ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΙΑ Δ/ΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Στις 10 Φεβρουαρίου 2019 από τον/την ΑΒΤΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

https://cmapcloud.ihmc.us/proxy?servlet-cmd-request=return-temp-data&temp-data-id=PrintPrev_1549811078134&set-response-header=Content-type:image/svg%2Bxml&set-response-header=Content-size:87240

https://www.geogebra.org/m/BzX4HHyN#material/y8eERaU9

 


Μετάβαση στο scratch.mit.edu.


Μετάβαση στο scratch.mit.edu.

https://www.geogebra.org/m/BzX4HHyN#material/SHqGhk2H

https://www.geogebra.org/m/BzX4HHyN#material/CVq2hF6j

https://www.geogebra.org/m/BzX4HHyN#material/WUdZ7xRh

<iframe src=”https://www.facebook.com/plugins/video.php?href=https%3A%2F%2Fwww.facebook.com%2Fmagicpi2%2Fvideos%2F276871949871708%2F&show_text=0&width=560″ width=”560″ height=”420″ style=”border:none;overflow:hidden” scrolling=”no” frameborder=”0″ allowTransparency=”true” allowFullScreen=”true”></iframe>

 

 

Κατηγορίες: ΔΙΑΦΟΡΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΝΕΑ, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΠΕ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ | Γράψτε σχόλιο

ΘΕΩΡΙΑ

Στις 10 Φεβρουαρίου 2019 από τον/την ΑΒΤΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

 

 



Λήψη αρχείου



Λήψη αρχείου

 

Κατηγορίες: ΔΙΑΦΟΡΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΝΕΑ, ΘΕΩΡΙΑ - Δ/ΒΑΘΜΙΕΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ | Γράψτε σχόλιο

Θεωρία Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Στις 10 Φεβρουαρίου 2019 από τον/την ΑΒΤΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
2.2
Εξισώσεις δευτέρου βαθμού
Διδακτικοί στόχοι:
  • Λύνω εξισώσεις δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων.
  • Βρίσκω το πλήθος των λύσεων μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού και υπολογίζω τις λύσεις της με τη βοήθεια τύπου.
  • Μετατρέπω ένα τριώνυμο σε γινόμενο παραγόντων.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Ένας μηχανικός σχεδίασε μια οικοδομή και στην πρό-σοψή της προέβλεψε την κατασκευή μιας τετραγωνικής βεράντας και ενός ορθογωνίου μπαλκονιού με διαστάσεις 9 m και 1 m. Στο σχέδιο που παρουσίασε στον ιδιοκτήτη της οικοδομής η βεράντα και το μπαλκόνι είχαν το ίδιο εμβαδόν.

α) Να υπολογίσετε πόσα μέτρα ήταν η πλευρά της βεράντας.

εικόνα

Ο ιδιοκτήτης όμως, θεώρησε στενό το μπαλκόνι και ζήτησε από το μηχανικό να αυξήσει το πλάτος του μπαλκονιού και κάθε πλευρά της βεράντας κατά τα ίδια μέτρα, ώστε να έχουν και πάλι το ίδιο εμβαδόν.

β)Να υπολογίσετε πόσα μέτρα έπρεπε να αυξηθεί το πλάτος του μπαλκονιού και κάθε πλευρά της βεράντας. Με το αίτημα όμως του ιδιοκτήτη, το συνολικό εμβαδόν της βεράντας και του μπαλκονιού ξεπερνούσε το όριο που καθορίζεται από τον πολεοδομικό κανονισμό. Τελικά, αποφασίστηκε να μεγαλώσει η βεράντα και το μπαλκόνι, όπως το ζήτησε ο ιδιοκτήτης, με την προϋπόθεση όμως να μην έχουν πια το ίδιο εμβαδόν, αλλά να καλύπτουν συνολικά 34 m2.

γ) Να υπολογίσετε πόσα μέτρα αυξήθηκε τελικά το πλάτος του μπαλκονιού και κάθε πλευρά της βεράντας.

εικόναΥπάρχουν προβλήματα που η επίλυσή τους οδηγεί σε εξίσωση μ´ έναν άγνωστο και στην οποία ο μεγαλύτερος εκθέτης του αγνώστου είναι ο αριθμός 2.

Σε καθεμία από τις προηγούμενες περιπτώσεις λέμε ότι έχουμε

εξίσωση 2ου βαθμού με έναν άγνωστο (δευτεροβάθμια εξίσωση).

