marmagou's blog

Να κατασκευάσετε με κανόνα και διαβήτη τις πασχαλινές σας ευχές!

Τη Δευτέρα 7 Απριλίου 2025, οι μαθητές και οι μαθήτριες του τμήματος Γ3 είχαν την ευκαιρία να παρακολουθήσουν μια ενδιαφέρουσα παρουσίαση, με τίτλο «Η σχολική ζωή κάποτε…» από την εξαίρετη φιλόλογο κ. Νικάνδρα Μπακογεώργου, η οποία υπηρέτησε για πολλά χρόνια στο Γενικό Λύκειο Καρπενησίου.

Η εκδήλωση πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο της δράσης με τίτλο «Flashback», που υλοποιείται φέτος στο 1^ο Γυμνάσιο Καρπενησίου, με υπεύθυνους καθηγητές την κ. Μ. Αρμάγου (Μαθηματικό) και τον κ. Ν. Καγιάρα (Φυσικό).

Η παρουσίαση έδωσε στους μαθητές μια μοναδική ευκαιρία να μάθουν για τα πρώτα χρόνια λειτουργίας του σχολείου, τις σημαντικές στιγμές που διαμόρφωσαν την πορεία του, καθώς και για τις αλλαγές που έλαβαν χώρα με την πάροδο του χρόνου. Η δράση αυτή θεωρούμε ότι ενίσχυσε τη σύνδεση των μαθητών με την ιστορική τους κληρονομιά και τους βοήθησε να κατανοήσουν καλύτερα τη σημασία του σχολείου τόσο για κάθε μαθητή προσωπικά, όσο και για την τοπική κοινωνία.

Η τριγωνομετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη συναρτήσεων που αφορούν στις γωνίες. Οι συναρτήσεις αυτές, που είναι γνωστές ως τριγωνομετρικοί αριθμοί, έχουν πολυάριθμες χρήσεις και καλύπτουν διάφορες περιοχές της επιστήμης και της καθημερινής ζωής. Ενδεικτικά, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί αξιοποιούνται στην ανάλυση και επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας, φυσικής, μηχανικής, γεωγραφίας, αστρονομίας, αλλά και στη δημιουργία ψηφιακών εικόνων και στην ανάλυση ήχου.

Αν και ο όρος τριγωνομετρία καθιερώθηκε το 1595 από τον Γερμανό μαθηματικό Bartholomäus Pitiscus, οι πρώτες τριγωνομετρικές έννοιες προέκυψαν από παρατηρήσεις των αρχαίων αστρονόμων. Καθώς οι απευθείας μετρήσεις των αποστάσεων μεταξύ των πλανητών ήταν αδύνατες, οι αστρονόμοι χρησιμοποιούσαν τις γωνίες στους υπολογισμούς τους. Ο Ίππαρχος, που θεωρείται ο θεμελιωτής της τριγωνομετρίας, δημιούργησε πίνακες που ανέφεραν τιμές για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι οποίοι συνέβαλαν στην ανάπτυξη της αστρονομίας και της ναυσιπλοΐας. Τέλος, υπάρχουν τεκμήρια που αποδεικνύουν ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, Βαβυλώνιοι, Ινδοί και Κινέζοι ασχολήθηκαν ιδιαίτερα με τη μελέτη των γωνιών, συμβάλλοντας στην ανάπτυξη τριγωνομετρικών εννοιών.

Οι μαθητές έρχονται πρώτη φορά σε επαφή με την τριγωνομετρία στη Β γυμνασίου, όπου και ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί για οξείες γωνίες. Φέτος στα πλαίσια της διδασκαλίας, ομάδα τεσσάρων μαθητριών ανέλαβαν να μελετήσουν την έννοια της εφαπτομένης και να την παρουσιάσουν στην ολομέλεια της τάξης. Στόχος της δραστηριότητας ήταν όλοι οι μαθητές να κατανοήσουν την νέα έννοια με έναν παιγνιώδη, διασκεδαστικό και αλληλεπιδραστικό τρόπο. Για να προσεγγίσουν το θέμα αρχικά οι μαθήτριες κλήθηκαν να συνθέσουν ένα τρισδιάστατο puzzle που απεικονίζει τον Πύργο της Πίζας. Η ενασχόληση των παιδιών με puzzle έχει διάφορα οφέλη. Συμβάλει στην ανάπτυξη της συγκέντρωσής τους και ενισχύει τις ικανότητες επίλυσης προβλημάτων. Επίσης, καλλιεργεί την υπομονή και την επιμονή και όταν τα παιδιά εργάζονται σε ομάδες ενισχύει διάφορες κοινωνικές δεξιότητες.

