάσεων και η κατανόηση οικονομικών εννοιών όπως τα δάνεια και ο τόκος.
- Επαγγελματικές ευκαιρίες: Ένα ισχυρό μαθηματικό υπόβαθρο είναι πολύτιμο για πολλές δουλειές, όχι μόνο στις STEM ειδικότητες. Είναι απαραίτητο για επαγγέλματα στην πληροφορική, τη μηχανική, τη λογιστική, τα οικονομικά και πολλά άλλα.
Πνευματική και προσωπική ανάπτυξη
- Κριτική σκέψη και λογική: Τα μαθηματικά εκπαιδεύουν τον εγκέφαλο να σκέφτεται λογικά και συστηματικά, βοηθώντας να λυθούν προβλήματα με τη διάσπασή τους σε μικρότερα, διαχειρίσιμα βήματα.
- Αναλυτικές δεξιότητες: Βελτιώνουν την ικανότητα να εντοπίζουμε πρότυπα, να αναλύουμε πληροφορίες και να παίρνουμε τεκμηριωμένες αποφάσεις, κάτι που είναι χρήσιμο σε πολλές πραγματικές καταστάσεις.
- Αφηρημένη σκέψη και ομορφιά: Κάποιοι έλκονται από την πνευματική πρόκληση και την ομορφιά των αφηρημένων εννοιών και από τον τρόπο με τον οποίο τα μαθηματικά προσφέρουν ένα πλαίσιο για να περιγράψουμε τον κόσμο.
- Λειτουργία του εγκεφάλου: Η τακτική εξάσκηση στα μαθηματικά μπορεί να συμβάλει στη διατήρηση της υγείας του εγκεφάλου και στη βελτίωση των γνωστικών δεξιοτήτων.
Καριέρα και μελλοντικές προοπτικές
- Αγορά εργασίας: Οι ισχυρές μαθηματικές δεξιότητες εκτιμώνται ιδιαίτερα από τους εργοδότες, και ένα υπόβαθρο στα μαθηματικά μπορεί να οδηγήσει σε καλοπληρωμένες και επιτυχημένες σταδιοδρομίες.
- Κατανόηση δεδομένων: Τα μαθηματικά βοηθούν τους ανθρώπους να κατανοούν, να εκτιμούν και να αξιολογούν κριτικά τα μαθηματικά που κάνουν άλλοι σε τομείς όπως η έρευνα και τα μέσα ενημέρωσης.
Γνωρίζοντας πώς λειτουργούν τα σημερινά συστήματα ΤΝ, περίμενα ότι θα έδινε ιδιαίτερη έμφαση στις εφαρμογές και στις επαγγελματικές ευκαιρίες (καθώς έτσι βλέπουν οι περισσότεροι άνθρωποι τα μαθηματικά). Έτσι, επανέλαβα την ερώτηση, αυτή τη φορά διατυπωμένη με τρόπο που να στοχεύει περισσότερο στη δική μας κοινότητα.
Q: What do mathematicians say they like about mathematics?
Οι μαθηματικοί έλκονται από τα μαθηματικά λόγω της ομορφιάς και της κομψότητάς τους, της βεβαιότητας και της λογικής τους, και της δύναμής τους ως παγκόσμιας γλώσσας για την περιγραφή της πραγματικότητας. Βρίσκουν επίσης ικανοποίηση στην πνευματική πρόκληση της επίλυσης προβλημάτων, στη δημιουργικότητα που εμπλέκεται στην εύρεση νέων αποδείξεων και προσεγγίσεων, και στο αίσθημα κυριαρχίας και ανακάλυψης που προκύπτει όταν ξεπερνούν δύσκολα προβλήματα.
Γιατί οι μαθηματικοί αγαπούν τα μαθηματικά
- Ομορφιά και κομψότητα: Πολλοί βρίσκουν ομορφιά στη δομή, τη λογική και την κομψότητα των μαθηματικών θεωρημάτων, τα οποία τα βλέπουν ως μια μορφή τέχνης που μπορεί επίσης να περιγράψει τον φυσικό κόσμο.
- Βεβαιότητα και λογική: Εκτιμούν το γεγονός ότι τα μαθηματικά δεν είναι υποκειμενικά· υπάρχει μία σωστή απάντηση, και τα αποτελέσματα δεν είναι ανοικτά σε ερμηνείες ή σε εμπειρική διάψευση. Αυτό προσφέρει μια βαθιά αίσθηση βεβαιότητας.