Από τα προηγούμενα παραδείγματα προκύπτει ότι η γενική μορφή μιας εξίσωσης 2ου βαθμού με άγνωστο x είναι

αx2 + βx + γ = 0 με α ≠ 0…

Οι αριθμοί α, β, γ λέγονται συντελεστές της εξίσωσης. Ο συντελεστής γ λέγεται και σταθερός όρος. Οι συντελεστές σε καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις είναι:

x2 – 9 = 0 : α = 1 β = 0 γ = -9
x2 – 3x = 0 : α = 1 β = -3 γ = 0
x2 + 15x – 16 = 0 : α = 1 β = 15 γ = -16
A
Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Θυμόμαστε ότι:

Αν α·β = 0 τότε α = 0 ή β = 0

Επίλυση εξίσωσης της μορφής αx2 + βx = 0 με α ≠ 0

Για να λύσουμε την εξίσωση 2 = 3x εργαζόμαστε ως εξής:

H προτεραιότητα των πράξεων

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο α΄ μέλος.
  • Αναλύουμε το α΄ μέλος σε γινόμενο παραγόντων.
  • Για να είναι το γινόμενο x(x – 3) ίσο με το μηδέν πρέπει x = 0 ή x – 3 = 0.

x2 = 3x
x2 – 3x = 0
x(x – 3) = 0
x = 0 ή x – 3 = 0
x = 0 ή x = 3
Άρα η εξίσωση έχει δύο
λύσεις, τις x = 0 και x = 3

Μικροπείραμα πείραμα

Επίλυση εξίσωσης της μορφής αx2 + γ = 0 με α ≠ 0

Για να λύσουμε την εξίσωση x2 – 9 = 0, εργαζόμαστε ως εξής:

1ος τρόπος:

  • Το α΄ μέλος της εξίσωσης είναι διαφορά τετραγώνων και το β΄ μέλος είναι μηδέν.
  • Αναλύουμε το α΄ μέλος σε γινόμενο παραγόντων.
  • Για να είναι το γινόμενο (x – 3)(x + 3) ίσο με το μηδέν πρέπει x – 3 = 0 ή x + 3 = 0

x2 – 9 = 0
x2 – 32 = 0
(x – 3) (x + 3) = 0
x – 3 = 0 ή x + 3 = 0
x = 3 ή x = -3
Άρα η εξίσωση έχει δύο
λύσεις, τις x = 3 και x = -3

2ος τρόπος:

  • Όταν α είναι θετικός, η εξίσωση x2 = α έχει δύο λύσεις, χ= √α και  χ=-√α

 

x2 – 9 = 0
x2 – 32 = 0
(x – 3) (x + 3) = 0
x – 3 = 0 ή x + 3 = 0
x = 3 ή x = -3
Άρα η εξίσωση έχει δύο
λύσεις, τις x = 3 και x = -3

Για να λύσουμε την εξίσωση x2 + 16 = 0, αν εργαστούμε όπως προηγουμένως, παρατηρούμε ότι αυτή γράφεται x2 = -16. Η εξίσωση αυτή δεν έχει λύση (αδύνατη), γιατί το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι θετικός αριθμός ή μηδέν και δεν είναι δυνατόν να είναι ίσο με -16.

Αν α είναι αρνητικός αριθμός, τότε η εξίσωση x2 = α δεν έχει λύση (αδύνατη)

Η εξίσωση x2 = 0 έχει λύση την x = 0. H λύση αυτή λέγε-ται διπλή, γιατί η εξίσωση x2 = 0 γράφεται x&middot;x = 0, οπό-τε x = 0 ή x = 0 (δηλαδή έχει δύο φορές την ίδια λύση).

Μικροπείραμα πείραμα

Επίλυση εξίσωσης της μορφής αx2 + βx + γ = 0 με α ≠ 0

Για να λύσουμε την εξίσωση 9x2 – 6x + 1 = 0 εργαζόμαστε ως εξής:

  • Το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι ανάπτυγμα τετραγώνου σύμφωνα με την ταυτότητα α2 – 2αβ + β2 = (α – β)2
  • Για να είναι (3x – 1)2 = 0 πρέπει 3x – 1 = 0

9x2 – 6x + 1 = 0
(3x)2 – 2·3x·1 + 12 = 0
(3x – 1)2 = 0
3x – 1 = 0 ή x = εικόνα
Άρα η εξίσωση έχει μια διπλή λύση, την εικόνα

Μικροπείραμα πείραμα

Για να λύσουμε την εξίσωση x2 + 15x – 16 = 0 σχηματίζουμε στο α΄ μέλος ανάπτυγμα τετραγώνου εργαζόμενοι ως εξής:

  • Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με 4α, όπου α ο συντελεστής του x2.
  • Μεταφέρουμε στο β΄ μέλος το σταθερό όρο και στο α΄ μέλος δημιουργούμε παράσταση της μορφής α2 + 2αβ ή α2 – 2αβ.
  • Για να συμπληρωθεί το ανάπτυγμα τετραγώνου προσθέτουμε και στα δύο μέλη το β2.
  • Χρησιμοποιούμε μία από τις ταυτότητες
    α2 + 2αβ + β2 = (α + β)2
    α2 – 2αβ + β2 = (α – β)2

x2 + 15x – 16 = 0
4x2 + 60x -64 = 0
(2x)2 + 2·2x·15 = 64
(2x)2 + 2·2x·15 + 152 = 64 + 152
(2x + 15)2 = 289
2x + 15 =√289 ή 2x + 15 =√289
2x + 15 = 17 ή 2x + 15 = -17
2x = 2 ή 2x = -32
x = 1 ή x = -16

Άρα η εξίσωση έχει δύο λύσεις, τις x = 1 και x = -16

 

 

Η μέθοδος με την οποία λύσαμε την εξίσωση x2 + 15x – 16 = 0 είναι γνωστή ως μέθοδος συμπλήρωσης τετραγώνου.