Εικόνα 1: Σύνθεση puzzle από τις μαθήτριες

Εικόνα 2: Τελική εικόνα puzzle

Στη συνέχεια οι μαθήτριες συνέλεξαν πληροφορίες σχετικές με τον Πύργο της Πίζας που είναι μια ιδιαίτερα  φημισμένη  κατασκευή. Αποτελεί καμπαναριό του καθεδρικού ναού της πόλης και χτίστηκε μεταξύ 1173 και 1372. Ο πύργος είναι παγκοσμίως γνωστός λόγω της κλίσης (περίπου 4 μοιρών) που παρουσιάζει.  Εξαιτίας αυτής της κλίσης είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει στους μαθητές την έννοια της εφαπτομένης.

Τέλος, οι μαθήτριες χρησιμοποιώντας μια κλωστή σαν νήμα της στάθμης, μέτρησαν τις αποστάσεις που χρειάζονταν για να υπολογίσουν την κλίση του ομοιώματος, ώστε να την συγκρίνουν με αυτή που βρήκαν στις πληροφορίες. Για να συγκριθεί η πραγματική κλίση με αυτή που προέκυψε από τους υπολογισμούς αξιοποιήθηκε εφαρμογή που σχεδιάστηκε στο λογισμικό geogebra.

Εικόνα 3: Εφαρμογή σε περιβάλλον Geogebra

Αν και οι μετρήσεις των μαθητριών έδωσαν αποτελέσματα πολύ κοντά στα πραγματικά, συζητήθηκαν ποιοι θα μπορούσαν να είναι οι πιθανοί λόγοι για οποιεσδήποτε αποκλίσεις.

Μια δεύτερη ομάδα που αποτελούνταν από τρεις μαθητές κλήθηκαν να κατασκευάσουν μια τριγωνομετρική υπολογιστική μηχανή, αξιοποιώντας απλά υλικά. Χρησιμοποιώντας ένα κομμάτι μακετόχαρτου, λίγο τετραγωνισμένο χαρτί, ένα δείκτη ρολογιού και ένα διπλόκαρφο κατασκεύασαν μια μηχανή που υπολογίζει το ημίτονο και το συνημίτονο μιας οξείας γωνίας.

Εικόνα 4: Κατασκευή τριγωνομετρικής υπολογιστικής μηχανής

Στην κατασκευή που έκαναν, ο χρήστης έχει τη δυνατότητα να περιστρέψει τον δείκτη του ρολογιού, έτσι ώστε να σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα οξεία γωνία της επιλογής του. Πάνω στον δείκτη σε απόσταση 10 εκατοστών οι μαθητές θεώρησαν σημείο Μ. Στη συνέχεια κλήθηκαν να συγκρίνουν το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας με τους δύο αριθμούς που αντιστοιχούν στις συντεταγμένες του Μ. Διαπίστωσαν ότι η προβολή του σημείου στον οριζόντιο άξονα αντιστοιχεί στο συνημίτονο, ενώ η προβολή στον κατακόρυφο άξονα αντιστοιχεί στο ημίτονο  της γωνίας. Στην ολομέλεια της τάξης συζητήθηκε γιατί συμβαίνει αυτό. Εκεί οι μαθητές είχαν τη δυνατότητα να πειραματιστούν και με τη ψηφιακή εκδοχή της μηχανής τους που κατασκευάστηκε στο geogebra.

Εικόνα 5: Εφαρμογή σε περιβάλλον Geogebra

Η ίδια κατασκευή ανατέθηκε και σε μαθητής της Γ τάξη διευρύνοντας το πεδίο εφαρμογής. Αυτή η κατασκευή μπορεί να αξιοποιηθεί στη διδασκαλία των σχέσεων που συνδέουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς παραπληρωματικών γωνιών.

Εικόνα 6: Κατασκευή τριγωνομετρικής υπολογιστικής μηχανής

Εικόνα 7: Εφαρμογή σε περιβάλλον Geogebra

Αν και η αρχική ανακάλυψη του Πυθαγορείου θεωρήματος είναι ασαφής, γνωρίζουμε ότι ήταν γνωστό πολύ πριν από τον Ευκλείδη και τον Πυθαγόρα, όπως φαίνεται σε αρχαία κείμενα από τη Βαβυλώνα, την Ινδία και την Κίνα. Εντούτοις, τα κείμενα αυτά δεν παρέχουν αποδείξεις για το θεώρημα, παρουσιάζοντας το ως έναν υπολογιστικό κανόνα ή πρακτικό εργαλείο χωρίς εξήγηση.