- Πνευματική πρόκληση: Η επιδίωξη της λύσης ενός δύσκολου προβλήματος αποτελεί μεγάλο κίνητρο. Η διαδικασία αυτή απαιτεί επιμονή, και η ικανοποίηση που νιώθει κανείς όταν επιτέλους βρίσκει τη λύση είναι ισχυρός παράγοντας παρακίνησης.
- Δημιουργικότητα και ανακάλυψη: Η επίλυση προβλημάτων θεωρείται δημιουργική πράξη, με πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις για ένα και μόνο πρόβλημα. Αποτελεί επίσης πεδίο για τη φαντασία, ώστε να εξερευνά ιδέες και να αποκαλύπτει καθολικές αλήθειες.
- Μια παγκόσμια γλώσσα: Τα μαθηματικά είναι μια παγκόσμια γλώσσα που συνδέει διαφορετικούς τομείς και προσφέρει έναν τρόπο έκφρασης σύνθετων ιδεών με σύντομο και βαθύ τρόπο. Θεωρούνται ως μέσο κατανόησης της θεμελιώδους δομής του σύμπαντος.
- Αίσθημα κυριαρχίας: Η πορεία εκμάθησης και κατάκτησης των μαθηματικών μπορεί να οδηγήσει σε ένα ισχυρό αίσθημα επιτεύγματος και ταυτότητας, το οποίο παρακινεί για περαιτέρω μελέτη, ακόμη κι όταν τα προβλήματα γίνονται πιο δύσκολα.
- Συνδέσεις και πρότυπα: Οι μαθηματικοί γοητεύονται από τις συνδέσεις ανάμεσα σε διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών και από τα πρότυπα που είναι θεμελιώδη τόσο για την ίδια τη μαθηματική επιστήμη όσο και για το σύμπαν.
Αυτή η απάντηση είναι σίγουρα εκείνη που τα μέλη της MAA και άλλοι αναγνώστες της στήλης «Devlin’s Angle» θα αναγνώριζαν, περίπου, ως τη δική τους. Καθόλου περίεργο, αν λάβει κανείς υπόψη τον τρόπο λειτουργίας των Μοντέλων Μεγάλης Κλίμακας Γλώσσας. Το σύστημα απλώς συγκέντρωσε όλα αυτά που έχουμε γράψει στη διάρκεια της καριέρας μας. (Αλλά μην με κατηγορείτε εμένα για τη διατύπωση ότι στα μαθηματικά «υπάρχει μία σωστή απάντηση». Αν θέλει κανείς να το πει αυτό, χρειάζεται να προσθέσει τη διευκρίνιση ότι αναφέρεται στην ακαδημαϊκή καθαρή μαθηματική επιστήμη, βασισμένη σε αξιώματα. Τα περισσότερα (πρακτικά) προβλήματα για τα οποία χρησιμοποιούνται μαθηματικά δεν έχουν μοναδικές λύσεις. Βλ. το άρθρο μου στην «Angle» για τον Νοέμβριο του 2019.)
Αυτό που η ΤΝ δεν εντόπισε είναι το γεγονός ότι, για όσους από εμάς μεγαλώσαμε και φοιτήσαμε στη Βρετανία πριν από το 2000, τα A-level στα Μαθηματικά χωρίζονταν σε δύο υποκατηγορίες: Καθαρά Μαθηματικά (Pure Mathematics) και Εφαρμοσμένα Μαθηματικά (Applied Mathematics).
Αλλά τι ακριβώς είναι τα «Εφαρμοσμένα Μαθηματικά»; Οι περισσότεροι άνθρωποι σίγουρα θα έλεγαν ότι πρόκειται για τη χρήση των μαθηματικών για την επίλυση προβλημάτων στον κόσμο, σε τομείς όπως ο σχεδιασμός, η μηχανική, οι φυσικές επιστήμες κ.ο.κ. Η δική μου ανάμνηση του αναλυτικού προγράμματος στα GCE Applied Mathematics που ίσχυε όταν ήμουν στα δύο τελευταία χρόνια του λυκείου είναι ότι αποτελούνταν κυρίως από Κλασική Μηχανική και Τρισδιάστατη Γεωμετρία, και ουσιαστικά αντιστοιχούσε σε εφαρμογές του λογισμού (calculus). Είχε σίγουρα μια πολύ διαφορετική «γεύση» από το πρόγραμμα των Καθαρών Μαθηματικών.