Μικροπείραμα πείραμα
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 2x2 = 7x         β) 3x2 – 75 = 0         γ) 2x2 + 8 = 0

Λύση

α)

2x2 = 7x
2x2 – 7x = 0
x(2x – 7) = 0
x = 0 ή 2x – 7 = 0
x = 0 ή εικόνα
 β) 

3x2 – 75 = 0
3x2 = 75
x2 = 25
x =√25 ή x =-√25
x = 5 ή x = -5
 γ)

2x2 + 8 = 0
2x2 = -8
x2 = -4
Δεν έχει λύση (αδύνατη εξίσωση)

Μικροπείραμα

2

Να λυθεί η εξίσωση x2(2x – 1) – 6x(2x – 1) + 9(2x – 1) = 0

Λύση

  • Βγάζουμε κοινό παράγοντα το 2x – 1.
  • O δεύτερος παράγοντας του γινομένου είναι ανάπτυγμα τετραγώνου.

x2(2x – 1) – 6x(2x – 1) + 9(2x – 1) = 0
(2x – 1)(x2 – 6x + 9) = 0
(2x – 1)(x – 3)2 = 0
2x – 1 = 0 ή x – 3 = 0
x = εικόνα ή x = 3 (διπλή λύση)
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

α) Ο αριθμός 0 είναι λύση της εξίσωσης x2 – 4x + 3 = 0. Εικόνα
β) O αριθμός 3 είναι λύση της εξίσωσης x2 – 4x + 3 = 0 Εικόνα
γ) Οι λύσεις της εξίσωσης (x – 2)(x + 1) = 0 είναι x = 2 και x = -1. Εικόνα
δ) Η εξίσωση x2 = 16 έχει μοναδική λύση τον αριθμό x = 4. Εικόνα
ε) H εξίσωση x2 = -9 δεν έχει λύση. Εικόνα
στ) Η εξίσωση (x – 2)2 = 0 έχει διπλή λύση τον αριθμό x = 2. Εικόνα
2

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες:

α) H εξίσωση 5x – 6 = x2 είναι 2ου βαθμού. Εικόνα
β) Η εξίσωση x2 + 3x + 8 = x(x + 2) είναι 2ου βαθμού. Εικόνα
γ) Η εξίσωση (λ – 2)x2 + 5x + 3 = 0 είναι

  1. 1ου βαθμού, όταν λ = 2
  2. 2ου βαθμού, όταν λ ≠ 2.
 Εικόνα
3

Ένας μαθητής λύνοντας την εξίσωση x2 = 6x απλοποίησε με το x και βρήκε ότι έχει μοναδική λύση τη x = 6. Παρατηρώντας όμως την εξίσωση διαπίστωσε ότι επαληθεύεται και για x = 0. Πού έγινε το λάθος και χάθηκε η λύση x = 0;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1

Να λύσετε τις εξισώσεις:

εικόνα

2

Να λύσετε τις εξισώσεις:

εικόνα

3

Να λύσετε τις εξισώσεις:

εικόνα

4

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) (3x + 1)2 = 5(3x + 1)

β) 0,5(1 – y)2 = 18

γ) (2ω2 + 1)(ω2 – 16) = 0

5

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) x(x – 4) = -4

β) y2 + y – 12 = 0

γ) ω2 – 2ω – 15 = 0

δ) 2t2 – 7t + 6 = 0

ε) 3φ2 + 1 = 4φ

στ) 5z2 – 3z – 8 = 0

6

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) 25x2 + 10x + 1 = 0

β) y2(y – 2) + 4y(y – 2) + 4y – 8 = 0

γ) ω2 + 2006ω – 2007 = 0

7

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) x2 – (α + β)x + αβ = 0

β) x2 – ( √3 – 1)x – √3 = 0

8

εικόνα
Β
Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου

Στην προηγούμενη ενότητα εφαρμόσαμε τη μέθοδο «συμπλήρωσης τετραγώνου» για να λύσουμε την εξίσωση x2 + 15x- 16 = 0. Τη μέθοδο αυτή μπορούμε να την εφαρμόσουμε και για να λύσουμε την εξίσωση δευτέρου βαθμού στη γενική της μορφή, αx2 + βx + γ = 0 με α ≠ 0. Έχουμε διαδοχικά:

  • Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με 4α.
  • Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο β΄ μέλος.
  • Στο α΄ μέλος έχουμε δύο όρους του αναπτύγματος (2αx + β)2. Για να συμπληρώσουμε το τετράγωνο του 2αx + β προσθέτουμε και στα δύο μέλη το β2.