Η απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος εμφανίζεται για πρώτη φορά στο έργο του Ευκλείδη, στα «Στοιχεία». Αποδίδεται παραδοσιακά στον Πυθαγόρα, ωστόσο η πραγματική ανάπτυξή της φαίνεται να ξεκίνησε στην αρχαία Ελλάδα και χρειάστηκε αρκετός χρόνος για να ολοκληρωθεί.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένα από τα θεωρήματα που τράβηξε, περισσότερο ίσως από κάθε άλλο, το ενδιαφέρον των ανθρώπων. Υπάρχουν περισσότερες από 520 διαφορετικές αποδείξεις του.

Τέλος, για τους ιστορικούς το πόσο κοντά πλησίασε ένας λαός στην απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος είναι ένας τρόπος για να δείξουν πόσο προχωρημένος ήταν ο πολιτισμός του.

Στα πλαίσια του μαθήματος των Μαθηματικών στη Β’ Γυμνασίου, οι μαθητές έρχονται για πρώτη φορά σε επαφή με το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το αντίστροφό του. Η μέθοδος διδασκαλίας που ακολουθήθηκε εστίασε στη χρήση χειραπτικών υλικών και του λογισμικού Geogebra, προκειμένου οι μαθητές ομαδοσυνεργατικά να ανακαλύψουν το θεώρημα. Τόσο μέσα στην τάξη, όσο και στο σπίτι τους δόθηκε η ευκαιρία να πειραματιστούν με απλά υλικά, να παίξουν και να δημιουργήσουν.  Η χρήση χειραπτικών εργαλείων συνήθως δίνει στους μαθητές τη δυνατότητα σύνδεσης της άτυπης με την τυπική γνώση. Τα ψηφιακά εργαλεία ευνοούν τον πειραματισμό, την επανάληψη και τη διερεύνηση.

Εικόνες από δραστηριότητες στην τάξη:

Εικόνα 1: «Απόδειξη» θεωρήματος με χειραπτικά μέσα

Εικόνα 2: «Απόδειξη» θεωρήματος με το λογισμικό

Εικόνα 3: Αυτοσχέδια αρπεδόνη από γλωσσοπίεστρα για τον σχηματισμό ορθών γωνιών

Εικόνα 4: Δραστηριότητα από την καθημερινότητα με τη χρήση του λογισμικού Geogebra

Οι μαθητές είχαν επίσης την ευκαιρία να «αποδείξουν» το Πυθαγόρειο θεώρημα σχεδιάζοντας και παίζοντας με ένα πυθαγόρειο puzzle-γρίφο. Αξιοποιώντας απλά υλικά, όπως χαρτόνι, ορισμένοι μαθητές σχεδίασαν σύμφωνα με τις οδηγίες που τους δόθηκαν, ένα puzzle που αποτελείται από επτά κομμάτια. Τοποθετώντας κατάλληλα γύρω από το μεγαλύτερο τρίγωνο τα υπόλοιπα κομμάτια του puzzle, οδηγήθηκαν σε μια εικόνα, όπως αυτή της αρχικής εφαρμογής (Εικόνα 1). Αναδιατάσσοντας τα ίδια κομμάτια, παρατήρησαν ότι τα μικρότερα μέρη του μπορούν να σχηματίσουν ένα τετράγωνο ίδιο με το μεγαλύτερο τετράγωνο της ιδιοκατασκευής.

Εικόνα 5: Ιδιοκατασκευή μαθήτριας

Οι μαθητές που δεν κατάφεραν να φτάσουν στο προηγούμενο συμπέρασμα, μπόρεσαν να δουν τη λύση του γρίφου, μέσω εφαρμογής που έχει δημιουργηθεί για αυτούς, στο περιβάλλον του λογισμικού Geogebra.