Όπως πολλοί μαθητές λυκείου, έλκομαι στα (καθαρά) μαθηματικά από την εσωτερική (λογική, δομική) ομορφιά τους και από το γεγονός ότι σε αυτό το είδος μαθηματικών τα προβλήματα έχουν μοναδικές λύσεις. Ωστόσο, εγώ έφτασα σε αυτό το σημείο μέσω των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, με την Φυσική να είναι το αγαπημένο μου μάθημα και ο προγραμματισμένος κλάδος σπουδών μου στο πανεπιστήμιο. (Για τα A-level πήρα Φυσική και τα δύο μαθήματα Μαθηματικών.) Όταν όμως έφτασα στο στάδιο των αιτήσεων για το πανεπιστήμιο, τα Καθαρά Μαθηματικά ήταν πλέον αυτά που ήθελα να ακολουθήσω. Είχα μαγευτεί από την εσωτερική τους ομορφιά, και μετά το πτυχίο μου στα Καθαρά Μαθηματικά επέλεξα τη Μαθηματική Λογική για το διδακτορικό μου, η οποία είναι ουσιαστικά μαθηματικά εφαρμοσμένα στα ίδια τα μαθηματικά.
Όμως, ύστερα από δέκα χρόνια μεταδιδακτορικής έρευνας στην Αξιωματική Θεωρία Συνόλων, τα ενδιαφέροντά μου πήραν μια πολύ πιο εφαρμοσμένη κατεύθυνση, με την εφαρμογή της μαθηματικής σκέψης στη γλωσσολογία και την επικοινωνία, ένα «καυτό» θέμα στην εποχή που άρχιζε να διαδίδεται το Διαδίκτυο. Σε αυτόν τον κόσμο, η εφαρμογή των μαθηματικών και της μαθηματικής σκέψης είχε ένα πολύ διαφορετικό κριτήριο επιτυχίας από ό,τι στα καθαρά μαθηματικά. Στα καθαρά μαθηματικά, η απόδειξη από τα αξιώματα (η λεγόμενη μαθηματική αλήθεια) είναι ο καθοριστικός στόχος· στα «εφαρμοσμένα μαθηματικά» ο στόχος είναι η χρησιμότητα. Πράγματι, κανένα από τα προβλήματα με τα οποία ασχολήθηκα στο υπόλοιπο της καριέρας μου δεν είχε μοναδική λύση.
Η στροφή αυτή στην εστίαση ήταν που με οδήγησε άμεσα στην πρόσκληση να περάσω ένα έτος στο Στάνφορντ το 1987, μια διατλαντική μετακίνηση που τελικά έγινε μόνιμη, με τα τελευταία δεκαοκτώ χρόνια της καριέρας μου να τα περνώ σε αυτό το ίδρυμα. Ήταν σε αυτό το πανεπιστήμιο που, στα μέσα της δεκαετίας του 1990, δημιουργήθηκε ένα από τα πιο καθοριστικά κομμάτια «εφαρμοσμένων μαθηματικών»: ο αλγόριθμος αναζήτησης της Google. Εκεί δεν επρόκειτο για τη «σωστή απάντηση», αλλά για μια αποτελεσματική. Είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα μαθηματικών που δεν επιδιώκονται για να αποδώσουν μία σωστή απάντηση, αλλά για να δώσουν μια λύση που λειτουργεί καλύτερα από όλες τις άλλες προσπάθειες που είχαν γίνει έως τότε για την αναζήτηση πληροφοριών στον νεοεμφανιζόμενο Παγκόσμιο Ιστό.
Υποψιάζομαι ότι πολλοί αναγνώστες της στήλης «Angle» έχουν, στην καλύτερη περίπτωση, μια ασαφή εικόνα για το πώς λειτουργεί η αναζήτηση της Google, οπότε θα κλείσω αυτό το κείμενο συνοψίζοντας την αρχική ιδέα. (Σήμερα, ο αλγόριθμος είναι πολύ πιο περίπλοκος, με τις λεπτομέρειες να αποτελούν εμπορικό μυστικό.)
Η εταιρεία Google ιδρύθηκε το 1996 από δύο μεταπτυχιακούς φοιτητές στην επιστήμη των υπολογιστών στο Στάνφορντ, τον Λάρι Πέιτζ και τον Σεργκέι Μπριν. Με τον Παγκόσμιο Ιστό να αναδύεται, το ερευνητικό θέμα που επέλεξε ο Πέιτζ για τη μεταπτυχιακή του διατριβή ήταν η μαθηματική μελέτη του τρόπου με τον οποίο οι άνθρωποι χρησιμοποιούσαν το νέο αυτό δίκτυο υπολογιστών.