αx2 + βx + γ = 0
4α·αx2 + 4α·βx + 4α·γ = 0
4α2x2 + 4αβx = -4αγ
(2αx)2 + 2·2αx·β = -4αγ
(2αx)2 + 2·2αx·β + β2 = β2– 4αγ
(2αx + β)2 = β2– 4αγ

Αν συμβολίσουμε την παράσταση β2 – 4αγ με το γράμμα Δ, τότε η εξίσωση γράφεται (2αx + β)2 = Δ και διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

εικόνα

  1. Αν Δ < 0, τότε η εξίσωση δεν έχει λύση (αδύνατη). Η παράσταση β2 – 4αγ, όπως είδαμε, παίζει σημαντικό ρόλο στην επίλυση της εξίσωσης αx2 + βχ + γ = 0 με α ≠ 0, γιατί μας επιτρέπει να διακρίνουμε το πλήθος των λύσεών της. Γι´ αυτό λέγεται διακρίνουσα και συμβολίζεται με το γράμμα Δ, δηλαδή

Δ = β2 – 4αγ

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:

Η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0 με α ≠ 0.

  1. Αν Δ > 0, έχει δύο άνισες λύσεις τιςεικόνα
  2. Αν Δ = 0, έχει μία διπλή λύση τηνεικόνα
  3. Αν Δ < 0, δεν έχει λύση (αδύνατη).

Μικροπείραμα 1 πείραμα     Μικροπείραμα 2 πείραμα     Μικροπείραμα 3 πείραμα     Μικροπείραμα 4 πείραμα
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 2x2 + 5x + 3 = 0

β) 6x2 – 5x + 2 = 0

γ) -16x2 + 8x – 1 = 0

Λύση

εικόνα
Μικροπείραμα 1 πείραμα     Μικροπείραμα 2 πείραμα
2

Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 9x2 – (5x – 1)2 = 2x

εικόνα

Λύση

εικόνα

3

α) Να λυθεί η εξίσωση 2x2 – 8x + 6 = 0.

β) Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο 2x2 – 8x + 6.

Λύση

εικόνα
Μικροπείραμα πείραμα
Οι πράξεις στους πραγματικούς αριθμούς

Στο προηγούμενο παράδειγμα διαπιστώσαμε ότι:

  1. Οι λύσεις της εξίσωσης 2x2 – 8x + 6 = 0 είναι οι αριθμοί 3 και 1.
  2. Το τριώνυμο 2x2 – 8x + 6 αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων ως εξής: 2x2 – 8x + 6 = 2(x – 3)(x – 1)
Γενικά

Αν ρ1, ρ2 είναι οι λύσεις της εξίσωσης αx2 + ,x + γ = 0 με α ≠ 0, τότε το τριώνυμο αx2 + βx + γ παραγοντοποιείται σύμφωνα με τον τύπο

αx2 + βx + γ = α(x – ρ1)(x – ρ2)

εικόνα

Μικροπείραμα 1 πείραμα          Μικροπείραμα 2 πείραμα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

Αν Δ είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 με α ≠ 0, τότε να αντιστοιχίσετε σε κάθε περίπτωση της στήλης (Α) το σωστό συμπέρασμα από τη στήλη (Β).

Στήλη Α Στήλη Β
α. Δ > 0 1. Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση.
β. Δ = 0 2. Η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις.
γ. Δ > 0 3. Η εξίσωση έχει μία διπλή λύση.
δ. Δ< 0 4. Η εξίσωση δεν έχει λύση.
α β γ δ
2

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

α) Αν μία εξίσωση 2ου βαθμού έχει διακρίνουσα θετική, τότε δεν έχει λύση. Εικόνα
β)Αν μία εξίσωση 2ου βαθμού έχει διακρίνουσα θετική ή μηδέν, τότε έχει μία τουλάχιστον λύση. Εικόνα
γ) Η εξίσωση 2x2 + 4x – 6 = 0 έχει ως λύσεις τους αριθμούς 1 και -3, οπότε το τριώνυμο 2x2 + 4x – 6 γράφεται 2x2 + 4x – 6 = (x – 1)(x + 3). Εικόνα
3

Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι προτιμότερο να λυθούν με τη βοήθεια του τύπου

α) 2x2 = 7x

β) 3x2 – 2x + 8 = 0

γ) -2x2 + 50 = 0

δ) 5x2 + x – 4 = 0

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1

Να φέρετε τις εξισώσεις της πρώτης στήλης στη μορφή αx2 + βx + γ = 0 και να συμπληρώσετε τις υπόλοιπες στήλες του πίνακα.

εικόνα

Μικροπείραμα

2

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) x2 – x – 2 = 0

β) 4y2 + 3y – 1 = 0

γ) -2ω2 + ω + 6 = 0

δ) 2z2 – 3z + 1 = 0

ε) -25t2 + 10t – 1 = 0

στ) 4x2 – 12x + 9 = 0

ζ) 3x2 + 18x + 27 = 0

η) x2 – 4x = 5

θ) x2– 3x + 7 = 0

3

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) x2 – 7x = 0

β) x2 – 16 = 0

i) με τη βοήθεια του τύπου
ii) με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

4

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) 3x2 – 2(x – 1) = 2x + 1

β) (y + 2)2 + (y – 1)2 = 5(2y + 3)

γ) (2ω – 3)2 – (ω – 2)2 = 2ω2 – 11

δ) φ(8 – φ) – (3φ + 1)(φ + 2) = 1

5

Να λύσετε τις εξισώσεις:

εικόνα

6

Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα:

α) x2 + 4x – 12

β) 3y2 – 8y + 5

γ) -2ω2 + 5ω – 3

δ) x2 – 16x + 64

ε) 9y2 + 12y + 4

στ) -ω2 + 10ω – 25

βιοβλιογραφία:

Από

http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGYM-C104/470/3111,12510/

 

 

 

Κατηγορίες: ΔΙΑΦΟΡΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΝΕΑ, ΘΕΩΡΙΑ - Δ/ΒΑΘΜΙΕΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ | Ετικέτες: | Γράψτε σχόλιο

Εφαρμογές – πολυμέσα

Στις 9 Ιανουαρίου 2019 από τον/την ΑΒΤΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ


Μετάβαση στο scratch.mit.edu.