Εικόνα 6: Πυθαγόρειο puzzle σε ψηφιακό περιβάλλον

Video ιδιοκατασκευής

Τέλος, δύο μαθήτριες σχεδίασαν ένα Πυθαγόρειο δέντρο, το οποίο πλέον κοσμεί την αίθουσά τους. Τα πυθαγόρεια δέντρα αποτελούν έναν τύπο φράκταλ, που επινόησε ο Ολλανδός καθηγητής μαθηματικών Albert E. Bosman το 1942. Για να σχηματίσουμε πυθαγόρεια δέντρα σχεδιάζουμε τριάδες τετραγώνων που περικλείουν κάθε φορά ένα ορθογώνιο τρίγωνο, δηλαδή έχουμε μια απεικόνιση ίδια με αυτή του πυθαγορείου θεωρήματος, που διδάχτηκαν οι μαθητές στην πρώτη επαφή τους με το πυθαγόρειο θεώρημα, όταν αξιοποίησαν τους κύβους. Εφαρμόζοντας αναδρομικά αυτόν τον κανόνα κατασκευής, δημιουργούμε ένα φράκταλ που, στο τέλος, μοιάζει με το σχήμα ενός δέντρου.

Εικόνα 7: Πυθαγόρειο δέντρο

Η κατασκευή ενός τέτοιου δέντρου απαιτεί χρόνο και προσοχή, συμβάλει όμως στην ανάπτυξη και ανάδειξη σχεδιαστικών δεξιοτήτων των μαθητών.

Εικόνα 8: Πυθαγόρειο δέντρο σχεδιασμένο από μαθήτριες του σχολείου

Τάξη: Β Γυμνασίου

Κεφάλαιο: Στατιστική

Φύλλο εργασίας

Δραστηριότητα 2. Αξιολόγηση ενότητας διαδραστικού βιβλίου

Να αξιολογήσετε την εμπλουτισμένη παρουσίαση ενός θέματος στο μάθημα που σας ενδιαφέρει. Σκεφτείτε για παράδειγμα ποιες επιπλέον διδακτικές επιλογές αλλά και πώς αυτές θα μπορούσαν να ενταχθούν στην αντίστοιχη διδακτική παρέμβαση που θα ετοιμάζατε. Παρουσιάστε τεκμηριωμένα την άποψή σας σε μια πεντάλεπτη παρουσίαση (έως 8 διαφάνειες).

Δραστηριότητα 3: Αξιολόγηση μιας θεματικής ενότητας/έννοιας με τη βοήθεια του διαδραστικού πίνακα

Να αξιολογήσετε την εμπλουτισμένη παρουσίαση ενός θέματος μιας θεματικής ενότητας/έννοιας που σας ενδιαφέρει. Σκεφτείτε για παράδειγμα με ποιόν τρόπο οι επιπρόσθετες διδακτικές επιλογές θα μπορούσαν να ενταχθούν στην διδακτική παρέμβαση που θα ετοιμάζατε. Παρουσιάστε τεκμηριωμένα την άποψή σας σε μια πεντάλεπτη παρουσίαση (έως 8 διαφάνειες).

Τη Δευτέρα 20 Μαρτίου 2017, μαθητές  του 1ου Γυμνασίου Καρπενησίου εφάρμοσαν στην αυλή του σχολείο το “Πείραμα του Ερατοσθένη”, με σκοπό να υπολογίσουν την ακτίνα της Γη.  Το Πείραμα συγκαταλέγεται μεταξύ των 10 πιο όμορφων επιστημονικών πειραμάτων στην ιστορία της Φυσικής και η οργάνωσή του αποτελούσε δράση των Εργαστηριακών Κέντρων Φυσικών Επιστημών (Ε.Κ.Φ.Ε.) Σερρών, Πιερίας, Λακωνίας, Λέσβου και 1ου Ηρακλείου, σε συνεργασία με το Iνστιτούτο Αστρονομίας, Αστροφυσικής, Διαστημικών Εφαρμογών & Τηλεπισκόπησης του Εθνικού Αστεροσκοπείου Αθηνών και με την υποστήριξη της Πανελλήνιας Ένωσης Υπεύθυνων Ε.Κ.Φ.Ε. (ΠΑΝΕΚΦΕ).

Στη δράση συμμετείχαν 15 μαθητές της Β τάξης που με τη βοήθεια ενός πάσσαλου και ορισμένων διαδικτυακών εφαρμογών κατέληξαν στον υπολογισμό της ακτίνας της Γης με σχετικά μεγάλη ακρίβεια.