Ο Ιστός είχε δομηθεί ώστε οι άνθρωποι να αναζητούν πληροφορίες με βάση την κεντρική ιδέα ενός συνδέσμου (link) από έναν ιστότοπο σε έναν άλλο. Ο Πέιτζ αναρωτήθηκε ποιες μαθηματικές ιδιότητες θα εμφάνιζε το γράφημα του Ιστού όσο όλο και περισσότεροι άνθρωποι άρχιζαν να τον χρησιμοποιούν. Αφού οι σύνδεσμοι του Ιστού παρείχαν τον τρόπο να κάνεις αναζήτηση προς τα εμπρός από έναν ιστότοπο στον επόμενο, αποφάσισε να διερευνήσει τις διαδρομές προς τα πίσω. Τι μπορούμε να πούμε για τις διαδρομές που καταλήγουν σε έναν ιστότοπο;
Μπορούμε να πούμε σε ποιους ιστότοπους είναι πιο πιθανό να καταλήγει ένας «χρήστης-σερφάροντας» σε σχέση με άλλους; Αν ακολουθήσεις τα ίχνη προς τα πίσω και διαπιστώσεις ότι φτάνεις σε έναν ιστότοπο που δέχεται πολλούς επισκέπτες (όπως ένας έγκυρος ειδησεογραφικός ιστότοπος), τότε είναι πιθανό ότι και ο ιστότοπος στον οποίο βρίσκεσαι είναι επίσης δημοφιλής. (Γιατί αυτός ο ειδησεογραφικός ιστότοπος οδήγησε στον δικό σου;) Ο Πέιτζ ονόμασε την έρευνά του «backrub».
Ο Πέιτζ και ο Μπριν ανέπτυξαν έναν τύπο που, για κάθε ιστοσελίδα u στον WWW, παρείχε μια κατάταξη της δημοφιλίας της, την οποία ονόμασαν PageRank (ένα λογοπαίγνιο με τις δύο σημασίες της λέξης “page”), που συνήθως σημειώνεται PR(u). Τυπικά, PR(u) είναι η πιθανότητα ένας «σερφάροντας χρήστης» να επισκεφτεί τελικά τη σελίδα u. Η διαίσθηση είναι ότι όσο περισσότερες δημοφιλείς σελίδες υπάρχουν που συνδέονται με τη σελίδα u, τόσο πιο πιθανό είναι ο χρήστης να καταλήξει στη u. Ανάμεσα σε αυτές τις πιο δημοφιλείς σελίδες που συνδέονται με τη u, εκείνες που με τη σειρά τους έχουν δημοφιλείς σελίδες να συνδέονται με αυτές θα παίζουν πιθανώς μεγαλύτερο ρόλο. Και ούτω καθεξής (δυνητικά για πολλά βήματα). Έτσι, αν ακολουθήσουμε προς τα πίσω, αυτό που δίνει σε μια σελίδα υψηλότερη κατάταξη είναι ότι πολλές σελίδες συνδέονται με αυτήν και οι ίδιες έχουν υψηλή κατάταξη, κ.ο.κ. Αυτό σήμαινε ότι έπρεπε να ορίσουν έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό του PageRank μέσω επανάληψης που ακολουθεί τους συνδέσμους του Ιστού προς τα πίσω.
Το πρόβλημα ήταν ότι αυτό ακούγεται σαν ένας υπολογισμός που μπορεί να συνεχίζεται επ’ άπειρον. Όμως οι μαθηματικοί διαθέτουν τρόπους να διασφαλίζουν ότι μια επαναληπτική διαδικασία συγκλίνει σε μια σταθερή οριακή τιμή. Εισάγεις ένα στοιχείο τυχαιότητας, ώστε να εκμεταλλευτείς το γεγονός ότι η τυχαία δραστηριότητα δημιουργεί μακροπρόθεσμα πρότυπα. (Όταν ανακατεύεις το γάλα στον καφέ, τελικά κάθε γουλιά έχει την ίδια θερμοκρασία. Δεν συναντάς «θερμές» ή «ψυχρές» νησίδες· η θερμότητα κατανέμεται ομοιόμορφα.)