 



Λήψη αρχείου

 

http://aesop.iep.edu.gr/node/20133

 

http://aesop.iep.edu.gr/node/20133/4996

 

http://aesop.iep.edu.gr/node/20133/4997

 

http://aesop.iep.edu.gr/node/20133/4998

 

https://www.thatquiz.org/tq/previewtest?P/8/U/F/O6EC1487675756

 

 

Κατηγορίες: ΔΙΑΦΟΡΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΝΕΑ, ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΠΕ - ΠΟΛΥΜΕΣΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ | Ετικέτες: , , , | Γράψτε σχόλιο

Φύλλα εργασίας 1ου κεφαλάιου (Εξισώσεις – Ανισώσεις Ά Βαθμού)

Στις 9 Ιανουαρίου 2019 από τον/την ΑΒΤΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ



Λήψη αρχείου



Λήψη αρχείου

 

 

Κατηγορίες: ΔΙΑΦΟΡΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΝΕΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ, ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ | Ετικέτες: , , , | Γράψτε σχόλιο

Εξισώσεις και Ανισώσεις Ά Βαθμού

Στις 9 Ιανουαρίου 2019 από τον/την ΑΒΤΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ



Λήψη αρχείου

 



Λήψη αρχείου

 

http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGYM-B105/386/2552,9947/

 

http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGYM-B105/386/2552,9948/

 

http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGYM-B105/386/2552,9950/

 

http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGYM-B105/386/2552,9951/

 

http://ebooks.edu.gr/modules/ebook/show.php/DSGYM-B105/386/2552,9952/

 

Κατηγορίες: ΔΙΑΦΟΡΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΝΕΑ, ΘΕΩΡΙΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ | Ετικέτες: , , , | Γράψτε σχόλιο

Τα Μαθηματικά με… άλλο μάτι!

Στις 21 Φεβρουαρίου 2016 από τον/την ΑΒΤΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

 


Μετάβαση στο scratch.mit.edu.

Κατηγορίες: ΔΙΑΦΟΡΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΝΕΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ | Γράψτε σχόλιο

Το «ωραίον» στα μαθηματικά πλέον εξηγείται

Στις 21 Φεβρουαρίου 2016 από τον/την ΑΒΤΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Τα μαθηματικά μπορεί να είναι πραγματικά ωραία αφού, όπως απέδειξαν Βρετανοί ερευνητές, δημιουργούν στον εγκέφαλο την ίδια αίσθηση που γεννά ένα καλλιτεχνικό αριστούργημα ή η σύνθεση κάποιου μεγάλου μουσουργού.Για να αποκαλύψουν την ομορφιά της μαθηματικής επιστήμης ή, καλύτερα, κάποιων μαθηματικών τύπων, οι επιστήμονες του University College του Λονδίνου επέδειξαν σε μαθηματικούς «όμορφες» και «άσχημες» εξισώσεις ενόσω υποβάλλονταν σε μαγνητική τομογραφία εγκεφάλου. Οπως διαπιστώθηκε, οι «όμορφες» εξισώσεις ενεργοποιούσαν τα ίδια εγκεφαλικά κέντρα με αυτά που δραστηριοποιούνται όταν αξιολογούμε κάποιο καλλιτεχνικό έργο ως ωραίο. Οι ερευνητές, λοιπόν, πιστεύουν ότι υπάρχει κάποια νευροβιολογική βάση στην ομορφιά.

Τα θεωρήματα του Πυθαγόρα και του Οϊλερ σπάνια περιλαμβάνονται στην ίδια πρόταση με τα έργα του Σαίξπηρ, του Μότσαρτ ή του Μονέ. Και όμως, λένε οι ερευνητές, ο εγκέφαλός μας αναγνωρίζει κάτι κοινό σε όλα αυτά τα πράγματα: την ομορφιά.

Οι ερευνητές έδωσαν σε 15 μαθηματικούς εξήντα εξισώσεις και τύπους και τους ζήτησαν να τις αξιολογήσουν.

Οπως αναφέρει ένας εκ των επιστημόνων που πραγματοποίησαν την έρευνα, ο καθηγητής Σεμίρ Ζέκι, όταν βλέπουμε εξισώσεις, ενεργοποιούνται πολλές περιοχές του εγκεφάλου. Οταν όμως κάποιος κοιτάζει έναν τύπο ο οποίος έχει χαρακτηριστεί «όμορφος», τότε ενεργοποιείται ο «συναισθηματικός εγκέφαλος» ακριβώς όπως όταν βλέπουμε έναν όμορφο πίνακα. Οσο πιο όμορφος είχε θεωρηθεί ο μαθηματικός τύπος, τόσο μεγαλύτερη ήταν η ενεργοποίηση του εγκεφάλου που καταγράφηκε στη διάρκεια της λειτουργικής μαγνητικής τομογραφίας (fMRI).