Δείτε επίσης σχετικό άρθρο των Ευρυτανικών νέων

Ποιος ήταν ο Ερατοσθένης

Ο Ερατοσθένης γεννήθηκε στην Κυρήνη το 276 π.Χ.. Το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του το πέρασε στην Αλεξάνδρεια. Εργάστηκε ως διευθυντής της περίφημης βιβλιοθήκης. Ασχολήθηκε σχεδόν με όλα τα είδη της επιστήμης εκείνης της εποχής. Πέθανε στην Αλεξάνδρεια 194 π.Χ. ένα χρόνο περίπου μετά την τύφλωσή του. Έγινε ιδιαίτερα γνωστός από τη μέθοδο που ανέπτυξε για την εύρεση πρώτων αριθμών (κόσκινο του Ερατοσθένη) αλλά και από την πρωτοποριακή μέθοδο υπολογισμού της περιφέρειας της γης (πείραμα του Ερατοσθένη). Το πείραμα αυτό, συγκαταλέγεται μεταξύ των 10 πιο όμορφων επιστημονικών πειραμάτων στην ιστορία της Φυσικής!

Ιστορικά στοιχεία σχετικά με το πείραμα του Ερατοσθένη

Ο Ερατοσθένης είχε διαβάσει σε έναν πάπυρο ότι το μεσημέρι της 21^ης Ιουνίου στη Συήνη, οι κατακόρυφοι στύλοι δεν ρίχνουν καθόλου σκιά. Παρατήρησε ότι την ίδια ακριβώς ώρα στην Αλεξάνδρεια τα αντικείμενα άφηναν σκιά στο έδαφος. Έτσι έβγαλε το συμπέρασμα ότι η Γη δεν είναι επίπεδη, γιατί αν ήταν θα έπρεπε και στις δύο πόλεις να παρατηρείται ακριβώς το ίδιο, δηλαδή τα σώματα είτε να αφήνουν, είτε να μην αφήνουν σκιά. Αυτό το συμπέρασμα ήταν πολύ σημαντικό και επέτρεψε στον Ερατοσθένη να προσδιορίσει την ακτίνα και το μήκος της περιφέρειάς της Γης. Μετρώντας το μήκος της σκιάς που αφήνει ένας κατακόρυφος πάσσαλος μπόρεσε να βρει τη διαφορά των γεωγραφικών πλατών των δύο πόλεων. Γνωρίζοντας ότι η απόσταση των δύο πόλεων είναι περίπου 800Km υπολόγισε το μήκος της περιφέρειας της Γης. Φημολογείται ότι ο Ερατοσθένης μίσθωσε βηματιστές για τη μέτρηση απόστασης των δύο πόλεων.

Δείτε το σχετικό βίντεο.

Οδηγίες για το πείραμα του Ερατοσθένη

• Αρχικά θα πρέπει να βρείτε την ώρα που θα πραγματοποιήσετε το πείραμα. Επισκεφτείτε τη σελίδα http://suncalc.net/#/41.1094,23.5444,11/2017.03.20/15:57 και αλλάξτε την πόλη. Δείτε το σχετικό βίντεο.
• Υπολογίστε την απόσταση από την αυλή του σχολείου μας μέχρι τον Ισημερινό. Επισκεφτείτε τη σελίδα https://www.daftlogic.com/projects-google-maps-distance-calculator.htm?route=41.09347629615095,23.55017066001892%7C0.0000026822090895318437,23.550479114055634 . Δείτε το σχετικό βίντεο.
• Κρατήστε, στην αυλή του σχολείου τη σωστή ώρα, κατακόρυφα ένα πάσσαλο, μετρήστε το μήκος του ΤΑ και το μήκος της σκιάς του και υπολογίστε την εφαπτομένη της γωνίας φ. Δείτε το επόμενο σχήμα.

Μετρήσεις ύψος αντικειμένου: ΤΑ = …………….. cm

Μήκος σκιάς: ΤΣ = …………….. cm

• Για να βρείτε το μήκος της ακτίνας της Γης μπορείτε να:

Α τρόπος: Αντιμετωπίσετε τον κυκλικό τομέα σαν σχεδόν ορθογώνιο τρίγωνο με Τ=90^ο και  από την εφαπτομένη της γωνίας φ υπολογίστε το  μήκος της ακτίνας ΚΤ .

Β τρόπος: Βρείτε τη γωνία φ και στη συνέχεια το μήκος του κύκλου L από τη σχέση:

Στη συνέχεια από τη σχέση

βρείτε την ακτίνα της Γης, όπου  π=3,14159.

Περισσότερες πληροφορίες μπορείτε να βρείτε στις σελίδες:

• http://www.astro.noa.gr/gr/eratosthenes/
• http://www.ea.gr/ep/mobile/era/index.html

Επίσης μπορείτε να βρείτε φωτογραφικό υλικό από την περσινή συμμετοχή του σχολείου μας στη δράση:

http://ekfe.eyr.sch.gr/photos.html