Έστω ότι ο αριθμός των σελίδων στο δίκτυο είναι N. Ας συμβολίσουμε με L(v) τον αριθμό των συνδέσμων που «φεύγουν» από τη σελίδα v. Σε μια πρώτη προσέγγιση, θα μπορούσαμε να ορίσουμε την PR(u) ως το άθροισμα όλων των ποσοτήτων PR(v)/L(v) για όλες τις σελίδες v που συνδέονται με τη u· η διαίσθηση είναι ότι η κατάταξη PR(v) της κάθε v «μοιράζεται» σε όλους τους συνδέσμους που φεύγουν από τη v. Έτσι, θα μπορούσαμε να ορίσουμε την PR(u) με αυτόν τον τρόπο ως τρόπο υπολογισμού της από τις κατατάξεις όλων των σελίδων που συνδέονται με τη u. Αυτό δίνει τη βάση για μια επαναληπτική διαδικασία ώστε να υπολογίσουμε τις κατατάξεις για όλες τις σελίδες. Όμως δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι η διαδικασία της επανάληψης θα είναι συγκλίνουσα, δηλαδή ότι θα πλησιάζει σε μια συγκεκριμένη τιμή. Ο τρόπος με τον οποίο ο Μπριν και ο Πέιτζ ξεπέρασαν αυτό το ενδεχόμενο ήταν να εισαγάγουν ένα τυχαίο στοιχείο (όπως όταν ανακατεύεις τον καφέ σου).
Έτσι, είπαν, ας υποθέσουμε ότι ο χρήστης-σερφάροντας χρησιμοποιεί τον παραπάνω κανόνα d τοις εκατό του χρόνου, αλλά πηδάει σε μια τυχαία σελίδα το υπόλοιπο (100–d) τοις εκατό του χρόνου, για κάποια τιμή d. Μόνο που στον τύπο τους δεν χρησιμοποίησαν ποσοστά, αλλά πιθανότητες, άρα η d ήταν μεταξύ 0 και 1. Η πιθανότητα να καταλήξεις σε μια σελίδα u από ένα τυχαίο «άλμα» είναι 1/N (καθώς καθεμιά από τις N σελίδες του δικτύου είναι εξίσου πιθανή). Αυτό τους οδήγησε στον αρχικό ορισμό του PageRank.
Την τιμή που επέλεξαν για το d ήταν περίπου 0,85. (Μερικές φορές τα μαθηματικά μοιάζουν με τη ζαχαροπλαστική· απλώς βλέπεις ποια αναλογία «δουλεύει» καλύτερα.) Αυτό σημαίνει ότι έχουν 0,15 «μέρη» τυχαίων αλμάτων και 0,85 «μέρη» του αρχικού κανόνα. Με αυτή την τροποποίηση, ο αλγόριθμος υπολογίζει τις τιμές PR επαναληπτικά μέχρι αυτές να συγκλίνουν. Ο τυχαίος όρος είναι αυτός που διασφαλίζει ότι τελικά αυτό θα συμβεί. (Αν συνέχιζες για αρκετό χρονικό διάστημα, τελικά κάθε σελίδα θα επισκεπτόταν.)
Όταν ο Πέιτζ και ο Μπριν το δοκίμασαν για πρώτη φορά στην προσωπική σελίδα του Πέιτζ στο δίκτυο του Στάνφορντ, η διαδικασία συγκλίνει ύστερα από 30 έως 50 επαναλήψεις. Στον πλήρη Ιστό, μπορεί να χρειαστείς πολύ περισσότερες. Πάρα πολλές. Η θεωρία πίσω από επαναληπτικές διαδικασίες με τυχαίο στοιχείο λέει απλώς ότι θα υπάρξει σύγκλιση «κάποια στιγμή». Στην πράξη, οι άνθρωποι της αναζήτησης αφήνουν τη διαδικασία να τρέχει μέχρι η διαφορά των τιμών από τη μία επανάληψη στην επόμενη να είναι αρκετά μικρή, π.χ. 0,001. Το ζήτημα είναι ότι τα μαθηματικά που χρειάζονταν ο Πέιτζ και ο Μπριν ήταν όλα ήδη γνωστά (και ο Μπριν τα γνώριζε).
Γιατί λοιπόν η Google είχε τόσο εντυπωσιακή επιτυχία; Όχι επειδή έδινε τη «σωστή» απάντηση. Αλλά επειδή έδινε μια πραγματικά χρήσιμη απάντηση!