Στη μελέτη οι περισσότεροι μαθηματικοί επέλεξαν ως «ωραιότερη» την εξίσωση του Οϊλερ καθώς περιλαμβάνει τις πέντε σημαντικότερες μαθηματικές σταθερές και τις τρεις βασικότερες αριθμητικές πράξεις, την πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την ύψωση σε δύναμη.

Ο μαθηματικός και καθηγητής Κατανόησης των Επιστημών, Μάρκους ντι Σοτουά επισημαίνει πως ο ίδιος βρίσκει την απόλυτη ομορφιά στα μαθηματικά και ότι ακριβώς αυτό το κάλλος λειτουργεί σαν κίνητρο για κάθε μαθηματικό. Ο Ντι Σοτουά, εξάλλου, σημειώνει ότι είναι πολύ κρίμα που ακριβώς αυτή η ομορφιά των μαθηματικών απουσιάζει από τα σχολεία και ότι ακόμα και μαθητές με στοιχειώδεις γνώσεις θα μπορούσαν να δουν καταπληκτικά πράγματα.

Τέλος, η μελέτη, η οποία δημοσιεύεται στην επιθεώρηση Frontiers in Human Neuroscience, αποδεικνύει ότι τα μαθηματικά είναι όμορφα, αλλά πρόσφατα συνάδελφοί τους από το Πανεπιστήμιο του Μάντσεστερ είχαν αποδείξει ότι υπάρχει σχέση που συνδέει τις αριθμητικές αλληλουχίες και την ίδια τη φύση.

Κατηγορίες: ΔΙΑΦΟΡΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΝΕΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ | Γράψτε σχόλιο

Αόρατα για το σχολείο 170.000 παιδιά με αναπηρία στην Ελλάδα

Στις 22 Νοεμβρίου 2015 από τον/την ΑΒΤΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ
Συντάκτης:
Ιωάννα Σωτήρχου

Mπορεί να αποτελεί κορυφαία συνταγματική επιταγή το δικαίωμα στην εκπαίδευση αλλά δεν αφορά όλα τα παιδιά αυτής της χώρας. Τα παιδιά με αναπηρίες είναι αόρατα σε ένα εκπαιδευτικό σύστημα που αρνείται ακόμη και να τα καταγράψει. Μόνο το 15% των παιδιών με αναπηρία στην Ελλάδα πηγαίνει σχολείο. Ντροπιαστικό;

Το υπόλοιπο 85%, δηλαδή περίπου 170.000 παιδιά, ζουν εξόριστα από την εκπαιδευτική κοινότητα, εξορία που θα κουβαλούν σε όλη την υπόλοιπη ζωή τους και θα τα καθιστά επίσης αόρατα στην κοινωνία. Το χειρότερο; Δεν υπάρχει στη χώρα μας ούτε καν εθνικό μητρώο καταγραφής παιδιών με αναπηρία. Γι’ αυτό και ο αριθμός αυτός αποτελεί εκτίμηση. Και πώς να σχεδιαστεί μια αποτελεσματική πολιτική Ειδικής Εκπαίδευσης χωρίς την καταγραφή των μαθητών και των αναγκών τους;

Τα στοιχεία είναι αμείλικτα: τη σχολική χρονιά 2010-2011 μόνο 24.105 παιδιά με αναπηρίες φοιτούσαν σε σχολεία γενικής εκπαίδευσης και 7.656 παιδιά σε ειδικά σχολεία. Αυτό σημαίνει ότι από τα 200.000 παιδιά με αναπηρίες, που υπολογίζεται ότι ζουν στη χώρα μας, μόνο τα 31.761 πηγαίνουν σχολείο, δηλαδή μόλις το 15%.

Αυτά τα συγκλονιστικά στοιχεία για τα αόρατα παιδιά από την έρευνα της ερευνήτριας Πελαγίας Παπανικολάου, υποψήφιας δρος Εγκληματολογίας Νομικής Σχολής Πανεπιστημίου Αθηνών, δημοσιοποιεί η ActionAid ξεκινώντας την νέα της εκστρατεία, με βασικό αίτημα την άμεση ένταξή τους σε σχολεία που λαμβάνονται υπόψη οι ανάγκες και η διαφορετικότητα όλων των μαθητών. Και κυρίως ο σεβασμός των εκπαιδευτικών δικαιωμάτων των παιδιών με αναπηρία στην Ελλάδα του 21ου αιώνα.

«Κάντε τα παιδιά με αναπηρία ορατά στην Ελλάδα» τιτλοφορείται η καμπάνια της διεθνούς οργάνωσης που τονίζει: «Πίσω από το νούμερο των 170.000 παιδιών δεν βρίσκονται μόνο παιδιά με αναπηρίες που δεν θα τους δοθεί ένα ίσο ξεκίνημα στη ζωή. Βρίσκονται παιδιά με δυνατότητες που θα γίνουν αόρατοι πολίτες, αποκλεισμένοι από τους θεσμούς και τις δομές μιας κοινωνίας που αποδέχεται παθητικά τις διακρίσεις και τα στερεότυπα γύρω από την αναπηρία. Οι άνθρωποι με αναπηρία δεν είναι αόρατοι».

Και καλεί το υπουργό Παιδείας να πάρει άμεσα μέτρα για να αλλάξει αυτήν την ντροπιαστική για όλους μας κατάσταση που ανάμεσα σε άλλα είναι η δημιουργία μητρώου καταγραφής των παιδιών με αναπηρία και των εκπαιδευτικών αναγκών τους, η βελτίωση της ανύπαρκτης σχεδόν προσβασιμότητας των μαθητών στα σχολεία, η διαρκής επιμόρφωση των εκπαιδευτικών, η θεσμοθέτηση της διαδικασίας συμμετοχής των μαθητών με αναπηρία και των γονιών τους στη λήψη αποφάσεων που τους αφορούν και η μέριμνα για σταθερή χρηματοδότηση της ειδικής εκπαίδευσης από τον κρατικό προϋπολογισμό.

Μέτρα που αναδεικνύουν την ένδεια της πρόνοιας που επιδεικνύεται γι’ αυτά τα παιδιά: όπως το γεγονός ότι δεν υπάρχει ένα ολοκληρωμένο και αποτελεσματικό σύστημα πρώιμης παρέμβασης για παιδιά ηλικίας 0-6 ετών, ηλικίες κρίσιμες για όλα τα παιδιά. Αυτό σημαίνει ότι όταν έρχεται η στιγμή τα παιδιά να μπουν σε σχολική τάξη, οι δυσκολίες είναι πολύ μεγαλύτερες. Και λόγω έλλειψης δημόσιων υπηρεσιών, πολλοί γονείς απευθύνονται σε ιδιωτικούς φορείς, επωμιζόμενοι το υψηλό κόστος τους, σε αυτές τις εποχές που ζούμε.

Προκειμένου να ευαισθητοποιήσουν κοινό και αρμοδίους για την πρόσβαση των παιδιών με αναπηρία στο σχολείο αναλαμβάνουν μάλιστα και δημόσια δράση: έτσι το Σάββατο 30 Μαΐου, στις 12.30 το μεσημέρι, εθελοντές της ActionAid θα βρίσκονται έξω από τη Βουλή, κρατώντας μεγάλες φωτογραφίες με πορτρέτα παιδιών και ένα πανό, το οποίο θα γράφει «Δεν είμαστε αόρατοι». Ταυτόχρονα μας προτρέπει να υπογράψουμε την επιστολή προς τον υπουργό Παιδείας.

Παράλληλα στο πλαίσιο της εκστρατείας της φέρνει στο φως μαρτυρίες αυτών των παιδιών που δίνουν πρόσωπο στους ανατριχιαστικούς αριθμούς.

Όπως αυτή του Ανδρέα Σκαφίδα, απόφοιτου τμήματος ΜΜΕ Παντείου Πανεπιστημίου, και δημοσιογράφου στον ραδιοσταθμό Αθήνα 9.84 που είναι άτομο με κινητική αναπηρία. Είχε την τύχη να πάει δημοτικό στην ΕΛΕΠΑΠ, το πρώτο ειδικό σχολείο στην Ελλάδα, εκτός από μία χρονιά που φοίτησε σε ιδιωτικό σχολείο. Φοίτησε σε δημόσιο, τυπικό Γυμνάσιο για να επιστρέψει στο ειδικό σχολείο στη Β’ Λυκείου. «Η εκπαίδευσή μου ήταν ένα πήγαινε-έλα μεταξύ των σχολείων για άτομα με αναπηρία και των τυπικών σχολείων. Ένιωθα πιο καλά σ’ ένα περιβάλλον όπου δεν ήμουν διαφορετικός», εξηγεί και προσθέτει: «Υπάρχουν εκατοντάδες άνθρωποι σαν εμένα που θα μπορούσαν με τις κατάλληλες ευκαιρίες και τον δικό τους αγώνα, να καταφέρουν να κάνουν κάτι στη ζωή τους. Αλλά δεν μπορούν και φταίει το σύστημα γι’ αυτό. Το κράτος στο οποίο ζούμε, άσχετα από την κρίση, είναι εναντίον του πολίτη»…

Ή του Αποστόλη Βελλέ, απόφοιτου του τμήματος φυτικής παραγωγής ΤΕΙ Καλαμάτας που είναι άτομο με σύνδρομο Down: «Αν δεν είχα πάει σχολείο; Κατά την προσωπική μου άποψη, το σχολείο είναι μια βασική προϋπόθεση για να φτιάξεις τη ζωή σου. Αν δεν είχα πάει σχολείο, δεν θα είχα σπουδάσει. Δεν θα είχα αποκτήσει φίλους, δεν θα βγαίναμε βόλτες, τίποτα. Προτρέπω όλα τα παιδιά να παρακολουθήσουν πρωτοβάθμια, δευτεροβάθμια και τριτοβάθμια εκπαίδευση. Όποιος κι αν είναι ο λόγος της ασθένειάς τους, αν έχουν σύνδρομο Down ή αυτισμό ή δεν ξέρω τι άλλο. Πιστεύω ότι πρέπει να πάνε σχολείο. Έστω και με την ασθένεια αυτή». Ο Αποστόλης φοίτησε σε δημόσια σχολεία, είχε βρει δουλειά ως συμβασιούχος στον δήμο Πεντέλης και τώρα είναι άνεργος.

Ο Αποστόλης και ο Ανδρέας είναι από τους τυχερούς αφού ανήκουν στο 15% που κατάφεραν να πάνε σχολείο και γι’ αυτό ευγνωμονούν τις οικογένειές τους για τη στήριξη που τους παρείχαν. «Δυστυχώς στην Ελλάδα, όπως για όλα τα πράγματα, έτσι και για την αναπηρία, τα πάντα επαφίενται στην προσωπική φλόγα του καθενός. Παίζει ρόλο αν θα πέσεις σε γονιό που έχει ένα βλέμμα παραπάνω ή σε φίλο, φίλη, στην οικογένεια, σ’ έναν υπάλληλο που θα καταλάβει τι γίνεται και θα τρέξει να βοηθήσει. Αφού δεν υπάρχουν δομές, τα πάντα επαφίενται στην αντίληψη που έχει ο καθένας για τη διαφορετικότητα» λέει ο Ανδρέας.

Ανεκτίμητη είναι για τον Αποστόλη η εμπειρία του από το σχολείο: «Είχα πολλούς φίλους. Η χημεία μου με τους συμμαθητές μου ήταν πολύ καλή. Ήμουν στο 15μελές συμβούλιο. Πιστεύω ότι θα πρέπει να είναι όλα τα παιδιά μαζί, όπως ήμασταν και στο δικό μου σχολείο και όλοι κερδίσαμε από αυτό».

ΑΠΟ:http://www.efsyn.gr/arthro/aorata-gia-sholeio-170000-paidia-me-anapiria-stin-ellada

 

Κατηγορίες: ΔΙΑΦΟΡΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΝΕΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ | Γράψτε σχόλιο

Πώς μαθαίνει ένας δυσλεξικός μαθητής;

Στις 17 Νοεμβρίου 2015 από τον/την ΑΒΤΖΗΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Γράφει ο Φώτης Παπαναστασίου

Το δυσλεξικό παιδί χρειάζεται ειδική μεταχείριση στο διδακτικό του πρόγραμμα. Είναι αποδεδειγμένο ότι οι ικανότητες του μπορούν να βελτιωθούν αν η μάθηση του προσαρμοστεί στο τρόπο με τον οποίο σκέφτεται.

                      

Στο δυσλεξικό παιδί πρέπει να πηγαίνουμε:

σε ολόκληρη την εικόνα και μετά να εξηγούμε πως οι λεπτομέρειες χωράνε σε αυτή

από το εύκολο στο δύσκολο

από το απλό στο σύνθετο

από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο

από το οπτικό στο ακουστικό

O δυσλεξικός μαθητής δεν είναι:

τεμπέλης! Κάνει ότι καλύτερο μπορεί. Χρειάζεται περισσότερη ώρα και ενέργεια για να κάνει αυτά που κάνει ένας συμμαθητής του.

Πρέπει να του δείχνουμε απευθείας αυτό που του διδάσκουμε.

Ο δυσλεξικός μαθητής χρειάζεται:

ένα ήσυχο, ήρεμο, δομημένο, τακτοποιημένο, σταθερό και δίκαιο περιβάλλον για να εξελιχθεί

μια έως δυο λεκτικές οδηγίες τη φορά

μικρές, απλές οδηγίες με λίγα λόγια.

μια πολυαισθητηριακή προσέγγιση της μάθησης

να συνδυάζονται οι τρεις τρόποι μάθησης: Οπτικός, Ακουστικός, Κιναισθητικός

να του δίνεται κάθε ευκαιρία να εκφράζει τη δημιουργικότητα του όταν μαθαίνει

περισσότερο χρόνο να επεξεργαστεί αυτό που άκουσε

περισσότερο χρόνο να ανταποκριθεί

περισσότερο χρόνο να ολοκληρώσει τις εργασίες του

Ο δυσλεξικός μαθητής μοιάζει:

να μην προσέχει. Στην πραγματικότητα είναι πιθανό να βιώνει μια αισθητηριακή υπερφόρτωση.

Δεν πρέπει να ξεχνάμε να δείχνουμε πως οι καινούργιες πληροφορίες, γνώσεις ταιριάζουν με αυτές που ήδη έχει μάθει και ότι πάντα χρειάζεται πολύ εξάσκηση σε κάθε βήμα της μαθησιακής διαδικασίας.

Πηγή: dyslexiaathome.blogspot.gr

Κατηγορίες: ΔΙΑΦΟΡΑ, ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΝΕΑ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ | Γράψτε σχόλιο